2005年高考.浙江卷.文科数学试题精析详解

2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学试题（文科）
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的最小正周期是( )
(A)
2π
(B) π (C) 2π (D) 4π 解：T=22
π=π,选(B)
2．设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()U
P C Q ＝( )
(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 解：U C Q ={1,2,},故()U
P
C Q ={1,2},选(A)
3．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )
(A)
12 (B)3
2
解：点()1,1-到直线10x y -+=的距离
=
选(D) 4．设()1f x x x =--，则12f f ⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
＝( )
(A) 12- (B)0 (C)1
2
(D) 1
解：1
()2f =11|1|||22--=0, 12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=f(0)=1,选(D)
5．在()()5
6
11x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是( ) (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10
解：()51x -中x 3的系数为-10,()61x --中x 3的系数为20,∴()()56
11x x ---的展开式中x 3的系数为10,选(D)
6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.37 解：取到号码为奇数的频率是
1356181153
100100
++++==0.53,选(A)
7．设αβ、为两个不同的平面，l m 、为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：
①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．
那么
(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
解：命题②有反例,如
图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)
8．已知向量()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是( ) (A){}2,3 (B){}1,6- (C) {}2 (D) {}6
解：由a b ⊥得a b ⋅=0,即(x-5)·2+3×x=0解得x=2,选(C) 9．函数21y ax =+的图象与直线
y x =相切，则a =( )
(A)1
8
(B)14 (C)12 (D)1
解：由题意,得210ax x -+=有两个等实根,得a=
1
4
,选(B) 10．设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(
)
解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x y
x y y x
>⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪
--+>⎩得102102112x y x y ⎧<<⎪⎪⎪
<<⎨⎪
⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面
区域(不含边界的阴影部分)是(A )
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡
的相应位置。

11．函数(),22
x
y x R x x =
∈≠-+且的反函数是_________． 解：由y ＝
2x x +(x ∈R ，且x ≠－2),得x=21y y
-(y ∈R,y ≠1),所以函数y ＝2x x +(x ∈R ，且x ≠－2)的反函数是f -1=21x
x
-(x ∈R,x ≠1). 12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A
在平面
BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．
解：如左图,在平面AED 内作MQ ∥AE 交ED 于Q,则MQ ⊥ED,且Q 为ED 的中点,连结QN,则NQ ⊥ED 且QN ∥EB,QN=EB,∠MQN 为二面角A －DE －B 的平面角,
∴∠MQN=45°∵AB ⊥平面BCDE,又∠AEB=∠
MQN=45°,MQ=12在平面MQN 内作MP ⊥BQ,得QP=MP=1
2EB,故PB=QP=1
2
EB,故QMN 是以∠QMN 为直角的等腰三角形,即MN ⊥QM,也即
MN 子AE 所成角大小等于90°
13．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交
于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于
_________．
解：由题意可得2
b a
c a
=+,即c 2-a 2=a 2+ac,化成关于e 的方程e 2-e-2=0,解得
e=2
12．从集合{},,,P Q R S 与{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)
解：分三种情况：情况1.不含Q 、0的排列：2
24394C C P ⋅⋅；情况2.0、Q 中只含一个元素Q 的排列：124394C C P ⋅⋅；情况3.只含元素0的排列：21
4394C C P ⋅⋅.
综上符合题意的排法种数为
224394C C P ⋅⋅+124394C C P ⋅⋅+214394C C P ⋅⋅=5832
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+．
(Ⅰ) 求4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
(Ⅱ) 设(
)0,22
f ααπ⎛⎫
∈= ⎪⎝⎭，求sin α的值．
解：(Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴()sin cos 1444
f πππ
=+=
(Ⅱ)()cos sin .2
f α
αα=+
1sin()cos()424ππαα∴+=+=
,132
sin sin()442ππαα=+-=⨯
26
=
,∵α
∈(0,π),∴sin α>0,故sin α 16．已知实数,,a b c 成等差数列，1,1,4a b c +++成等比数列，且15a b c ++=，求,,a b c ．
解： ()
()()()()()2
151221413a b c a c b a c b ⎧++=⎪⎪
+=⎨⎪++=+⎪⎩
由(1)(2)两式,解得b=5,将c=10-a 代入(3),整理得a 2-13a+22=0,解得a=2或a=11. 故a=2,b=5,c=11或a=11,b=5,c=-1.经验算,上述两组数符合题意.
17．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是
3
1，从B 中摸出一个红球的概率为p ．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i )恰好有3次摸到红球的概率；(ii )第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．
(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个
红球的概率是2
5
，求p 的值． 解：(Ⅰ)(i)3
3231240()()33243
C ⨯⨯=
(ii)311()327
=
(iii)设袋子A 中有m 个球,则袋子B 中有2m 个球, 由1
22335
m mp m +=,得p=1330.
18．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2
1
P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．
(Ⅰ)求证：OD ∥平面P AB ；
(Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的大小．
解：解法一
(Ⅰ)∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点：∴OD ∥PA,又AC ⊂平面PAB,∴OD ∥平面PAB.
(Ⅱ)∵AB ⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP ⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.
取BC 中点E,连结PE,则BC ⊥平面POE,作OF ⊥PE 于F,连结DF,则OF ⊥平面PBC
∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角.
又OD ∥PA,∴PA 与平面PBC 所成角的大小等于∠ODF. 在Rt △ODF 中,sin ∠
ODF=
OF OD =
,∴PA 与平面PBC 所成角为
解法二：
∵OP ⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA ⊥OB,OA ⊥OP,OB ⊥OP.
以O 为原点,射线OP 为非负x 轴,建立空间坐标系O-xyz 如图),设AB=a,则
A(
2
a,0,0).
B(0,
2
a,0),C(-2
a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).
(
Ⅰ
)
∵
D
为
PC
的
中
点
,∴
1(,0,),22
OD a h =-
又
21
(
,0,),,2
PA a h OD PA OD =-=-∴∥PA , ∴OD ∥平面PAB.
(Ⅱ)∵k=
1,2则PA=2a,∴,∴2(,0,),PA =可求得平面PBC 的法向量
(1,1,n =- ∴cos 210
(,)||||
PA n PA n PA n ⋅=
=⋅.
设PA 与平面PBC 所成角为θ,刚sin θ=|cos(,PA n )|=
.
∴PA 与平面PBC 所成的角为arcsin
30
.
19．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．
解：(Ⅰ)设椭圆的方程为22
221x y a b +=(a>0,b>0),半焦距为c,则
|MA 1|=2
a a c
-,|A 1F 1|=a-c
由题意,得2
2222()24a c a c c a a b c ⎧-=-⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
∴
故椭圆的方程为22
143
x y +
= (Ⅱ)设P(-4,y 0),y 0≠0,
∴只需求tan ∠F 1PF 2的最大值即可.
设直线PF 1的斜率k 1=03y -,直线PF 2的斜率k 2=03y
-,
∵0<∠F 1PF 2<∠PF 1M<2π
,∴∠F 1PF 2为锐角.
∴tan ∠F 1PF 2
=0212
1202|||
|115y k k k k y -=≤=++
0||y =,即|y 0
|=,tan ∠F 1PF 2取到最大值此时∠F 1PF 2最大,∴ ∠F 1PF 2的最大值为
. 20．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+． (Ⅰ)求函数()g x 的解析式； (Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--；
(Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．
解：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x q λ,y q 关于原点的对称点(x,y),
则
2
0,
2
q
q
x x
y y
+
⎧
=
⎪⎪
⎨
+
⎪=
⎪⎩
即
,
.
q
q
x x
y y
=-
⎧⎪
⎨
=-
⎪⎩
∵点Qx q,y q)在函数f(x)的图象上,
∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得2x2-|x-1|≤0,当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解,
当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤1
2
,因此,原不等式的解集为[-1,
1
2
]
(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
①当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1
②当λ≠-1时,对称轴的方程为x=1
1
λ
λ-
+
.
(i)当λ<-1时, 1
1
λ
λ
-
+
≤-1,解得λ<-1.
(ii)当λ>-1时, 1
1
λ
λ
-
+
≥-1,解得-1<λ≤0.
综上,λ≤0。