2019年初中学业质量检查(二)数学答案

2019年初中学业质量检查(二)数学试题
参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．7105.6⨯12．)2)(2(3-+m m m 13．31=x ，12-=x 14．51
15．(0，3
4)16.6或23.三、解答题（共86分）
17.（本小题8分）解：原式=)13(412
32-⨯+-⨯……………………………………………………………………………6分=4
3413-+-=535-.………………………………………………………………………………………8分
18.（本小题8分）
解：方程两边都乘以)1)(1(-+x x ，得
1)12()1(2-=--+x x x x …………………………………………………………………………2分11222-=+-+x x x x …………………………………………………………………………4分112--=-x x 2-=-x 2=x ………………………………………………………………………………6分检验：当2=x 时，013)1)(1(≠⨯=-+x x ……………………………………………………………7分所以，2=x 是原方程的解.………………………………………………………………………………8分
19.（本小题8分）
证法一：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD BC =，BC AD //，…………………………………………………………………………2分∴ADB ∠=CBD ∠.…………………………………………………………………………………3分∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，
∴90AED CFB ︒
∠=∠=，………………………4分
∴ADE ∆≌CBF ∆(A.A.S)，……………………5分
∴CF AE =.………………………………………6分
由AE BD ⊥，CF BD ⊥可得︒=∠=∠90CFE AEF ，
∴CF AE //，
∴四边形AECF 为平行四边形.……………………8分
证法二：连接AC 交BD 于点O ，…………………………………………………………………1分∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴OC OA =，…………………………………………………………………………………………3分∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，
∴︒=∠=∠90CFE AEF ，……………………………………………………………………………4分∴CF AE //，
∵COF AOE ∠=∠，…………………………………………………………………………………5分∴AOE ∆≌COF ∆(A.A.S)，………………………………………………………………………6分∴CF AE =.…………………………………………………………………………………………7分
∴四边形AECF 为平行四边形.……………………………………………………………………8分证法三：连接AC 交BD 于点O ，……………………………………………………………………1分∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴OC OA =，…………………………………………………………………………………………3分∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，
∴︒=∠=∠90CFE AEF ，……………………………………………………………………………4分∵COF AOE ∠=∠，…………………………………………………………………………………5分∴AOE ∆≌COF ∆（A.A.S），………………………………………………………………………6分
∴OF OE =.…………………………………………………………………………………………7分∴四边形AECF 为平行四边形.……………………………………………………………………8分注：其他证法参照以上标准给分.
20.（本小题8分）解：（1）平均数6.64
123120876253413=⨯+++++++⨯+⨯+⨯=x （万元）；该组数据中出现次数最多的是4，所以众数为：4万元；
将这些数据按从小到大的顺序排列：3，4，4，4，5，5，6，7，8，20，
处于中间位置的两个数字均为5，所以中位数为：5万元；………………………………………3分
（2）用中位数5万元作为今年每个销售员统一销售额标准比较合理.………………………………4分
理由如下:
因为平均数为6.6万元受极值20的影响较大，若把它定为标准，大多数人不能完成任务，会挫伤员工的积极性，而众数4万元，绝大多数员工不必努力就能超额完成，不利于提高销售额，若将5万元作为标准，多数人能完成任务，并且经过努力能够超额完成任务，有利于提高销售人员的积极性.…………………………………………………………………………………………8分
21.（本小题8分）
解：（1）如图所示，⊙O 为所求作的圆；………………3分
（2）由作图可知，OC OB =，
∴OCB OBC ∠=∠.
∵在ABC ∆，︒=∠90ACB ，3:4:=BC AC ，
∴可设a AC 4=，a BC 3=，则a
AB 5=又∵25:12:=AB CD ，
∴a AB CD 4.225
12==
.……………………………4分∵︒=∠90D ，∴a a a CD BC BD 8.1)4.2()3(2222=-=-=
，∴3
48.14.2==a a BD CD .∵3:4:=BC AC ，∴BC
AC BD CD =.∵︒=∠=∠90D ACB ，
∴ABC Rt ∆∽CBD Rt ∆，………………………………………………………………………6分∴CBD OBC ∠=∠，
∴CBD OCB ∠=∠.
∵︒=∠+∠90CBD BCD ，
∴︒=∠+∠90OCB BCD ，即OC CD ⊥，
∵OC 为⊙O 的半径，
∴CD 是⊙O 的切线．…………………………………………………………………………8分22.（本小题10分）
解：（1）每辆甲型汽车和乙型汽车的售价分别是x 万元、y 万元．由题意，得
⎩⎨⎧-=+=+88
18438822y x y x ，………………………………………………………………………………3分解得：⎩⎨⎧==18
26
y x 经检验，⎩⎨⎧==18
26y x 符合题意.
答：每辆甲型汽车的售价为26万元，每辆乙型汽车的售价为18万元；………………………5分（2）设购买甲型汽车m 辆，则购买乙型汽车)6(m -辆，依题意，得140)6(1826130≤-+≤m m ，解得4432
≤≤m .…………………………………………………8分∵m 是正整数，
∴m =3或m =4．
∴共有两种方案：
方案一：购买3辆甲型汽车和3辆乙型汽车；
方案二：购买4辆甲型汽车和2辆乙型汽车．………………………………………………………10分
23.（本小题10分）
(1)证明：当012=-m ，即21=
m 时，原方程为012=+-x ，此方程为一元一次方程，其根为21=x ；当012≠-m ，即21≠
m 时，=⨯--+-=∆1)12(4)]12([2m m 04)12(2>+-m ∴当2
1≠m 时，原方程必有两个不相等的实数根，综上所述，不论m 为何值,方程必有实数根；…………………………………………………………4分
(2)解：当m 为整数时,关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 没有有理根.理由如下：
①当012=-m 时,2
1=m (不合题意舍去)；………………………………………………………5分②当012≠-m 且m 为整数时,假设关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 有有理根,
则要4)12(2+-=∆m 为完全平方数，设2n =∆(n 为整数),
即224)12(n m =+-(n 为整数),所以有4)]12()][12([=---+m n m n ，
∵(21)n m +-与(21)n m --的奇偶性相同,并且m 、n 都是整数,
∴(21)2(21)2n m n m +-=⎧⎨--=⎩或(21)2(21)2n m n m +-=-⎧⎨--=-⎩
，……………………………………………………8分解得12
m =(不合题意舍去).综上所述，当m 为整数时,关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 没有有理根．……10分
24.（本小题13分）
解：（1）令0=y ，得022
=+-mx mx ，解得01=x ，22=x ，
∴1=a ，…………………………………………………1分∴P （1，3）.把P （1，3）代入mx mx y 22+-=，得32=+-m m ，解得：3=m ，
∴此抛物线的解析式为x x y 32321+-=.……………3分
（2）又∵点A 坐标为（b ，b 3），点B 坐标为（1+b ，33+b ），
∴直线AB 的解析式为x y 32=
.观察图象可知，当10<<x 时，21y y >，∴不等式x mx mx 322>+-的解集为10<<x ；…………………5分
∵点P 在线段AB 上，
∴11b b ≤≤+.
∴b 的取值范围为10≤≤b ；……………………………………………………………………………7分
（3）∵点A 坐标为（b ，b 3），点D 坐标为（c ，b 3），且1
≥c ∴x AD //轴.
把点D 坐标为（c ，b 3）代入x x y 3232
1+-=，得b c c 33232=+-，解得22c c b -=.
由勾股定理,得
3)1()333()1(22222+--=-++-+=c c b b c b BD .………………………………………8分
令4
1)21(22--=-=c c c u ，2BD v =，得3)1(2+-=u v .∵1
0≤≤b ∴1202≤-≤c c ，解得20≤≤c .
又∵1
≥c ∴21≤≤c ，232121≤-≤c ，∴49)21(412≤-≤c ，∴241)21(02≤--≤c ，即20≤≤u .…………………11分∵二次函数3)1(2+-=u v 开口向上，对称轴为直线1=u ，图象如图所示，
∴当1=u 时，v 最小，3min =v ，此时，3=
BD ；当0=u 或2时，v 最大，43)12(2max =+-=v ，此时，2=BD .
∴线段BD 长度的取值范围为23≤≤BD .…………………………………………………………13分
25.（本小题13分）
解：（1）∵在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC 2=，BC BM =，
∴2==AC MC ，12
1==
=AC BM BC ，∴︒=∠=∠45CMA CAM .
设ABC ∆的外接圆的圆心为O ，连接BN ，
则四边形BCAN 为⊙O 的内接四边形，
法一：∴︒=∠=∠90ACB MNB ，
∵︒=∠45CMA ，
∴︒=∠-︒=∠4590CMA MBN
∴点B 到直线MA 的距离为2
22==
BM BN .………………………………………………………4分法二：∴︒
=∠=∠45MAC MBN ∵︒=∠90ACB ，
∴AB 是⊙O 的直径，
∴︒=∠90ANB ，
∴︒=∠90MNB ，
∴BMN ∆是等腰直角三角形，∴点B 到直线MA 的距离为222
=
=BM BN .…………………4分（2）过M 作MC MQ ⊥轴交CF 的延长线于点Q .
∵AB CF ⊥，
∴︒=∠+∠=∠+∠90BCF ACF CAB ACF ，
∴BCF CAB ∠=∠，………………………………………………5分
∴CAB BCF ∠=∠tan tan ，∴12MQ BC MC AC ==，∴.21=MC MQ ∴21=AC MQ (也可以用A.A.S 证CMQ Rt ∆≌ACB Rt ∆得到AC MC CB MQ 2
121===)……6分由MC MQ ⊥可得︒=∠+∠180ACM QMC ，
∴AC MQ //，则有ACD Q ∠=∠，DAC DMQ ∠=∠，
∴DMQ ∆∽DAC ∆，∴2
1==AC MQ AD MD ，………………………………………………………………………………………7分设a AC MC ==，则有a AC MA 22==，即a
n 2=∴a MA MD 3231==.∵a MC BC BM 2
121===∴a BM MN 422==，∴a MN MD DN 122=-=即a m 12
2=∴12=m
n ，即n 与m 的函数表达式为m n 12=.……………………………………………………8分(3)PB PF PC 5
54=+，理由如下：…………………………………………………………………9分延长PF 到'P ，使得PC F P ='，连接B P '，BF ，则''PP P F PF PC PF =+=+.
∵B ，C ，P ，F 四点共圆，
∴PCB FB P ∠=∠'.又∵⊙O 的直径CF AB ⊥，
∴⌒BC =⌒BF
，
∴PBC ∆≌BF P '∆，
∴B P PB '=.……………………………………………………………………………………………11分由⌒BC =⌒BF
可得，BAC BPP ∠=∠'，而a a a AC BC AB 2
5)21(2222=+=+=，∴552cos 'cos ==
∠=∠AB AC BAC BPP .过B 作'PP BR ⊥于点R ，可得5
52'21'cos ===∠PB PP PB PR BPP ，∴PB PP 554'=，即PB PF PC 5
54=+.…………………………………………………………13分。