【精品】2017学年河南省驻马店市高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2016-2017学年河南省驻马店市高二（上）期中数学试卷（理科）
一．选择题：
1．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）
A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜0
2．（5分）已知实数﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则a2b2﹣a1b2等于（）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
3．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，
sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；
③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；
④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）
A．③B．③④C．②③④D．①②③④
4．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）
A．16 B．8 C．D．4
5．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=0.5b，a＞b，则B=（）
A．30°B．60°C．120° D．150°
6．（5分）在数列{a n}中，a1=﹣1，a2=2，且满足a n+1=a n+a n+2，则a2016=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
7．（5分）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增长10%，从今年起10年内这家超市的总销售额为（）万元．
A．1.19a B．1.15a C．10a（1.110﹣1） D．11a（1.110﹣1）
8．（5分）已知0＜x＜2，则+的最小值为（）
A．8 B．2 C．10 D．6
9．（5分）在△ABC中，A＞B，则下列不等式正确的个数为（）
①sinA＞sinB ②cosA＜cosB ③sin2A＞sin2B ④cos2A＜cos2B．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（5分）对任意的a∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）
11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
12．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A． B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．
二.填空题：
13．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的取值范围是．14．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N+），则a6=．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．
16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC 边的中点，且•=（a2﹣ac），则角B=．
三.解答题：
17．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
18．（12分）解关于x的不等式：＞1（a＞0）．
19．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设a n b n=n，求数列{b n}的前n项和S n．
21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．
（1）求证：a，b，c依次成等比数列；
（2）若b=2，求u=||的最小值，并求u达到最小值时cosB的值．
[选修2-1，第一章内容]
22．已知a＞0，集合A={x|ax2﹣2x+2a﹣1=0}，B={y|y=log2（x+﹣4）}，p：A=∅，q：B=R．
（1）若p∧q为真，求a的最大值；
（2）若p∧q为为假，p∨q为真，求a的取值范围．
[选修2-1第二章内容]
23．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点
（1）求证：AB⊥面BEF；
（2）设PA=h，若二面角E﹣BD﹣C大于45°，求h的取值范围．
2016-2017学年河南省驻马店市高二（上）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：
1．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）
A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜0
【解答】解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；
，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知a b＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；
故选：D．
2．（5分）已知实数﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则a2b2﹣a1b2等于（）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
【解答】解：设等差数列的公差为d，依题意得﹣1=﹣9+3d，
解得d=，∴，
又=﹣9×（﹣1）=9，
∴b2=3或b2=﹣3，
若b2=3，=﹣9b2=﹣27与＞0矛盾，∴b2=3舍去，
∴a2b2﹣a1b2=b2（a2﹣a1）=﹣3×=﹣8．
故选：B．
3．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，
sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；
③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；
④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）
A．③B．③④C．②③④D．①②③④
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，可知①不正确；②正确；
由基本不等式可知③正确；由sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，可知④正确；
故选：C．
4．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）
A．16 B．8 C．D．4
【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，
∴a4•a14=（2）2=8，
∴a7•a11=8，
∵a7＞0，a11＞0，
∴2a 7+a11≥2=2=8．
故选：B．
5．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=0.5b，a＞b，则B=（）
A．30°B．60°C．120° D．150°
【解答】解：在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosA=b，
∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB≠0，
∴sinAcosC+sinCcosA=，
∴sin（A+C）=，
又A+B+C=π，
∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB=，又a＞b，
∴B=30°．
故选：A．
6．（5分）在数列{a n}中，a1=﹣1，a2=2，且满足a n+1=a n+a n+2，则a2016=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【解答】解：∵a1=﹣1，a2=2，a n+1=a n+a n+2，
∴a3=a2﹣a1=3，同理可得：a4=1，a5=﹣2，a6=﹣3，a7=﹣1，…，
=a n．
∴a n
+6
则a2016=a335×6+6=a6=﹣3．
故选：A．
7．（5分）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增长10%，从今年起10年内这家超市的总销售额为（）万元．
A．1.19a B．1.15a C．10a（1.110﹣1） D．11a（1.110﹣1）
【解答】解：每一年的销售额形成等比数列{a n}满足，a1=1.1a，a2=1.12a，…，可得：=a×1.1n．
∴从今年起10年内这家超市的总销售额==11a（1.110﹣1）．
8．（5分）已知0＜x＜2，则+的最小值为（）
A．8 B．2 C．10 D．6
【解答】解：∵0＜x＜2，f（x）=+，
f′（x）=﹣+==．
∴当x=时，f（x）取得最小值=2+6=8．
故选：A．
9．（5分）在△ABC中，A＞B，则下列不等式正确的个数为（）
①sinA＞sinB ②cosA＜cosB ③sin2A＞sin2B ④cos2A＜cos2B．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜，π，且0＜B+A＜π，
由①，A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故①对
由②，因为△ABC中，利用余弦函数在（0，π）递减，可得A＞B，则cosA＜cosB，故②对．
对于③，例如A=60°，B=45°，满足A＞B，但不满足sin2A＞sin2B，所以③不对；对于④，因为在锐角△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，所以利用二倍角公式即1﹣2sin2 A＜1﹣2sin2 B，∴cos2A ＜cos2B，故④对．
正确的是：①②④
故选：D．
10．（5分）对任意的a∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）
【解答】解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，
只需，
∴，
∴x＜1或x＞3．
故选：A．
11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
【解答】解：如图所示，
当a≥1时，由，
解得，y=．
∴．
当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，
∴，化为a2+2a﹣15=0，
解得a=3，a=﹣5舍去．
当a＜1时，不符合条件．
故选：B．
12．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A． B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．
【解答】解：当x∈（﹣∞，0]时，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x=x+1．令y=2x，y=x+1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（﹣∞，0]上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0．
当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣1，由g （x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x﹣1=x．令y=2x﹣1，y=x．在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点
为x=1．
当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣2+1，由g （x）=f（x）﹣x=2x﹣2+1﹣x=0，得2x﹣2=x﹣1．令y=2x﹣2，y=x﹣1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2．
依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为a n=n﹣1．
故选：B．
二.填空题：
13．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．
【解答】解：由x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，
反之不成立．
则a的最大值为﹣1．
∴a≤﹣1
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
14．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N+），则a6=768．【解答】解：∵a n
=3S n（n∈N+），∴n=1时，a2=3；
+1
n≥2时，a n=3S n﹣1，可得：a n+1﹣a n=3a n，即a n+1=4a n．
∴数列{a n}从第二项起为等比数列，
∴a6==3×44=768．
故答案为：768．
15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）
（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．
【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC
⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c
⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，
又因为：a=2，
所以：，
△ABC面积，
而b2+c2﹣a2=bc
⇒b2+c2﹣bc=a2
⇒b2+c2﹣bc=4
⇒bc≤4
所以：，即△ABC面积的最大值为．
故答案为：．
16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC 边的中点，且•=（a2﹣ac），则角B=30°．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
根据图形及向量的平行四边形法则得到：=﹣，
由点D为边BC的中点，得到=，
则•==，而•=（a2﹣ac），
得到=（a2﹣ac），即a2+c2﹣b2=ac，
则cosB===，又B∈（0，180°），
所以B=30°．
故答案为30°
三.解答题：
17．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，
又A为锐角，
则A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc=，又sinA=，
则S
=bcsinA=．
△ABC
18．（12分）解关于x的不等式：＞1（a＞0）．
【解答】解：∵＞1（a＞0），
∴＞0，
0＜a＜1时，解得：2＜x＜，
a=1时，解得：x＞2，
a＞1时，解得：x＞2或x＜．
19．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．
解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），
解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；
（2）S n==2n﹣1，
∴b n===﹣，
∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣
．
20．（12分）已知数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设a n b n=n，求数列{b n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）∵数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．
∴n=1时，a1=；n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2•a n﹣1=．
可得3n﹣1a n=，∴a n=．n=1时也成立．
∴a n=．
（2）a n b n=n，∴b n=n•3n．
∴数列{b n}的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n•3n，
3S n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，
∴﹣2S n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，
解得S n=．
21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．
（1）求证：a，b，c依次成等比数列；
（2）若b=2，求u=||的最小值，并求u达到最小值时cosB的值．【解答】证明：（1）∵2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC，
∴2cosAcosC+2sinAsinC+1﹣2sin2B=1+2cosAcosC，
即2sinAsinC﹣2sin2B=0，
即sinAsinC=sin2B，
即ac=b2，
∴a，b，c依次成等比数列；
解：（2）若b=2，则ac=4，
则u=||=||=|a﹣c|+||≥2，
当且仅当|a﹣c|=时，u=||取最小值2，
此时cosB===．
[选修2-1，第一章内容]
22．已知a＞0，集合A={x|ax2﹣2x+2a﹣1=0}，B={y|y=log2（x+﹣4）}，p：A=∅，q：B=R．
（1）若p∧q为真，求a的最大值；
（2）若p∧q为为假，p∨q为真，求a的取值范围．
【解答】解：当a＞0时，
若命题p：A=∅为真，
则，解得：a∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），
∴a∈（1，+∞），
若命题q：B=R为真．
则2﹣4≤0，
解得：a∈（0，4]
（1）若p∧q为真，则a∈（1，4]，
故a的最大值为4；
（2）若p∧q为为假，p∨q为真，
则p，q一真一假，
若p真q假，则a∈（4，+∞），
若p假q真，则a∈（0，1]，
综上可得：a∈（0，1]∪（4，+∞）
[选修2-1第二章内容]
23．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点
（1）求证：AB⊥面BEF；
（2）设PA=h，若二面角E﹣BD﹣C大于45°，求h的取值范围．
【解答】证明：（1）以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，
以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，h），B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，），F（1，2，0），
=（0，1，），=（0，2，0），=（﹣2，0，0），
∴=0，=0，
∴CD⊥BE，CD⊥BF，∴CD⊥面BEF．
∵AB平行于CD，∴AB⊥面BEF．
解：（2）设面BCD的法向量为，则（0，0，1），
设面BDE的法向量为（x，y，z），
∵=（﹣1，2，0），=（0，1，），
∴，取x=2，得=（2，1，﹣），
∵二面角E﹣BD﹣C大于45°，
∴cos＜＞=＜cos45°=，
由h＞0，解得h＞，
∴h的取值范围是（，+∞）．
赠送初中数学几何模型【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝CD ，求证AC ⊥BD ； (2)如图2，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB ＝2，DC ＝4，求⊙O 的半径.
E
A
O
D
C
B
2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

（1）求︵AB l ＋︵
CD l 的值；
（2）求AP 2＋BP 2＋CP 2＋DP 2的值；
3. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 交于点P ． (1)如图1，设⊙O 的半径是r ，若︵AB l ＋︵
CD l ＝πr ，求证：AC ⊥BD ；
(2)如图2，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为G ，AE 交BD 于点M ，交⊙O 于点E ；过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，DH 交AC 于点N ，交⊙O 于点F ；若AC ⊥BD ，求证：MN ＝EF ．
P
B
C
O
A
D
H
M
N E
G
P B
C O A
D
图1 图2
4. 如图，在⊙O 中，弦AB 丄弦CD 与E ，弦AG 丄弦BC 与F 点，CD 与AG 相交于M 点．
(1)求证：︵BD ＝︵
BG ；(2)如果AB =12，CM =4，求⊙O 的半径．
5.（1）如图1，在⊙O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，求证：AE =BE ； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA 、PB
组成⊙O 的一条折弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB .可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 上优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，
则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
B
A
O
E
E
F
D
B
O
P
E
D
B
O
P
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AC ⊥BD 于E ，F 为AB 中点。

（1）如图1，若连接FE 并延长交DC 于H ，求证：FH ⊥DC ；
（2）如图2，若OG ⊥DC 于G ，试判断线段OG 与EF 的关系，并说明理由。

图1 图2。