吉林省白城一中2016届高三下学期4月阶段测试理数试题 含答案

数学理科试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题
给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的. 1。

复数31
2i i i
z +-=
（i 为虚数单位）的共轭复数为( )
A ．i 21-
B ．i 21+
C ．1-i
D ．i -1
2.已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z z B ∈∈+==,,，则B 的子集个数为（ ） A ．8 B ．3 C ．4 D ．7
3.设R a ∈,则“1-=a ”是“直线01=-+y ax 与直线05=++ay x 平行”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4。

将函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图象向左平移8
π个单位，所得的函数关于y 轴
对称,则ϕ的一个可能取值为（ ）
A ．4
3π B ．4
π C ．0 D ．4
π-
5。

已知向量)2,1(),3,2(-==b a ,若b n a m +与b a 2-共线,则=n
m （ )
A ．21
B ．2
C ．-2
1
D ．2- 6.6)21)(12(x x
x +-的展开式中的常数项是（ ）
A ．135-
B ．160-
C ．140
D ．145-
7。

某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是1223
，则（ ）
A ．13=a
B ．12=a
C ．11=a
D ．10=a
8.设y x z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤-≥+,0,0,
02k y y x y x 若z 的最大值为6，则z 的最小值
为（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．1-
D ．0 9。

如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）
A ．43
2+π B ．3
42+π C ．43
+π D ．3
4+π
10.已知函数12)8()(22
-++++=a a x a x
x f ，
且)82()4(2-=-a f a f ，设等差数列{}n a 的前n 项和为)(*
∈N n S n
，若)(n f S
n
=，则
1
4--n n a a S 的最小值为( )
A ．627
B ．835
C ．3
14 D ．837
11。

设函数)2()33()(3
-≥--+-=x x ae x x
e x
f x x
，若不等式0)(≤x f 有解。

则实数a
的最小值为( ）
A ．e 11-
B ．e 12-
C ．11
-e
D ．2
1e +
12。

已知点A 是抛物线y x
42
=的对称轴与准线的交点，
点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PB m PA =,当m 取最大值时，点P 恰好在以B
A ,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为（ ） A ．
2
1
5- B ．
2
1
2+ C ．12+ D ．
15-
第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上) 13。

圆C 与圆1)
1(22
=+-y x 关于直线x y -=对称，
则圆C 的方程为_______。

14.已知函数1)391ln(
)(2+-+=x x x f ,则=+)2
1
(lg )2(lg f f _______.
15.已知在直角梯形ABCD 中，222,,===⊥⊥CD AD AB AD CD AD AB ，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥ABC D -，当三棱锥ABC D -的体积取最大值时，其外接球的体积为______.
16。

设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,则下列命题正确的是______（填写所有正确命题的序号)
①若C B A 2
sin 2sin sin =，则40π<<C ；②若c b a 2>+,则3
0π<<C ；
③若444
c b a
=+,则ABC ∆为锐角三角形;④若ab c b a 2)(<+,则2
π
>
C 。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n
a 的前n 项和)12(-=n n
k S
，且83=a 。

（1）求数列{}n
a 的通项公式; （2)求数列{}n
na 的前n 项和的n
T 。

18.(本小题满分12分）
心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为
了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男
30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择
一道题进行解答。

选题情况如下表:（单位：人)
（1）能否据此判断有%5.97的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （2）经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙同时各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
(3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX 。

附表及公式：
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n k ++++-=
19。

(本小题满分12分）
正方体1
1
11D C B A ABCD -中，沿平面1
1
ACC A 将正方体分成两部分，其中一部
分如图所示，过直线C A 1
的平面CM A 1
与线段1
BB 交于点M 。

(1）当M 与1
B 重合时，求证:1
AC MC ⊥；
（2）当平面⊥CM A 1
平面1
1
ACC A 时，求平面CM A 1
与平面ABC 所成锐二面角
的余弦值。

20。

(本小题满分12分)
已知边长为38的正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线)0(2:2
>=p py x
C 上。

（1）求抛物线C 的方程;
（2)已知圆过定点)2,0(D ,圆心M 在抛物线C 上运动,且圆M 与x 轴交于
B A ,两点，设21,l DB l DA ==，求
1
2
21l l l l +的最大值。

21。

(本小题满分12分） 设函数x a x a x
x f ln )2()(2
---=。

（1)求函数)(x f 的单调区间；
（2）若函数)(x f 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3）若方程)()(R c c x f ∈=有两个不相等的实数根2
1,x x ，比较)2
(2
1
x x f +'与0
的大小。

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

ⅠⅡⅢ—
22。

（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
等腰梯形ABCD 中，
BD AC BC AD 、，∥交于点Q ,AC 平分DAB ∠，AP 为梯形ABCD
外接圆的切线,交BD 的延长线于点P . (1)求证:PB PD PQ
⋅=2
;
（2）若3
4,2,3===AD AP AB ，求AQ 的长.
23。

（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1
C 的参数方程为为参数）t t y t x (,
2,
22⎩⎨⎧
+-=+=
,在以O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2
C 的方程为θ
ρ2
sin 312+=。

（1）求曲线1
C 、2
C 的直角坐标方程；
（2)若A 、B 分别为曲线1
C 、2
C 上的任意点,求AB 的最小值。

24。

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数121)(-+-=x x x f .
(1）求不等式2)(≥x f 的解集；
(2）若R x ∈∀,不等式x a x f ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围。

2015—2016学年度下学期高三4月阶段测试
数学理科试题答案
一、选择题BAABC BCADD AC 二、填空题 13。

1)1(22
=++y x
14。

2 15。

34π
16.
①②③
三、解答题 17。

(1)n n
a
2=；(2)22)1(1+⨯-=+n n n T .
18.解：（1）由表中数据得2
K 的观测值024.5556.59
50
20302030)881222(5022
>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，
所以根据统计有%5.97的把握认为视觉和空间能力与性别有关。

设事件A 为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为y x >,
∴8
1
221121
)(=⨯⨯⨯=A P ,即乙比甲先解答完的概率为81。

(3)X 可能取值为0，1,2，
2815
)0(=
=X P ，732812)1(===X P ,28
1)2(==X P , 所以X 的分布列为
X 0
1
2
P
28
15
28
12 28
1 2
282281280=⨯+⨯+⨯
=EX 。

19.（1）证明：连接B C 1
，在正方形1
1
BCC B 中,C B BC 11
⊥，
正方体1
1
11D C B A ABCD -中，⊥AB 平面1
1
BCC B ,
∈C B 1平面11BCC B ，∴C B AB 1⊥，∴⊥C B 1平面1ABC ，
∴11
AC BC
⊥，即1AC MC ⊥。

（2）解：正方体1
1
11D C B A ABCD -中，CB 、AB 、1
BB 两两垂直,
分别以CB 、AB 、1
BB 为z y x 、、轴建立空间直角坐标系，
设a AB =，∴),,0(),0,0,(1
a a A a C --，设),0,0(z M ，
∴),0,(),,,(1
z a CM a a a CA =-=，设平面CM A 1
的法向量为),,(1111
z y x n
=，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,
0,0111CM n CA n 即⎩⎨⎧=+=+-,0,011111zz ax az ay ax 令a z =1，得),,(1a z a z n --=，
平面1
1
ACC A 的法向量为)0,1,1(2
=n
,
平面ABC 的法向量为)1,0,0(3
=n
，
∵平面⊥CM A 1
平面1
1
ACC A ,∴021
=⋅n
n ，得
a z 21=,∴),2
,2(1a a
a n -=， 设平面CM A 1
与平面ABC 所成锐二面角为θ， 则36
2
6
1cos 3
13
1
=⋅=
⋅=a a n n n
n θ。

20.(1）y x
42
=；
（2)22。

21.解：(1）
)0()1)(2()2(2)2(2)(2>+-=---=---='x x
x a x x a x a x x a a x x f ,
当0≤a 时，0)(>'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增， 所以函数)(x f 的单调增区间为),0(+∞，无单调减区间。

当0>a 时,由0)(>'x f 得2
a x >;由0)(<'x f 得2
0a x <<,
所以函数)(x f 的单调增区间为),2
(+∞a ，单调减区间为)2
,0(a 。

（2）由（1）得,若函数)(x f 有两个零点，则0>a ，且)(x f 的最小值0)2
(<a f ，
即02
ln
442
<-+-a
a a a
, 因为0>a ,所以042
ln 4>-+a a ,
令42
ln 4)(-+=a a a h ，显然)(a h 在),0(+∞上为增函数，且
0116
81
ln 123ln 4)3(,02)2(>-=-=<-=h h ，所以存在0)(),3,2(00=∈a h a ，
当0
a a >时，0)(>a h ；当0
0a a <<时,0)(<a h ，所以满足条件的最小正整数3=a .
又当3=a 时，0)1(,0)3ln 2(3)3(=>-=f f ，所以3=a 时,)(x f 有两个零点, 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3。

(3）0)2
(2
1
>+'x x
f ，结论证明如下：因为21,x x 是方程c x f =)(的两个不等实根，由（1）知0>a 。

不妨设21
0x x
<<，则,ln )2(1121c x a x a x =---,ln )2(222
2c x a x a x =--- 两式相减得)ln ln (ln ln 222211221122
212
1
x x x x a x a ax x a ax x x x x
--+=--+=--+,
所以2
2112
2
2121ln ln 22x x x x x x x x a --+--+=,
因为0)2
(='a f ，当)2
,0(a x ∈时,0)(<'x f ，当),2
(+∞∈a x 时,0)(>'x f ，
故只要证2221a x x >+即可，即证明2
2112
2
212121ln ln 22x x x x x x x x x x --+--+>+，
即证明2221212121222
1
22)ln )(ln (x x x x x x x x x x
--+<-++-,
即证明2
12
12
1
22ln x x x x x x
+-<
，设)10(2
1
<<=t x x
t ,
令122ln )(+--=t t t t g ,则2
2
2)
1()1()1(41)(+-=+-='t t t t t t g , 因为1>t ，所以0)(≥'t g ，当且仅当1=t 时，0)(='t g ，
所以)(t g 在),0(+∞上是增函数,
又0)1(=g ，所以当0)(),1,0(<∈t g t 总成立,所以原题得证。

22。

解：(1）∵PA 为圆的切线，∴ABD PAD ∠=∠，∵AC 平分DAB ∠，∴
CAD BAC ∠=∠，
∴ABC BAC DAC PAD ∠+∠=∠+∠，∴AQP PAQ ∠=∠,∴PQ PA =,∴PA 为圆的切线， ∴PB PD PA ⋅=2
，∴PB PD PQ ⋅=2.
（2）∵PBA PAD ∆∆~，∴AB
PB AD
PA =,∴2
9=PB ,
∵PB PD PA
⋅=2
，∴98
=
PD ，∴9
10982=-=-==PD PA DQ AQ 。

23.（1）14
:,0232:22
21=+=--y x C y x C 。

（2）设)sin ,cos 2(θθB ,则
5
23)4
cos(22523sin 2cos 2-+=
--=π
θθθAB , 当且仅当)(4
2Z k k ∈-=ππθ时，510
5
2min
==AB。

24.（1）⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤≤340x x x 或。

（2）当0=x 时，0,2)(==x a x f ，原式恒成立；
当0≠x 时，原式等价转换为a x
x
≥-+-1211恒成立,即min
1211x x
a -+-≤。

∵1)12()11(1211=---≥-+-x
x
x
x
,当且仅当0)12)(11(≤--x
x
即12
1≤≤x 时等号成立，
∴1≤a .。