D103三重积分17062

0
奇函数
3. 设由锥面 z x2y2 和球面 x2y2z24
所围成 , 计算 I(xyz)2dv.
z 2
提示:
I ( x 2 y 2 z 2 2 x y 2 y z 2 x z ) d v
4
利用对称性
oy
x
(x2y2z2)dv
由 z1(x2y2)z , 1 ,z4围 . 成 2
解: Ix2dxdydz 5 xy 2six n 2y2dxdydz
利用对称性
z
1 2 (x2y2)dxdydz0
14dz (x2y2)dxdy 21 D z
1 21 4dz0 2d02zr3dr21
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第十章
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为 (x,y,z) C ,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
用球坐标


2 d
0
4 0
sin d 2 r 4 0
dr
641
5
2
2
练习题 1. 计算
分析：若用“先二后一”, 则有
其中 由 所围成.
计算较繁! 采用“三次积分”较好.
解: 表为
所围, 故可
思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便?
2. 计算I (x 2 5 x2 s yix 2 n y 2 )d x d y d z ,其中
f(x,y,z)dv
y xD
dxd y
D
记作
z2(x,y) z1(x,y)
f(x,y,z)dzdxdy
dxdyz2(x,y)f(x,y,z)dz
微元线密度≈
f(x,y,z)dxdy
D z1(x,y)
方法2. 截面法 (“先二后一”)
:(xa,y)zDbz 以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
例3. 计算三重积分 z x2y2dxdydz其中为由
柱面 x2y22x及平面 z 0 ,z a ( a 0 )y , 0 所围
成半圆柱体.
02co s z
解: 在柱面坐标系下 : 02
a
0za
原式 z2dddz

yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为
:0ra3co ,s02, 0 2
利用对称性, 所求立体体积为
V dv
z
ra3cosa

4 2 d

2sin d
a 3 cosr2 dr
0
0
0
r
3 2a30 2sincod s

D z1(x,y)
方法2. “先二后一”
b
f(x,y,z)dvadzD Zf(x,y,z)dxdy
方法3. “三次积分”
f(x,y,z)dvb d xy 2 (x )dyz2 (x ,y )f(x ,y ,z)dz

a y 1 (x ) z1 (x ,y )
原式
2
= d
0
2 2 0
h021h12 (0 h 2d4 2)2 h4d2 dz d vd xodd yz

[1 (4h)ln 1(4h)4h]
4
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x,y,z) R 3,其柱坐(标 ,,为 z),令OM r,
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
例5. 计算三重积分 (x2y2z2)dxdydz,其中
为锥 z面 x2y2与球面 x2y2z2R2所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
: 04
0 2
f(x,y,z)
f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)
2
2
f1(x,y,z)f2(x,y,z)
均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
f(x,y,z)dv dxdyz2(x,y)f(x,y,z)dz
4
1
Dz
oy x
“乘
l im 0kn1f(k,k,k)vk记作
f(x,y,z)dv

存在, 则称此极限为函数 f(x,y,z)在上的三重积分.
d v 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如
中值定理. 设f(x,y,z)在有界闭域 上连续, V 为 的
ZOM ,则(r,,)就称为点M 的球坐标.
z
直角坐标与球面坐标的关系
z
x y z rr rss cii o n n c sso i ns
0 r
0 2 0

坐标面分别为
rM
o y
x
r 常数
常数
球面 M(r,,)
半平面
rsin
zrco s
常数
锥面
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 z
dvr2sin drdd
d d r因此有源自 r df(x,y,z)dxdydz
o

y
x
F(r,,)r2sindrdd d
其中 F ( r ,,) f ( r sc i, r n s o s i s , r n i c n ) o
1
3
y
a3
x
dvr2sin drdd
内容小结
坐标系
体积元素
适用情况
直角坐标系 dxdydz
积分区域多由坐标面
柱面坐标系
dddz
围成 ; 被积函数形式简洁, 或
球面坐标系 r2sindrdd 变量可分离.
* 说明:
三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
f ( x ,y ,z ) d x d y d z * F ( u , v ,w ) J d u d v d w
D zf(x,y,z)dxdyd z
该物体的质量为
f(x,y,z)dv


b a

D Z
f(x,y,z)dxdydz
记作
b
adzD Zf(x,y,z)dxdy
z b
z Dz a
y x
面密度≈ f(x,y,z)dz
方法3. 三次积分法
设区域 :
z 1 (x ,y ) z z 2 (x ,y ) (x,y) D : y1(xa ) y x b y2(x)
因此 f(x,y,z)dxdydz
z d z d
dz
其中
F(,,z)dddz
o

F (,, z ) f (c,o s, s i z ) n xd d
y
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
对应雅可比行列式为 J (x, y, z) (u,v,w)
思考与练习
1. 将 If(x,y,z)dv用三次积分表示, 其中由
六个平面 x0,x2,y 1 ,x 2 y 4 ,zx,z2所
围成 , f(x,y,z) C ( ).
提示:
xz2 : 1y21 2x
a
zdz
0

2 d
0
2cos 2 d
0
o y
2 x
2cos
4a2

2co3sd
8
a3
30
9
d vd d d z
例4. 计算三重积分
dxdydz 1x2 y2
,
其中由抛物面
x2y24z与平面 zh(h0)所围成 .
z
2 4
zh
h
解: 在柱面坐标系下 : 02 h
体积, 则存在 (,,) ,使得
f(x,y,z)dvf(,,)V
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f(x,y,z)0,并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算
方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据
被积函数及积分域的特点灵活选择.
例1. 计算三重积分 xdxdydz,其中 为三个坐标
面及平面 x2yz1所围成的闭区域 .
0 z 1 x 2 y
解: : 0y1 2(1x) 0x1
xdxdydz
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
方法1. 投影法 (“先一后二” ) : z1((x x,,y y)) D zz2(x,y)
zz2(x,y)
z
细长柱体微元的质量为
z2(x,y)f(x,y,z)dz dxdy
z1(x,y)

zz1(x,y)
该物体的质量为

4
(x 2y2z2)d xdyd z
oy

2
d

4sin d
Rr4 dr
x
0
0
0
1R5(2 2)
dvr2sin drdd
5
例6.求曲面 (x 2 y 2 z 2 )2 a 3 z(a 0 )所围立体体积.
解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz
z
a
by
解: : Dz:ax22by221cz22
x 用“先二后一 ”
z2dxdydzccz 2 d z Dz dxdy

ccz2ab(1cz22)dz
4
15
abc3
2. 利用柱面坐标计算三重积分
设 M (x,y,z) R 3,将 x,y用极坐 ,代 标 ,替 则 （ ,,z)
0x2
I
2
dx
2

1 2
x
d
y
2
f (x, y,z)dz
0
1
x
2. 设 :x2y2z21,计算
zlxn2x( 2 y2y 2 z2z 21 1)dv
提示: 利用对称性
原式
=
x2

dx
y2 1
d
1x2y2
y
1x2y2
zlxn2x( 2y2y 2z2z 211)dz
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
f(x,y,z)dv
b
dx
y2 (x) d y z2(x,y) f(x,y,z)dz
a
y1 ( x)
z1(x,y)
投影法
f(x,y,z)dv dxdyz2(x,y)f(x,y,z)dz

D
z1(x,y)
当被积函数在积分域上变号时, 因为

1
xd x
1 2
(1
x
)
d
y
1x2 y
dz
0
0
0
z 1
1 2
y x1
1xdx1 2(1x)(1x2y)dy 00
11(x2x2x3)dx 1
40
48
例2. 计算三重积分 z2dxdydz, c z D z
其 中 :a x2 2b y2 2cz2 21. c z c
可得
n
Mlim 0 k 1
(k,k, k) v k

vk
(k,k,k)
定义. 设 f(x ,y ,z ),(x ,y ,z ) ,若对 作任意分割:
v k(k 1 ,2 , ,n )任,意取点 (k ,k ,k) v k ,下列
积和式” 极限
就称为点M 的柱面坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:
xcos ysin
z z

00z2
坐标面分别为
z z
M(x,y,z)
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
o
y

x
(x,
y,0)
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
d v dd dz