2021_2022学年高中数学课时分层作业17向量共线的条件与轴上向量坐标运算(含解析)新人教B版必

课时分层作业(十七) 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
(建议用时：60分钟)
[合格根底练]
一、选择题
1．数轴上两点A ，B 的坐标分别是－4，－1，那么AB 与|AB →|分别是( )
A ．－3,3
B ．3,3
C ．3，－3
D ．－6,6
B [AB ＝－1－(－4)＝3，|AB →|＝3.]
2．向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，那么一定共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D
B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，
D D ．A ，C ，D A [BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线．]
3．设a ，b 为不共线向量，AB →＝a ＋b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －2b ，那么以下关系式中
正确的选项是( )
A.AD →＝BC →
B.AD →＝2BC →
C.AD →＝－BC →
D.AD →＝－2BC →
B [AD →＝AB →＋B
C →＋C
D →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.]
4．设a ，b 是不共线的向量，AB →＝a ＋k b ，AC →＝m a ＋b (k ，m ∈R )，那么当A ，B ，C 三点共
线时，有( )
A ．k ＝m
B ．km －1＝0
C ．km ＋1＝0
D ．k ＋m ＝0 B [∵A ，B ，C 三点共线，
∴AB →＝nAC →，
∴a ＋k b ＝mn a ＋n b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ mn ＝1，k ＝n ，
∴mk －1＝0.]
5．向量e 1，e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，假设a 与b 共线，那么k 等于( )
A ．±1
B ．1
C ．－1
D ．0 A [∵a 与b 共线，∴a ＝λb .
即k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，kλ＝1，解得k ＝±1.]
二、填空题
6．A ，B ，C 三点在数轴上，且点B 的坐标为3，AB ＝5，AC ＝2，那么点C 的坐标为________． 0 [设A ，C 的坐标分别为x A ，x C ，那么AB ＝3－x A ＝5，∴x A ＝－2，又AC ＝x C －x A ＝x C －(－
2)＝2，
∴x C ＝0.]
7．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，那么实数λ＝________. 12
[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，t ＝12.]
8．假设AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，那么四边形ABCD 的形状是________．
等腰梯形 [∵AB →＝3a ，CD →＝－5a ，
∴AB →＝－35
CD →， ∴AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，
∴四边形ABCD 为梯形．
又∵|AD →|＝|BC →|，
∴四边形ABCD 为等腰梯形．]
三、解答题
9．数轴上A ，B 两点的坐标为x 1，x 2，根据以下题中的条件，求点A 的坐标x 1.
(1)x 2＝－5，BA ＝－3；(2)x 2＝－1，|AB |＝2.
[解] (1)BA ＝x 1－(－5)＝－3，所以x 1＝－8.
(2)|AB |＝|－1－x 1|＝2，所以x 1＝1或x 1＝－3.
10．向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？
[解] 假设存在这样的实数λ，μ使得d ＝λa ＋μb 与c 共线，
∴d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)
＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2.
要使d 与c 共线，
那么有实数k ，使得d ＝k c ，
即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，所以λ＝－2μ.
故存在这样的λ，μ，使d 与c 共线．
[等级过关练]
1．设e 1，e 2是不共线向量，假设向量a ＝3e 1＋5e 2与向量b ＝m e 1－3e 2共线，那么m 的值等于( )
A ．－95
B ．－53
C ．－35
D ．－59
A [∵a ∥b ，∴存在实数λ，使得b ＝λa ，
即m e 1－3e 2＝λ(3e 1＋5e 2)，
∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3λ，－3＝5λ，
解得m ＝－95
.] 2．向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，那么向量a ＋b ＋c ＝( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．0
D [∵a ＋b 与c 共线， b ＋c 与a 共线，
∴a ＋b ＝λc ，b ＋c ＝μa ，
两式相减得a －c ＝λc －μa ，
移项得(1＋λ)c ＝(1＋μ)a .
∵向量a ，c 不共线，
∴只有1＋λ＝0,1＋μ＝0.
即λ＝－1，μ＝－1.
也就是a ＋b ＝－c ，
即a ＋b ＋c ＝0.]
3．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BC →＝3DC →，点O 在线段DC 上(与点C ，D 不重合)，
假设AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，那么x 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13 [∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴AO →＝x (AB →－AC →)＋AC →，
即AO →－AC →＝xCB →，
∴CO →＝xCB →，
∴x ＝|CO →||CB →|
. 又BC →＝3DC →，
∴0<x <|DC →||BC →|
＝13， ∴x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13.] 4．设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA →＝a ，OB →＝t b (t ∈R )，OC →＝13
(a ＋b )，那么当A ，B ，C 三点共线时，实数t 的值为________．
12 [∵OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13
(a ＋b )， ∴AB →＝OB →－OA →＝t b －a ，
AC →＝OC →－OA →＝13(a ＋b )－a ＝13b －23
a . ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →，
即t b －a ＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13b －23a . 由于a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝13λ，
－1＝－23λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝32，t ＝12.
故当t ＝12时，A ，B ，C 三点共线．]
5．如下图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23
AD →，AB →＝a ，AC →＝b .
(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →；
(2)求证：B ，E ，F 三点共线． [解] (1)延长AD 到G (图略)，使AD →＝12
AG →，连接BG ，CG ，因为D 是BC 和AG 的中点， 所以四边形ABGC 是平行四边形．
那么AG →＝AB →＋AC →＝a ＋b ，
所以AD →＝12AG →＝12
(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13
(a ＋b )，
因为F 是AC 的中点，
所以AF →＝12AC →＝12
b ， 所以BE →＝AE →－AB →
＝13(a ＋b )－a ＝13
(b －2a )． (2)证明：因为BE →＝13
(b －2a )， 而BF →＝AF →－AB →＝12
b －a ＝12(b －2a )，所以BE →＝23
BF →， 即BE →，BF →是共线向量，
因为BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．。