2022年必考点解析沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十二章四边形同步练习试卷(精选含答案)

八年级数学第二学期第二十二章四边形同步练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
2、已知三角形三边长分别为7cm，8cm，9cm，作三条中位线组成一个新的三角形，同样方法作下去，一共做了五个新的三角形，则这五个新三角形的周长之和为（）
A．46.5cm B．22.5cm C．23.25cm D．以上都不对
、于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以OA 3、如图，以O为圆心，OA长为半径画弧别交OM ON
长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC、BC，则四边形OACB一定是（）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
4、如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小
值是（ ）
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．4
5、如图，在正方形有ABCD 中，E 是AB 上的动点，（不与A 、B 重合），连结DE ，点A 关于DE 的对称点为F ，连结EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH ，那么BH
AE 的值为（ ）
A ．1
B
C
D ．2
6、如果一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，那么这个多边形是（ ）
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形
7、如图，已知在正方形ABCD 中，10AB BC CD AD ====厘米，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，点E 在边AB 上，且4AE =厘米，如果点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上以a 厘米/秒的速度由C 点向D 点运动，设运动时间为t 秒．若存在a 与t 的值，使BPE 与CQP 全等时，则t 的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
8、如图，过点O作直线与双曲线y＝k
x
（k≠0）交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作
BD⊥y轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE＝AF．设图
中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1，S2的数量关系是（）
A．S1＝S2B．2S1＝S2C．3S1＝S2D．4S1＝S2
9、矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程27100
x x
-+=的一个根，则矩形ABCD的面积为（）
A．
B．12 C．D．
10、在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（）
A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<12
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，则这个正多边形的边数为
__________．
2、如图，在平行四边形ABCD 中，45ABC ∠=︒，E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE BD ∥，
30EFC ∠=︒，AB =EF =______．
3、如图，M ，N 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，将矩形ABCD 沿MN 折叠，使点A 恰好落在边BC 上的点E 处，连接MC ，若AB ＝8，AD ＝16，BE ＝4，则MC 的长为________．
4、如果一个矩形较短的边长为5cm ，两条对角线的夹角为60°，则这个矩形的对角线长是_________cm ．
5、一个五边形共有__________条对角线．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在正方形ABCD 中，P 是直线CD 上的一点，连接BP ，过点D 作DE BP ⊥，交直线BP 于点E ，连接CE ．
（1）当点P 在线段CD 上时，如图①，求证：BE DE -；
（2）当点P 在直线CD 上移动时，位置如图②、图③所示，线段BE ，DE 与CE 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝20．点P从点B出发，以每秒
长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿AB向终点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，连结PQ，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与Rt△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点P的运动时间为t秒．
（1）①BC的长为；
②用含t的代数式表示线段PQ的长为；
（2）当QM的长度为10时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．
3、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线．
（1）尺规作图：请作出AC的垂直平分线，分别交AD，BC，AC于点E，F，G，连接CE，AF．不写作法，保留作图痕迹；
（2）请判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
4、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE BD．
（1）求证：D 是EC 中点；
（2）若60ABC ∠=︒，EF BF ⊥于点F ，直接写出图中与CF 相等的线段．
5、如图，DE 是ABC ∆的中位线，延长DE 到F ，使EF DE =，连接BF ．
求证：BF DC =．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．
【详解】
解：∵∠C =90°，若D 为斜边AB 上的中点，
∴CD =1
2AB ，
∵AB 的长为10，
∴DC =5，
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
2、C
【分析】
如图所示，8cm AB =，9cm BC =，7cm AC =，DE ，DF ，EF 分别是三角形ABC 的中位线，GH ，GI ，HI
分别是△DEF 的中位线，则1 4.5cm 2DE BC ==，14cm 2EF AB ==，1 3.5cm 2
DF AC ==，即可得到△DEF 的周长==12cm DE DF EF ++，由此即可求出其他四个新三角形的周长，最后求和即可．
【详解】
解：如图所示，8cm AB =，9cm BC =，7cm AC =，DE ，DF ，EF 分别是三角形ABC 的中位线，GH ，GI ，HI 分别是△DEF 的中位线， ∴1 4.5cm 2DE BC ==，14cm 2EF AB ==，1 3.5cm 2
DF AC ==， ∴△DEF 的周长==12cm DE DF EF ++，
同理可得：△GHI 的周长==6cm HI HG GI ++，
∴第三次作中位线得到的三角形周长为3cm ，
∴第四次作中位线得到的三角形周长为1.5cm
∴第三次作中位线得到的三角形周长为0.75cm
∴这五个新三角形的周长之和为1263 1.50.75=23.25cm ++++，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握三角形中位线定理．
3、B
【分析】
根据题意得到OA OB AC BC
===，然后根据菱形的判定方法求解即可．
【详解】
解：由题意可得：OA OB AC BC
===，
∴四边形OACB是菱形．
故选：B．
【点睛】
此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．菱形的判定定理：①四条边都相等四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．
4、C
【分析】
取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及
∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出
△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．【详解】
解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵AC =BC =8，∠BCA =60°，
∴△ABC 为等边三角形，且AD 为△ABC 的对称轴，
∴CD =CG =1
2AB =4，∠ACD =60°，
∵∠ECF =60°，
∴∠FCD =∠ECG ，
在△FCD 和△ECG 中，
FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FCD ≌△ECG （SAS ），
∴DF =GE ．
当EG ∥BC 时，EG 最小，
∵点G 为AC 的中点，
∴此时EG =DF =12CD =14
BC =2． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF =GE
，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形
的性质找出相等的边是关键．
5、B
【分析】
作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．
【详解】
解：如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，
，
∵AD=AB，
∴DM=BE，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∠1=∠2，
∴∠DFG=90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
∵
DF DC DG DG
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴∠3=∠4，
∵∠ADC=90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴2∠2+2∠3=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EDG =45°，
∵EH ⊥DE ，
∴∠DEH =90°，△DEH 是等腰直角三角形，
∴∠AED +∠BEH =∠AED +∠1=90°，DE =EH ，
∴∠1=∠BEH ，
在△DME 和△EBH 中，
∵1DM BE BEH
DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△DME ≌△EBH （SAS ），
∴EM =BH ，
Rt △AEM 中，∠A =90°，AM =AE ，
∴EM ，
∴BH ，即BH
AE
．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．
6、A
【分析】
多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的2倍，则多边形的内角和是180度，则这个多边形一定是三角形．
【详解】
解：多边形的外角和是360度，
又多边形的外角和是内角和的2倍，
∴多边形的内角和是180度，
∴这个多边形是三角形．
故选：A．
【点睛】
考查了多边形的外角和定理，解题的关键是掌握多边形的外角和定理．
7、D
【分析】
根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.
【详解】
a=，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，解：当2
BE=CP，
∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，
∴BE=CP=6厘米，
∴BP=10-6=4厘米，
∴运动时间t=4÷2=2（秒）；
当2
a≠，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t=252 2.5
BP÷=÷=（秒）.
综上t的值为2.5或2.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．
8、B
【分析】
过点A作AM⊥x轴于点M，根据反比例函数图象系数k的几何意义即可得出S矩形ODBC=-k、S△AOM=-1
2
k，
再根据中位线的性质即可得出S△EOF=4S△AOM=-2k，由此即可得出S1、S2的数量关系．【详解】
解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
∵AM⊥x轴，BC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴S矩形ODBC=-k，S△AOM=-1
2
k．
∵AE=AF．OF⊥x轴，AM⊥x轴，
∴AM =12OF ，ME =OM =12OE ，
∴S △EOF =1
2OE •OF =4S △AOM =-2k ，
∴2S 矩形ODBC =S △EOF ，
即2S 1=S 2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象系数k 的几何意义以及三角形的中位线，根据反比例函数图象系数k 的几何意义找出S 矩形ODBC =-k 、S △EOF =-2k 是解题的关键．
9、D
【分析】
先求27100x x -+=的两个根122,5,x x ==
【详解】
∵27100x x -+=，
∴（x -2）（x -5）=0，
∴122,5,x x ==
∴矩形的面积为2×
故选D ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练解方程，灵活用勾股定理是解题的关
键．
10、C
【分析】 作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得1122AE CE AC ===，1192
BE DE BD ===，然后在ABE ∆中，利用三角形三边的关系即可确定m 的取值范围．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴1122AE CE AC ===，1192
BE DE BD ===， 在ABE ∆中，AB m =，
∴19121912m -<<+，
即731m <<，
故选：C ．
【点睛】
题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．
二、填空题
1、9
【分析】
设正多边形的外角为x 度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数．
【详解】
设正多边形的外角为x 度，则内角为(5x −60)度
由题意得：560180x x +-=
解得：40x =
则正多边形的边数为：360÷40=9
即这个正多边形的边数为9
故答案为：9
【点睛】
本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角．
2、8
【分析】
证明四边形ABDE 是平行四边形，得到DE=CD ＝AB =AB CE ∥， 过点E 作EH ⊥BF 于H ，证得CH=EH ，利用勾股定理求出EH ，再根据30度角的性质求出EF ．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB CD ∥，AB=CD ，
∵AE BD ∥，
∴四边形ABDE 是平行四边形，
∴DE=CD ＝AB =AB CE ∥，
过点E 作EH ⊥BF 于H ，
∵45ABC ∠=︒，
∴∠ECH =45ABC ∠=︒，
∴CH=EH ，
∵222CH EH CE +=，CE =
∴CH=EH =4，
∵∠EHF =90°，30EFC ∠=︒，
∴EF =2EH =8，
故答案为：8．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
3、10
【分析】
过E 作EF ⊥AD 于F ，根据矩形ABCD 沿MN 折叠，使点A 恰好落在边BC 上的点E 处，得出
△ANM ≌△ENM ，可得AM =EM ，根据矩形ABCD ，得出∠B =∠A =∠D =90°，再证四边形ABEF 为矩形，得出AF =BE =4，FE =AB =8，设AM =EM =m ，FM =m -4，根据勾股定理222+EM FM EF =，即()2
224+8m m =-，解方程m =10即可．
【详解】
解：过E 作EF ⊥AD 于F ，
∵矩形ABCD 沿MN 折叠，使点A 恰好落在边BC 上的点E 处，
∴△ANM ≌△ENM ，
∵矩形ABCD ，
∴∠B =∠A =∠D =90°，
∵FE ⊥AD ，
∴∠AFE =∠B =∠A =90°，
∴四边形ABEF 为矩形，
∴AF =BE =4，FE =AB =8，
设AM =EM =m ，FM =m -4
在Rt △FEM 中，根据勾股定理222+EM FM EF =，即()2
224+8m m =-，
解得m =10，
∴MD =AD -AM =16-10=6，
在Rt △MD C 中，
∴MC 10==．
故答案为10．
【点睛】
本题考查折叠轴对称性质，矩形判定与性质，勾股定理，掌握折叠轴对称性质，矩形判定与性质，勾股定理是解题关键．
4、10
如图，由题意得：四边形ABCD为矩形，5,60,
AB AOB证明AOB是等边三角形，结合矩形的性质可得答案.
【详解】
解：如图，由题意得：四边形ABCD为矩形，5,60,
AB AOB
5,,
AB CD OA OB OC OD
AOB
∴是等边三角形，
5,
OA OC OB OD
10,
AC BD
故答案为：10
【点睛】
本题考查的是等边三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键.
5、5
【分析】
由n边形的对角线有：
()3
2
n n-
条，再把5
n=代入计算即可得．
【详解】
解：n边形共有
()
2
3
n n-
条对角线，
∴五边形共有()
55352-=条对角线．
故答案为：5
【点睛】
本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握n 边形的对角线的条数是解题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）图②中BE DE +=，图③中DE BE -=
【分析】
（1）在BE 上截取BF DE =，连接CF ，可先证得BCF DCE ∆∆≌，则CF CE =，BCF DCE ∠=∠，进而可证得△AED 为等腰直角三角形，即可得证；
（2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的BE ，DE 与CE 之间的数量关系．
【详解】
解：（1）证明：如图，在BE 上截取BF DE =，连接CF ．
∵四边形ABCD 是正方形，
BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，
DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，
90PBC BPC PDE DPE ︒∠∠∴∠+∠=+=，
BPC DPE ∠=∠，
PBC PDE ∴∠=∠，
BF DE =，BC DC =，
(SAS)BCF DCE ∴∆∆≌，
CF CE ∴=，BCF DCE ∠=∠，
90FCE FCD DCE FCD BCF BCD ︒∴∠=∠+∠=+==∠∠∠，
∴△ECF 是等腰直角三角形，
在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，
EF ∴=，
BE DE BE BF EF ∴-=-==；
（2）图②：BE DE +=，理由如下：
如下图，在EB 延长线上截取BF DE =，连接CF ．
∵四边形ABCD 是正方形，
BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，
DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，
BPC DPE ∠=∠，
FBC EDC ∴∠=∠
BF DE =，BC DC =，
(SAS)BCF DCE ∴∆∆≌，
CF CE ∴=，BCF DCE ∠=∠，
90FCE FCD DCE FCD BCF BCD ︒∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=，
∴△ECF 是等腰直角三角形，
在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，
EF ∴=，
BE DE BE BF EF ∴+=+==；
图③：DE BE -=
如图，在DE 上截取DF =BE ，连接CF ．
∵四边形ABCD 是正方形，
BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，
DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，
BPC DPE ∠=∠，
EBC FDC ∴∠=∠
BE DF =，BC DC =，
(SAS)BCE DCF ∴∆∆≌，
CE CF ∴=，BCE DCF ∠=∠，
90FCE FCB BCE FCB DCF BCD ︒∴∠=∠+∠=+==∠∠∠，
∴△ECF 是等腰直角三角形，
在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，
EF ∴=，
DE BE DE DF EF ∴-=-==．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．
2、（1）①；（2）t 的值为
107或307；（3）S =-2或S =
2+（4）t =2s 或103s ． 【分析】
（1）①由勾股定理可求解；
②由直角三角形的性质可求解；
（2）分两种情况讨论，由QM 的长度为10，列出方程可求解；
（3）分两种情况讨论，由面积公式可求解；
（4）分两种情况讨论，由含30°角的直角三角形三边的比值可求解．
【详解】
解：（1）①∵∠ACB=90°，∠B＝30°，AB＝20，
∴AC=1
2
AB=10，
∴BC
=
②∵PQ⊥AB，
∴∠BQP=90°，
∵∠B=30°，
∴PQ=1PB
2
，
由题意得：BP，
∴PQ，
；
（2）在Rt△PQB中，
BQ=3t，
当点M与点Q相遇，20=AM+BQ=4t+3t，
∴t=20
7
，
当0＜t＜20
7
时，MQ=AB-AM-BQ，
∴20-4t-3t=10，
∴t=10
7
，
当207＜t 时，MQ =AM +BQ -AB ， ∴4t +3t -20=10，
∴t =307
， 综上所述：当QM 的长度为10时，t 的值为107或307；
（3）当0＜t ＜207
时，S =PQ ·MQ ×（20-7t ）=-2； 当207
＜t≤5时，如图，
∵四边形PQMN 是矩形，
∴PN =QM =7t -20，PQ ，
∴∠B =30°，
∴ME ∶BE ∶BM
∵BM =20-4t ，
∴ME
∴S =1)(720)
2t +⋅-=2+ （4）如图，若NQ ⊥AC ，
∴NQ∥BC，
∴∠B=∠MQN=30°，
∵MN∶NQ∶MQ
∵MQ=20-7t，MN=PQ，
=，
∴t=2，
如图，若NQ⊥BC，
∴NQ∥AC，
∴∠A=∠BQN=90°-∠B=60°，∴∠PQN=90°-∠BQN=30°，
∴PN∶NQ∶PQ
∵PN=MQ=7t-20，PQ，
720
t
=-，
∴t=10
3
，
综上所述：当t=2s或10
3
s时，过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
3、
（1）见解析，
（2）菱形，理由见解析
【分析】
（1）利用基本作图，作线段AC的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，FA＝FC，AG＝GC，再证明△AGE≌△CGF得到AE＝CF，根据四边相等可判断四边形AFCE为菱形．
（1）
解：如图，EF、CE、AF为所作；
（2）
解：四边形AFCE为菱形．
理由如下：如图，
∵EF 垂直平分AC ，
∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，AG ＝GC ，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠EAC ＝∠FCA ，
在△AGE 和△CGF 中，
EAC FCA AG CG
AGE CGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AGE ≌△CGF （ASA ），
∴AE ＝CF ，
∴AE ＝EC ＝CF ＝AF ，
∴四边形AFCE 为菱形．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质和菱形的判定，熟练掌握基本作图，熟练运用垂直平分线的性质和菱形判定进行推理证明是解题关键．
4、（1）见祥解；（2）AB =DC =DE =DF =CF ，证明见详解．
【分析】
（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，得出AB∥CD 即（AB∥ED ），AB=CD ，根据AE BD ，可证四边
形ABDE 为平行四边形，得出AB =DE 即可；
（2）根据EF ⊥BF ，CD =ED ，根据直角三角形斜边中线可得DF =CD =ED ，再证△DCF 为等边三角形即可．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD即（AB∥ED），AB=CD，
∵AE BD，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB=DE，
∴CD=ED，
∴点D为CE中点；
（2）结论为：AB=DC=DE=DF=CF，
∵EF⊥BF，CD=ED，
∴DF=CD=ED，
∵AB∥CD，∠ABC=60°，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴△DCF为等边三角形，
∴CF=CD=DF=AB=ED．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，线段中点判定，直角三角形斜边中线性质，等边三角形判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质，线段中点判定，直角三角形斜边中线性质，等边三角形判定与性质是解题关键．
5、见解析
【分析】
由已知条件可得DF=AB及DF∥AB，从而可得四边形ABFD为平行四边形，则问题解决．
【详解】
∵DE是ABC
的中位线
∴DE∥AB，
1
2
DE AB
，AD=DC
∴DF∥AB
∵EF=DE
∴DF=AB
∴四边形ABFD为平行四边形
∴AD=BF
∴BF=DC
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质定理，掌握它们是解答本题的关键．当然本题也可以用三角形全等的知识来解决．。