中考试题一模汇编：三角形.docx

北京市2016年各区中考一模汇编
平面几何之三角形
一、三角形和平行线
1\【2016东城一模，第06题】
如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以
直接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD =CA ，连接BC 并延长至E ，使CE =CB ，连接ED . 若量出DE =58米，
则A ，B 间的距离为 A ．29米 B ．58米
C ．60米
D ． 116米
2.【2016丰台一模，第06题】
如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，使点C 能直 接到达点A 和点B ，连接AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的 中点M ，N . 如果测得MN = 20m ，那么A ，B 两点的距离是 A. 10m B. 20m C. 35m D. 40m
3.【2016平谷一模，第06题】
如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE ：EC =2：3，DE =4，则BC 的长为
A ．10
B ．8
C ．6
D ．5
4.【2016朝阳一模，第06题】
某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C ，
使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为
A ．3300m
B ．2200m
C ．1100m
D ．550m
5.【2016海淀一模，第06题】
如图，等腰直角三角板的顶点A ，C 分别在直线a 、b 上，若a ∥b ，135∠=︒，则2∠的度数为A.35︒B. 15︒ 10︒D. 5︒
6.【2016西城一模，第09题】
E
A
B C
D
A
B C
a
b
1
2
某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C 观测水平雪道一端A 处的俯角为30°，另一端B 处的俯角为45°．若直升机镜头C 处的高度CD 为300米，点A ，D ，B 在同一直线上，则雪道AB 的长度为（）
A ．300米
B ．1502米
C ．900米
D ．(3003300+)米
7.【2016通州一模，第07题】
如图，把含有45︒角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形纸条的对边
上．如果∠1=20︒，那么∠2的度数是A. 30︒ B. 25︒ C.
20︒ D. 15︒
8.【2016通州一模，第09题】
如图，为测量池塘边上两点A 、B 之间的距离，小明在池塘 的一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点分别是点D 、E ， 且DE ＝14米，那么A 、B 间的距离是 A ．18米 B ．24米 C ．30米 D ．28米
二、三角形的基本性质
9.【2016平谷一模，第10题】
如图1，在矩形 ABCD 中，AB <BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE =x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的
A ．线段BE
B ．线段EF
C ．线段CE
D ．线段D
E 10.【2016平谷一模，第13题】
2
1
图 1
如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，连接CD ．要使△ADC 与△ABC 相似，应添加的条件是．
11.【2016平谷一模，第14题】
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形水池，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x 尺，根据题意，可列方程为．
12.【2016朝阳一模，第10题】
如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是
AC 边上一点，且30=∠AGH °．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的
A ． 线段CG
B ． 线段AG
C ． 线段AH
D ． 线段CH
13.【2016海淀一模，第10题】
小明在暗室做小孔成像实验，如图1，固定光源（线段MN ）发出的光经过小孔（动点K ）成像（线段）于足够长的固定挡板（直线l ）上，其中MN //l ，已知点K 匀速运动，其运动路径由AB ，BC ，CD ，DA ，AC ，BD 组成，记它的运动时间为x ，M '，N '的长度为y ，若y 关于x 的函数图像大致如图2所示，则点K 的运动路径可能
为
A. A B C D A →→→→
B. B C D A B →→→→
C. B C A D B →→→→
D. D A B C D →→→→
图2
O
y
x
D
B A
C
K M
N
N '
M '
图1
图2
三、三角形之复杂应用（大题）
14.【2016东城一模，第20题】
如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若
∠BAC =40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要
求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）.
15.【2016丰台一模，第20题】
如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高线，BE AC ⊥于点E ，
∠BAD =∠CBE . 求证：AB AC =.
16.【2016平谷一模，第20题】
如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，FD ⊥BC 于D ，G 是FC 的中点，连接GD . 求证：GD ⊥DE .
17.【2016朝阳一模，第20题】 如图，E 为AC 上一点，EF ∥AB 交AF 于点F ，且AE = EF ．
求证：BAC ∠= 2∠1．
18【2016海淀一模，第20题】
如图，在ABC ∆中，90,BAC AD BD ∠=⊥o 于点D ，DE 为AC 边上的中线，求证：
BAD BDC ∠=∠
1F E
C
B
A
D C
A B E F D C A
B E F
A
B D
E
C
19.【2016西城一模，第19题】
如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，AE BE ⊥于点E ，且
1
2
BE BC =
．求证：AB 平分EAD ∠．
20.【2016通州一模，第20题
如图，在△ABC 中，AC =BC ，BD ⊥AC 于点D ，在△ABC 外作∠CAE =∠CBD ，过
点C 作CE ⊥AE 于点E .如果∠BCE =140︒，求∠BAC 的度数.
21.【2016东城一模，第28题】
如图，等边△ABC ，其边长为1， D 是BC 中点，点E ，F 分别位于AB ，AC 边上，且∠EDF =120°.
（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；
（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）
（3）思考：AE +AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.
备用图
22.【2016平谷一模，第28题】 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC=CD ，∠ACD =α，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD ． （1）依题意补全图1；
（2）判断AE 与BD 的数量关系与位置关系并加以证明；
（3）若0°＜α≤64°，AB =4，AE 与BD 相交于点G ，求点G 到直线AB 的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．
）．
E
D
A
B C
23.【2016朝阳一模，第28题】
在等腰三角形ABC 中， AC =BC ，点P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连接PA ，以
P 为旋转中心，将线段PA 顺时针旋转，旋转角与∠C 相等，得到线段PD ，连接DB ． （1）当∠C =90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA 的度数； （2）如图2，若∠C =α，求∠DBA 的度数（用含α的代数式表示）；
（3）连接AD ，若∠C =30º，AC =2，∠APC =135º，请写出求AD 长的思路．（可以不写出计算结果）
24.【2016海淀一模，第28题】
在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 在射线BC 上（与,B C 两点不重合），以
AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与使点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与射线CF 相交于点G （1）若点D 在线段BC 上，如图1① 依题意补全图1；
②判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明：
（2）若点D 在线段BC 的延长线上，且G 为CF 的中点，连接GE ，2AB =，则GE 的长为；并简述求GE 长的思路。

A
B D
C A
B C
图1 备用图
25.【2016通州一模，第28题】
△ABC 中，45ABC ∠=︒，AB BC ≠，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D .
图2
图1
（1）如图1，作ADB ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，连接AF . 求证：FAB FBA ∠=∠；
（2）如图2，连接DE ，点G 与点D 关于直线AC 对称，连接DG 、EG . ①依据题意补全图形；
②用等式表示线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并加以证明.
详细解答
1. B
2. D
3. A
4. B
5. C
6. D
7. B
8. D
9. D
10. 答案不唯一，如：∠ACD =∠ABC ，∠ADC =∠ACB ，
AD AC
AC AB =； 11. ()2
2251x x +=+ 12. D 13. B
14. 解：∠E =35°，或∠EAB =35°，或∠EAC =75°
. …………1分 ∵在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°， ∴∠ABC =∠ACB =70°
. …………3分又∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD =∠CBD =35° . …………4分 ∵AE ∥BD ，
图2
图1
F E
A E
A D
B B
D
C
C
∴∠E =∠EAB =35°
.…………5分∴∠EAC =∠EAB +∠BAC =75° .
15. 证明：∵在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，BE AC ⊥于点E ，
∴∠ADB ＝∠BEC = 90°.-------- 2分. ∴∠ABC+∠BAD ＝∠C+∠CBE = 90°.
又∵∠=∠BAD CBE ,
∴∠ABC ＝∠C . ---------- 4分 ∴AB AC =. ------------ 5分
16. 证明：∵AB =AC ，
∴∠B =∠C .........................................................................1 ∵DE ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠BED =∠FDC =90°. ∴∠1=∠3........................................2 ∵G 是直角三角形FDC 的斜边中点， ∴GD =GF . (3)
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠2. ∵∠FDC =∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠4=90°.…………………………4 ∴∠2+∠FDE =90°.
∴ GD ⊥DE . ……………………………………………5|
17. 证明：∵EF ∥AB ，
∴∠1=∠FAB ．…………………… 2分 ∵AE =EF ，
∴∠EAF =∠EFA ． ……………… 3分 ∵∠1=∠EFA ，∴∠EAF =∠1．…………………… 4分
∴∠BAC =2∠1． …………………5分
18. 证明：∵ÐBAC =90°，90BAD DAC ∴∠+∠=︒，∵AD ^BC ，
90ADC ∴∠=︒，
90DAC C ∴∠+∠=︒， BAD C ∴∠=∠。

2分 ∵DE 为AC 边上的中线，DE EC ∴=， EDC C ∴∠=∠ 4分 BAD EDC ∴∠=∠ 5分
4321A F B C D E G
1
F
E
C
B
A
19.
20.解：∵BD⊥AC，CE⊥AE，
∴90
BDC E
∠=∠=︒，
∵∠CAE=∠CBD，
∴△BDC∽△AEC，………………… 2分；
∴∠BCD=∠ACE，∵∠BCE =140︒，
∴∠BCD=∠ACE=70︒，………………… 4分；
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=55︒. ………………… 5分.
21.解：
（1）相等. …………1分
（2）思路：延长FD至G，使得GD=DF，连接GE，GB.
证明△FCD≌△GBD，△GED为等边三角形，
∴△GED为所求三角形.最大角为∠GBE=120
°. …………4分
（3）过D作DM，DN分别垂直AB，AC于M，N.
∴∠DMB=∠DNC=∠DMA=∠DNA=90°.
又∵DB=DC，∠B=∠C，
∴△DBM≌△DCN.
∴DM=DN.
∵∠A=60°，∠EDF=120°，
∴∠AED+∠AFD=180°.
∴∠MED=∠AFD.
∴△DEM≌△DFN.
∴ME=NF.
∴AE+AF=AM-ME+AN+NF=AM+AN=333
442
+=.…………7分
22.解：（1）补全图形，如图1所示． (1)
（2）AE与BD的数量关系：AE=BD， (2)
AE与BD的位置关系：AE⊥BD． (3)
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+α=∠DCE+α．
4
3
21
α
E
C D
即∠BCD =∠ACE ．∵BC=AC ，CD=BC ，
∴△BCD ≌△ACE ． (4)
∴AE =BD ．∴∠4=∠CBD ．∵∠CBD =∠2，∴∠2=∠4．∵∠3+∠4=90°，∠1=∠3，∴∠1+∠2=90°．
即AE ⊥BD ．……………………………………5 （3）求解思路如下：
过点G 作GH ⊥AB 于H ．
由线段CD 的运动可知，当α=64°时GH 的长度最大．………6 由
CB =CD ，可知∠CBD =∠CDB ，
所以∠CBD =18090642︒-︒-︒=13°， 所以∠DBA =32°．
由（2）可知，∠AGB =90°，所以∠GAB =58°，
分别解Rt △GAH 和Rt △GBH ，即可求GH 的长． (7)
23. 解：（1）如图，补全图1．…………….……………………1分
∠DBA=︒90．………………………………………………2分 （2）过点P 作PE ∥AC 交AB 于点E ．……………………3分 ∴PEB CAB ∠=∠． ∵ AC =BC ， ∴CAB CBA ∠=∠． ∴PEB PBE ∠=∠．
∴PE PB =． 又∵
BPD DPE EPA DPE α∠+∠=∠+∠=，
∴BPD EPA ∠=∠．∵PD PA =，
∴△PDB ≌△PAE ．………………………………………4分
∵
11
(180)9022PBA PEB αα
∠=∠=︒-=︒-， ∴180PBD PEA PEB ∠=∠=︒-∠=
α
21
90+︒． ∴DBA PBD PBA α∠=∠-∠=. …………5分
α
H G E B
C
A D
P E
D
C
B
A
C
桑水 （3）求解思路如下：
a ．作AH ⊥BC 于H ；
b ．由∠C =30º，AC =2，可得AH =1，CH =3，BH =23-，
勾股定理可求AB ；…………………6分
c ．由∠APC =135 º，可得∠APH =45 º，AP =2 ；
d ．由∠APD =∠C =30º，AC =BC ，AP =DP ，
可得△PAD ∽△CAB ，由相似比可求AD 的长． ……………7分
24. （1）①补全图形，如图1所示 1分
D B
E C
F
A
G
111
图1
② BC 和CG 的数量关系：BC CG =，位置关系：BC CG ⊥ 2分 证明：如图1
∵AB =AC ，90BAC ∠=︒45B ACB ∴∠=∠=︒，1290∴∠+∠=︒
∴射线BA 、CF 的延长线相交于点G .90CAG BAC ∴∠=∠=︒
∵四边形ADEF 为正方形2390DAF ∴∠=∠+∠=︒，AD AF =13∴∠=∠ ABD ∴∆≌ACF ∆ 3分
45B ACF ∴∠=∠=︒45B G ∴∠=∠=︒，90BCG ∴∠=︒
BC CG ∴=，BC CG ⊥ 4分
（2）10GE = 5分 思路如下：
a. 由G 为CF 中点画出图形，如图2所示。

b. 与②同理，可得BC CG =，BC CG ⊥。

c. 由2AB =，G 为CF 中点，可得1BC CG FG CD ====
d. 过点A 作AM BD ⊥于M ，过点E 作EN FG ⊥于点N ，可证AMD ∆≌FNE ∆，可得1AM FN ==，NE 为FG 的垂直平分线，FE EG =；
e. 在Rt AMD ∆中，1AM =，3MD =，可得10AD =，即10
CE FE AD === 7分
桑水 F
E
N
G A
B M
C D
图2 25. 证明：（1）
∵AD BC ⊥，45ABC ∠=︒
∴45BAD ∠=︒ ∴AD BD =，………………… 1分； ∵DF 平分ADB ∠ ∴12∠=∠，在△ADF 和△BDF 中 ∵=,1=2,=,
AD BD DF DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△ADF ≌△BDF .
∴AF BF =.
∴FAB FBA ∠=∠.………………… 2分；
或用“三线合一”
（2） 补全图形 ………………… 3分；
数量关系是：GD AE BE +=.………………… 4分； 过点D 作DH DE ⊥交BE 于点H ∴90ADE ADH ∠+∠=︒，∵AD BC ⊥，
∴90BDH ADH ∠+∠=︒，
∴ADE BDH ∠=∠，
∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，AKE BKD ∠=∠， ∴DAE DBH ∠=∠，
在△ADE 和△BDH 中 ∵=,=,DAE DBH AD BD ADE BDH ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，
∴△ADE ≌△BDH .
∴DE DH =，AE BH =， ………………… 5分； ∵DH DE ⊥，
∴45DEH DHE ∠=∠=︒，∵BE AC ⊥，
∴45DEC ∠=︒，
∵点G 与点D 关于直线AC 对称， ∴AC 垂直平分GD ，
∴GD ∥BE ，45GEC DEC ∠=∠=︒， ∴90GED EDH ∠=∠=︒， ∴GE ∥DH ，………………… 6分；
∴四边形GEHD 是平行四边形 21
图1
F E
A
D B C H
图2
K
G E
A
B
D C 图2H L G E
A D B
C
=，………………… 7分.
∴GD EH
∴GD AE BE
+=.
⊥交AC的延长线于点H.
或过点D作DH DE
初中数学试卷
鼎尚图文**整理制作
桑水。