山东省青岛市高三数学第一次模拟考试 文(青岛市一模第2套)新人教A版

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山东省青岛市2014届高三数学第一次模拟考试 文（青岛市一模第
2套）新人教A 版
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．复数
21i
i
+（i 是虚数单位）的虚部为 A ．1- B ．i C ．1 D ．2
２．已知全集R U =，集合{}
2
|0A x x x =->，{}|ln 0B x x =≤，则()U C A B =I
A ．(0,1]
B ．(,0)(1,)-∞+∞U
C ．∅
D ．(0,1)
3．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为 A ．28 B ．32 C ．40 D ．64 ４．命题“R,x ∃∈使得2
10x x ++<”的否定是
A ．R,x ∀∈均有2
10x x ++< B ．R,x ∀∈均有2
10x x ++≥ C ．R,x ∃∈使得2
10x x ++≥ D ．R,x ∀∈均有2
10x x ++> ５．曲线3
2y x x =-在(1,1)-处的切线方程为
A ．20x y --=
B ．20x y -+=
C ．20x y +-=
D ．20x y ++= ６．抛物线28y x =的焦点坐标为
2
A ．(2,0)
B ．(2,0)-
C ．1(0,
)32 D ．1(0,)16
７．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2
A π
ωϕ>><
的部分图
象如图所示，为了得到sin 2y x =的图象，只需将()f x 的图象
A ．向右平移3π个单位
B ．向右平移6π
个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6
π
个单位
８．设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
，若z 的最大值为12，则z 的最小值为
A ．3-
B ．6-
C ．3
D ．6
9．现有四个函数：①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③x x y cos ⋅= ④x
x y 2⋅=的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是
A ．①④③②
B ．④①②③ C. ①④②③． D ．③④②①
10．若
i A (n i ,,3,
2,1Λ=)是AOB ∆所在的平面内的点，且i OA OB
OA OB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
.
给出下列说法：①12||||||||n OA OA OA OA ====u u u r u u u u r u u u u r u u u r L ；②||i OA u u u r
的最小值一定是
||OB uuu r ； ③点A 、i A 在一条直线上．其中正确的个数是
A ．0个.
B ．1个.
C ．2个.
D ．3个.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
3
11. 已知4x >，则1
4
x x +
-的最小值_________; 12. 圆2
2
:2440C x y x y +--+=的圆心 到直线:3440l x y ++=的距离d = ; 13．已知3sin(
)65x π
-=，则cos()3
x π
+= ; 14. 如图是某算法的程序框图，若任意输入
[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的
概率为 ;
15. 如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有
11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出
下列函数①2
y x =;②1x
y e =+;③2sin y x x =-;④ln 0
()0
0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上
函数是“H 函数”的所有序号为 .
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）
已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x x x -==，设函数x f ⋅=)(,若函数)(x g 的图象与)(x f 的图象关于坐标原点对称. （Ⅰ）求函数)(x g 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
6,4ππ上的最大值,并求出此时x 的取值； （Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,
的对边，若(
)()212122
A A
f g ππ-++=7=+c b ，8=bc ，求边a 的长．
17．（本小题满分12分）
在某高校自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和
“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为,,,,A B C D E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；
4
（Ⅱ）若等级,,,,A B C D E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； （Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A . 在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率
.
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中,PA ⊥面ABCD ，
E 、
F 分别为BD 、PD 的中点，EA EB =.
（Ⅰ）证明：PB ∥面AEF ； （Ⅱ）证明：AD PB ⊥ 19．（本小题满分12分）
在数列{}n a )N (*
∈n 中，其前n 项和为n S ，满足22n n S n -=.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）设n a
n n b 2⋅=,求数列{}n b 的前n 项和n T .
20．（本小题满分13分）
已知函数2()2ln ,f x x x =-2().h x x x a =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）设函数()()(),k x f x h x =-若函数()k x 在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值
P
F
E A B
C
D
5
范围．
21．（本小题满分14分）
已知点P 在椭圆C :)0(122
22>>=+b a b
y a x 上，以P 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的
右焦点2F ，且,22=⋅OF OP 2tan 2=∠OPF ，其中O 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点）
，（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM =u u u r u u u u r
, 求直线l 的方程;
（Ⅲ）作直线1l 与椭圆D :22
2221x y a b
+=交于不同的两点S ,T ,其中S 点的坐标为(2,0)-,
若点(0,)G t 是线段ST 垂直平分线上一点,且满足4GS GT ⋅=u u u r u u u r
,求实数t 的值.
高三自主检测
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． C A D B A C B B C B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
6
11. 6 12. 3 13.
3
5 14．23
15．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得：
)6
2sin(212sin 2322cos 1cos sin 3sin )(2π
+-=--=
-=x x x x x x x f 所以)6
2sin(21)(π
---=x x g ……………………3分 因为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-
∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-∈-6,3262πππx 所以当2
6
2π
π
-
=-
x 即6
π
-
=x 时，
函数)(x g 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值为21.……………………6分
（Ⅱ）由(
)()212122A A
f g ππ-++=
sin 2
A =
又因为π<<A 0，解得：21cos =A 或2
1
cos -=A ……………………8分 由题意知 8=bc ，7=+c b
所以A A bc c b A bc c b a cos 1633)cos 1(2)(cos 22
2
22-=+-+=-+= 则2
25a =或2
41a =
故所求边a 的长为5
……………………12分 17．（本小题满分12分）
解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人……………………2分
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为
40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=……………………4分
7
（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
10.220.130.37540.2550.075 2.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………7分
（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A ，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为
{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},有6个基本事
件
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1
()6
P B =. ……………………12分 18．（本小题满分12分）
(Ⅰ)因为E 、F 分别为BD 、PD 的中点， 所以EF ∥PB ……………………2分 因为EF ⊂面AEF ，PB ⊄面AEF 所以PB ∥面AEF ……………………5分 (Ⅱ)因为PA ⊥面ABCD
所以PA AD ⊥……………………7分 因为EA EB =，所以ABE BAE ∠=∠ 又因为E 为BD 的中点 所以ADE DAE ∠=∠
所以2()180BAE DAE ∠+∠=o
得90BAE DAE ∠+∠=o
，即
BA AD ⊥……………………10分
因为PA AB A =I ，所以AD ⊥面PAB
所以AD PB ⊥……………………12分 19．（本小题满分12分）
P
F
E A
B
C
D
8
解:(Ⅰ)由题设得:2
2n n S n -=,所以)2()1(1221≥---=-n n n S n
所以n S S a n n n -=-=-11 )2(≥n ……………2分
当1=n 时，011==S a ,数列{}n a 是01=a 为首项、公差为1-的等差数列 故n a n -=1.……………5分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知: 12n
n b n -=⋅
所以n n b b b b T ++++=Λ321
01231122232422n n ----=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅L
112341212223242(1)22n n n T n n -------⋅=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ……………………8分
两式相减得：
123411
12222222
n n n T n ------=++++++-⋅L 111
22()()2(2)()222
n n n n n =-⋅-⋅=-+.
所以1
42(2)()2
n n T n =-+.……………………12分 20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）)(x f 的定义域是),0(+∞，02
2)(=-
='x
x x f ，得1=x ……………………3分 )1,0(∈x 时，0)(<'x f ，(1,)x ∈+∞时，0)(>'x f ，
所以()f x 在1=x 处取得极小值1 ……………………6分
（Ⅱ）)0(ln 2)()()(>--=-=x a x x x h x f x k
所以2
()1k x x
'=-
，令,0)(>'x k 得2>x 所以()k x 在)2,0(递减，在),2(+∞递增 ……………………9分
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≥∴0)3(0)2(0)1(k k k ……………………11分 所以22ln232ln3a -<≤- ……………………13分 21．（本小题满分14分）
9
解:（Ⅰ）由题意知,在2OPF ∆中, 22OF PF ⊥ 由2tan 2=
∠OPF 得: 3
6cos 2=
∠POF 设r 为圆P 的半径,c 为椭圆的半焦距 因为,22=⋅OF 所以23
6
2
2
=⋅⋅+c r c 又2tan 2==
∠r
c
OPF ,解得:1,2==r c ,则点P 的坐标为)1,2(±………………2分 因为点P 在椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 上,所以有11
)2(22
2=+±b a 又22
22==-c b a ,解得: 2,42
2
==b a
所求椭圆C 的方程为12
42
2=+y x .……………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆C 的方程为12
42
2=+y x 由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k , 则其方程为),0(),1(k N x k y +=
设),(11y x Q ,由于QM NQ 2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-
3
,3211k
y x =-=∴ ……………………7分
又Q 是椭圆C 上的一点,则12
)3(4)32(2
2=+-k
解得4±=k
所以直线l 的方程为044=+-y x 或044=++y x ……………………9分
（Ⅲ）由题意知: D : 2
214
x y +=
由(2,0)S -, 设11(,)T x y
根据题意可知直线1l 的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线1l 的方程为)2(+=x k y 把它代入椭圆D 的方程,消去y ,整理得: 0)416(16)41(2
2
2
2
=-+++k x k x k
由韦达定理得22141162k k x +-=+-,则2214182k k x +-=,=+=)2(11x k y 2
414k
k
+
10
所以线段ST 的中点坐标为,418(22k k +-)4122
k
k
+ (1)当0=k 时, 则有(2,0)T ,线段ST 垂直平分线为y 轴
于是(2,),(2,)GS t GT t =--=-u u u r u u u r 由244GS GT t ⋅=-+=u u u r u u u r
,解得:22±=t ……………………11分
(2) 当0≠k 时, 则线段ST 垂直平分线的方程为-y +
-=+x k
k k (1
4122)41822k k + 因为点(0,)G t 是线段ST 垂直平分线的一点
令0=x ,得:2
416k
k
t +-
= 于是11(2,),(,)GS t GT x y t =--=-u u u r u u u r
由4211224(16151)
2()4(14)k k GS GT x t y t k +-⋅=---==+u u u r u u u r ,解得:7
14±=k
代入2
416k k
t +-
=,解得: 5142±=t
综上, 满足条件的实数t 的值为22±=t 或5
14
2±=t .……………………14分。