重庆市巫溪县中学校2017-2018学年高二上学期第二次月

巫溪中学高2019级高二上期第二次月考
数学试题（理科）
命题：曾凡荣 陈函锐 审题：赵本第 一、选择题:( 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的一项。

)
1、直线033=-+y x 的倾斜角为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2、设()1,1,1,(3,1,5)A B -，则线段AB 的中点在空间直角坐标系中的位置是（ ） A ．在y 轴上 B ．在xoy 面内 C ．在xoz 面内 D ．在yoz 面内
3、将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线（ ）
A ．垂直
B ．平行
C ．相交
D ．异面
4、在四面体ABC O -中，点P 为棱BC 的中点. 设=，=，=，那么向
量AP
用基底{}
c b a ,,可表示为（ ）
A ．c b a 2
12121++-
B ．2
1
21++
- C ．2
1
21++
D ．c b a 2
1
2121++
5、直线30x y a +-=与0126=++y x 的位置关系是（ ） A ．相交
B ．平行
C ．重合
D ．平行或重合
6、如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（
） A.
B.4
C.
D.2
第6题图
7、过点)4,1(A ，且横纵截距的绝对值相等的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
8、半径为cm 2的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，则它的最高处距桌面（ ）
O
A B
C
P
A ．cm 4
B ．cm 2
C ．cm 32
D ．cm 3
9、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能为（ ）
A ．1 B
12 D
．1
2
10、如图所示，空间四边形ABCD 中，2==BC AD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，3=EF ，则异面直线AD ，BC 所成的角的补角为（ ） A ．
120 B ．
60 C ．
90 D ．
30 11、如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，△AED 、△EBF 、△FCD 分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体EFD A '的四个顶点在同一个球面上，则该球面的面积为（ ）．
A.π3
B. π6
C. π10
D. π18 12. 在直三棱柱111C B A ABC -中，底面为直角三角形，
,2,6,901====∠︒CC BC AC ACB P 是1B C 上一动点，
则1C P PA +的最小值是（ ）
A.63
B. 25
C.7
D.34 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、如果直线012=++y ax 与直线02=-+y x 互相垂直，则a 的值为 14、如图所示，P 是菱形ABCD 所在平面外的一点，且∠DAB ＝60°，
边长为a .侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ， PB 与平面AC 所成的角为θ，则θ＝__________ 15、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的
动直线30mx y m -
-+=交于点(,)P x y ，设线段AB 的中点为C ，
则=PC 16、如图，在平行六面体
1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方
F E D B
A
形，若0
1160A AB A AD ∠=∠=，且51=C A ，则=A A 1
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分10分）ABC ∆中，点()()()1,2,1,3,3,3A B C --. （1）求AC 边上的高所在直线的方程； （2）求AB 边上的中线的长度.
18、（本小题满分12分)直线过点)1,3(-P ，且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点. (Ⅰ)若点P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程； (Ⅱ)若2=，求直线l 的方程.
19、（本小题满分12分)如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，AA 1＝12，点D 是AB 的中点．
(1)求证：AC ⊥B 1C ； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.
20、（本小题满分12分）如图，2=BC ，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为 )0,2
1
,23(
, 点D 在平面yOz 上，且
90=∠BDC ,
30=∠DCB . （Ⅰ）求向量OD 的坐标；
（Ⅱ）求向量BC AD 和的夹角的余弦值．
21、（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，︒=∠90ACB ，
12
1
AA BC AC =
=，D 是棱1AA 的中点； （Ｉ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；
（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
22、（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥. （Ⅰ）证明：111AB C A =；
（Ⅱ）若1AB AC ⊥，
1201=∠BCC ，BC AB =，
求二面角111C B A A --的余弦值．
C 1
B 1
A 1
C
B
A
C
B
A D
C 1
A 1
B 1
高2019级高二上期第二次月考数学答案（理科）
一、选择题 DCABD CCDCA BB 二、填空题 13、2- 14、45° 15、
210
16、3
三、解答题
18、（Ⅰ）设(,0),(0,)A a B b ，则362
1
22
a a
b b ⎧-=⇒=-⎪⎪⎨⎪=⇒=⎪⎩360x y ⇒-+=.
（Ⅱ）(3,1),(3,1)AP a PB b =--=-
936269031222
a a AP PB x y
b b =-⎧--=⎧⎪
=⇒⇒⇒-+=⎨⎨=-=⎩⎪⎩
19、证(1)∵C 1C ⊥平面ABC ，∴C 1C ⊥AC .
∵AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15， ∴AC 2
＋BC 2
＝AB 2
， ∴AC ⊥BC . 又BC ∩C 1C ＝C ， ∴AC ⊥平面BCC 1B 1， 而B 1C ⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥B 1C .
(2)连接BC 1交B 1C 于O 点，连接OD .如图，∵O ，D 分别为BC 1，AB 的中点，∴OD ∥AC 1.又OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1.∴AC 1∥平面CDB 1.
20、解：（Ⅰ）由
90=∠BDC ，
30=∠DCB ,在平面yOz 上，过点D 作y 轴的垂线，
垂足为E ，得1===OC OB DO ，易得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21,0D ，即的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21,0 （Ⅱ） ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-23,21,0D ,)0,21,23(A ,()()0,1,0,0,1,0C B -
()02023123，，，，，=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=∴
，5
10
4
3
1432cos -
=++-==∴θ 21、（Ｉ）证明：由题知1CC BC ⊥，AC BC ⊥，C AC CC = 1，∴⊥BC 平面11A ACC ， 又⊂1DC 平面11A ACC ，∴BC DC ⊥1．
由题知︒=∠=∠4511ADC DC A ，所以︒=∠901CDC ，即DC DC ⊥1， 又∵C BC DC = ，∴⊥1DC 平面BDC ； 又⊂1DC 平面1BDC ，故平面⊥1BDC 平面BDC ．
（Ⅱ）解：设棱锥1DACC B -的体积为1V ，1=AC ，由题意得 V 1 =2
1
1122131=⨯⨯+⨯
又三棱柱111C B A ABC -的体积为1=V ，所以()1:1:11=-V V V ， 故平面1BDC 分此棱柱为两部分体积的比为1:1.
22、 (1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点．
又AB ⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面ABO . 故B 1C ⊥AO . 又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1. 又AC=A 1C 1 所以AB 1 =A 1C 1
(2)因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，所以AO ＝CO .
又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌ △BOC .故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，
OB 1两两垂直．
以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，设|OB |=1，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz . 因为
601=∠CBB ，所以△CBB 1为等边三角形，又AB ＝BC ，则⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
33,
0,0A ，B (1，0，0)， )0,33,0(1B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,33,0C .设),,(z y x =是平面AA 1B 1的法向量，则即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=-0
33033
33z x z y ，
所以可取)3,3,1(=．设是平面A 1B 1C 1的法向量，则同理可取)3,3,1(-=．
则7
1
=
=
所以结合图形知二面角C B A A --11的余弦值为71。