人教A版高中数学必修4 精选优课教案 2.5.1 平面几何中的向量方法

2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
东莞市石龙中学全坤利
一、教学内容解析
本课内容为人教A版《普通高中数学课程标准实验教科书A版数学4必修》第109页，平面几何中的向量方法.
本节以平面向量的应用独立成节，目的在于加强向量的方法、体现向量的价值、强调数学应用.向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具.教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量知识与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，同时要熟练掌握向量法的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
二、教学问题诊断
运用向量知识解决几何问题，需要有一定的知识迁移、语言转换能力，而高一学生的应用意识和应用能力比较弱，这些要求对学生的学习造成了一定的困难.在思维层面上，学生往往没有想到平面几何与向量之间密切联系，或是不善于将几何实际问题转化为向量问题来解决.
三、教学对策分析
本节课是例题教学课，通过设问、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力.
四、重点难点
教学重点：用向量方法（基底法和坐标法）解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”.
教学难点：如何将几何问题化归为向量问题.
五、教学过程设计
（一）复习引入
问题1：想一想：向量可以解决哪些常见的几何问题？
(1) 解决有关夹角、长度等的计算或度量问题。

A
B
C
(2) 解决直线平行、垂直、三点共线、 三线共点等位置关系。

探究１：推断线段长度关系
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如图， AD AB AC +=，AD AB DB -=，你能发现平行 四边形ABCD 对角线的长度与两邻边长度之间的关系吗？ 猜想：
问题2：矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
问题3：把这个结论：)(22
2
2
2
AD AB DB AC +=+从矩形推广到平行四边形，这个结论还成立吗？
D
C
B
A
点评：通过引导学生从特殊图形出发，得出结论，再过渡到平行四边形，降低例1的思维难度，体验特殊到一般的数学思想.
问题4：题中的几何问题可转化为向量问题吗？
)2+=+
小结向量方法（基底法）解决几何的步骤： （1）选择两个不共线的向量作为基底 （2）用基底表示相关向量
（3）把几何问题转化为只含有基底向量的运算 （4）把向量关系翻译成几何关系
为了便于记忆，我们把这种方法称为基底法.
问题5：还可以选择其它基底吗？向量可以用坐标运算吗？
小结向量方法（坐标法）解决几何的步骤： 建立适当的坐标系 用坐标表示向量
把几何问题转化为向量的坐标运算． 把向量关系翻译成几何关系
为了便于记忆，我们把这种方法称为坐标法. （三）理解新知
问题6：通过以上问题的解决，我们总结一下运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
运用向量方法解决平面几何问题“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
师生共同简述：形到向量（转化）⇒ 向量的运算（运算）⇒向量和数到形（翻译）． （四）运用新知
探究（二）：三点共线问题
例2：在平行四边形ABCD 中，已知DB DF AB DE 4
1
,31==
，求证：A 、E 、F 三点共线. F
E
D
C
B
A
分析：
第一步：转化AF AE //
第二步：运算（平形四边形习惯用基底法） 第三步：翻译
小结规律方法：用基底法判定A ，B ，C 三点共线的步骤： (1)证其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线． (2)说明两向量有公共点． (3)下结论，即A ，B ，C 三点共线．
例2变式1：如图，已知0
90,45AOB AOC ∠=∠=
，且2,1OA OC OB ===u u u r u u u r u u u r
，设
k ⋅=. 若三点共线、、D B A ，求实数k 的值.
分析：
第一步：转化
// 第二步：运算 第三步：翻译
问题7：用基底法还是用坐标法证明方便呢？
学生分组讨论交流，展示学生证明过程，教师点评.本题用向量几何运算（基底法）和代数证明（坐标法）均可，但同时，指出对平行四边形的问题，习惯用基底法，如果题目存在垂直的两个向量时，习惯用坐标法，学生可从中体会，培养学生思维的灵活性，培养学生的常规解法.
例2变式2：如图，在OAB ∆中，D 是AB 上一点，OB 3
2
OA 31OD ＋=
.过点D 的直线分O
A
B C O
F
别与直线OB OA 、交于异于B A 、的F E 、两点，且OB y OF OA x OE ==,，求证：y
x 21
+为定值. 分析：
第一步：转化 三点E 、D 、F 共线EF ED // 第二步：运算（基底法） 第三步：翻译
点评：由于此题没有出现明显的三点共线，所以学生要把过点D 的直线分别与直线OB OA 、交于异于B A 、的F E 、两点转化三点E 、D 、F 共线，培养学生的迁移能力. （五）课堂小结
问题8：通过本节课的学习，你主要有哪些收获？ 师生交流共同完成.
帮助学生总结知识，归纳方法.同时教会学生如何开展研究性学习 本节主要研究了用向量方法解决平面几何问题.
1．向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是：①几何问题向量化；②向量运算代数化；③向量结果几何化. 简述：形到向量 ⇒向量的运算⇒向量和数到形．
2．运用向量法的过程中，可分为基底法和坐标法，而向量能够用坐标表示的，优先选择建立直角坐标系，通过坐标表示，转化成代数运算.
3．用向量方法解决平面几何问题的优点：向量能够运算，因此在解决某些问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，从而降低了思考问题的难度.它能比较轻松地解决平面几何中的距离（线段长度）、夹角、平行、垂直以及三点共线等问题. （六）作业布置
1、教材P113 习题2.5 A 组 1、2
2、预习教材P111-112，思考下列问题 （1）怎么样把物理问题转化为数学问题？ （2）如何用数学模型解释相应的物理现象？。