2017秋初中数学 利用三角形面积公式求解面积——巧用等底、等高

2017秋初中数学利用三角形面积公式求解图形面积
——巧用等底、等高
三角形面积公式1
2
S =
⨯⨯底高，再熟悉不过了．掌握起来，貌似也非常容易．但要灵活运用，并不那么容易．
先抛出一个问题，读者可以先思考，然后再读后续内容． 【学生问题】如图，已知M 是AB 的中点，N 是BC 上一点，且CN =2BN ，连接AN 与CM 相交于点O ，四边形BMON 的面积为7cm 2．
求:(1)CO :OM ; (2)三角形ABC 的面积．
这个题目，是2016年2月29日，一名七年级学生的问题．注意，是“七年级”学生的问题．
已知有线段比，又要求线段比，不少老师自然会联想到用相似三角形．但是，七年级学生显然没有学过相似．那么，此阶段所具备的知识有哪些？三角形面积公式，可能还有方程或方程组知识．
为解决上面问题，我们先将上面题目变式为几个小题目，以利后面更复杂问题的解答．
【变式1】如图，已知M 是AB 的中点，N 是BC 上一点，且CN =2AN 与CM 相交于点O ，三角形ABC 的面积为30cm 2．
求:(1)三角形AMC 的面积; (2)三角形ANC 的面积． 【变式1思路】
利用三角形面积公式，有等底、等高． 很显然，三角形AMC 的面积=
1
2
⨯大三角形ABC 面积． 同理，再利用底边CN =2BN ，可得，三角形ANC 的面积=2
3
⨯大三角形ABC 面积．
【变式2】如图，已知M 是AB 的中点，N 是BC 上一点，且CN =2BN ，连接AN 与CM 相交于点O ，三角形ABC 的面积为30cm 2．
求：三角形CON 面积与三角形AOM 面积之差.
相信，有了变式1的基础，这个题目不是难题．可以用“补”的方法，补形为可求面积且有公共部分的三角形，如变式1题图，也可以补为右图形式．
【变式3】如图，已知M 是AB 的中点，N 是BC 上一点，且CN =2BN AN 与CM 相交于点O ，三角形ABC 的面积为30cm 2．
求：四边形BMON 的面积．
【变式3思路】用“割”的方法，割四边形为两个三角形．再结合三角形面积公式，可以把相关三角形面积表示在下图中：
于是有210
315
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
这里，各部分面积如何表示出的呢？注意下面线段长度关系：
CN=2BN
方程组如何得到的呢？注意下面两个三角形面积：
【变式3思路二】用一元一次方程．
C
于是，有3(10-2x )+x =15． 这里，
根据S BCM
=12S A BC =20列方程
根据S AB N =1
3
S A BC =10
表示出S
BON
C
C
【变式4】如图，已知M 是AB 的中点，N 是BC 上一点，且CN =2BN ，连接AN
与CM 相交于点O ，三角形ABC 的面积为30cm 2．
求：图中阴影部分面积.
相信，有了变式3的基础，这个问题不再是难题．
回头再看【学生问题】，有了想法：
于是，有()7
225x y x y y
+=⎧⎪⎨
+=⎪⎩
这里，()225x y y +=是如何得到的呢？请看下图：
CN=2
BN
同样的，【学生问题】也可以用一元一次方程求解．
N
C
表示出上图中面积关系，之后，
用什么样的相等关系去列方程，方法不只一种，但都离不开与大三角形
ABC 全面积的关系．读者可以尝试用不同方式试试．
解决了上述学生问题，总结出，当只能利用三角形面积公式求解面积时，最重要的是，观察底边、高，找到等底、等高，或是找到底的比、高的比，将之与面积比相联．
在小学6年级至和初中8年级上册阶段，几乎都不能利用相似知识．以下，按题目难易和变化，给出一些问题（侧重初中方程解法），以利读者触类旁通．
E
B
【题目1.】如图，△ADE 中，BD =3AB ,CE =5AC , △ABC △ADE 的面积．
这里，连接BE ，或CD 都可以找到面积关系，表示在下图中．
A A
【题目2.】如图，△ABC 的面积是5，BD =2CD ，AF =DF ,积．
【题目2.思路】
这里，相关三角形面积在图中表示出．为方便理解，按表示的顺序分步画图．
A B
于是，有2(2)25y x x y -++=，y 可求． 【题目2.思路二】
y )
A B
于是，有()2253112523y x x y ⎧
=⨯⎪⎪⎨⎪++=⨯⎪⎩
【题目2.思路三】
2
(A
B x x B
A
于是，有12225253
3
x x ⎡⎤⎛
⎫⨯
--=⨯
⎪⎢⎥⎝
⎭
⎣⎦
【题目3.】如图，AD 、BE 、CF 把△ABC 分成6个小三角形，其中3个小三角形的面积已在图上标明，求△ABC 的面积．
【题目3.思路】
这里，需从已知面积，发现线段长度关系，再将线段长度关系转化为面积关系．
面积40:30，于是有BD:CD =4:3
面积2:1，于是有OB =2OE
于是，有()240:(75)4:3x x ++=
下面一个题目，是某年北京西城区七年级下期末数学试题．题目通过阅读理解的形式，为答题者提供了更为完整的思考路径，在解答题目的同时，也学到方法．作为本文结束的最后一题，也是本文的总结．
【题目4.】 阅读理解
如图a ，在△ABC 中，D 是BC 的中点，如果ABC S ∆表示△ABC 的面积，则由等底等高的三角形的面积相等，可得1
2
ABD ACD ABC S S S ∆∆∆==
.同理，如图b ，在△ABC 中，D 、E 是BC 的三等分点，可得1
3
ABD ADE AEC ABC S S S S ∆∆∆∆===
图 b
图 a
结论应用
已知：△ABC 的面积为42，请利用上面的结论解决下列问题：
（1）如图1，若D 、E 分别是AB 、AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，△DBF 的面积为______；
类比推广
（2）如图2，若D 、E 是AB 的三等分点，F 、G 是AC 的三等分点，CD 分别交BF 、BG 于M 、N ，CE 分别交BF 、BG 于P 、Q ，求△BEP 的面积；
图2
（3）如图3，问题（2）中的条件不变，求四边形EPMD的面积．
图3
【题目4.思路】
（1）
图 1
图 1
图 1
于是，有
221
221
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
（2）
图2
图2
图2
于是，有
314
2328
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得x=2.
（3）
图3
图3
图3
第（2）问已求出△BEP 的面积，于是，图3中只需要求出x+y 即可． 有314
314
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
两式相加，得4x +4y =28，所以x +y =7，所以，四边形EPMD 面积为5．。