湘教版2020九年级数学第二章一元二次方程自主学习基础过关测试卷(附答案详解)

湘教版2020九年级数学第二章一元二次方程自主学习基础过关测试卷（附答案详解） 1．已知关于x 的一元二次方程()2
1410m x x --+=有两个不相等的实数根，则m 的
取值范围为( ) A ．5m <
B ．51m m <≠且
C ．4m <
D ．41m m <≠且
2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（ ） A ．200（1+x ）2＝1000 B ．200+200×2x ＝1000 C ．200+200×3x ＝1000
D ．200[1+（1+x ）+（1+x ）2]＝1000
3．下列方程一定是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．23(4)x x x -=+ B ．20ax bx c ++= C ．2x （x-1）=3
D ．2
3
9x x
+
=- 4．当m <－1时，方程(
)
(
)
3
2
2
111m x m x m +++=+的根的情况是（ ） A ．两负根 B ．两异号根，且负根的绝对值较大 C ．无实根
D ．两异号根，且正根的绝对值较大
5．下列方程，适合用因式分解法解的是（ ） A ．24210x x -+= B ．223x x =- C ．()2
236x x -=-
D ．2109x x --
6．今年某市的房价不断上涨，6月份平均每平方米约10362元，到8月份，平均每平方米就涨到约11438，设每个月房价的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．10362x 2=11438 B ．10362（1+2x ）=11438
C ．10362（1+x ）2=11438
D ．10362（1+x ）+10362（1+x ）2=11438
7．方程2690x x ++=的根的情况是 （ ） A ．有两个相等实数根 B ．有两个不相等实数根 C ．有一个实数根
D ．没有实数根
8．我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.64万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）
A ．6（1+x ）＝8.64
B ．6（1+2x ）＝8.64
C ．6（1+x ）2＝8.64
D ．6+6（1+x ）+6（1+x ）2＝8.64
9．a 是方程x 2+x ﹣1＝0的一个根，则代数式a 3+2a 2+2018的值是（ ） A ．2018
B ．2019
C ．2020
D ．2021
10．芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图，将该图形补充四个边长为10cm 的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为22000cm ，根据图中信息，可得x 的值为（ ）
A ．10
B ．20
C ．25
D ．30
11．写出一个整数m ，使得二次三项式225x x m -+在实数范围内能分解因式.符合条件的整数m 可以是______.
12．若1x ，2x 是方程2x x 20160--=的两个实数根，则3
12x 2017x 2016+-=______.
13．把方程2x 2＝3x ﹣1化为一般形式得：_____ 14．方程4x 2-4x+1=0的解为_______．
15．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则b 的值为_____． 16．从正方形的铁皮上，截去5cm 宽的一个长方形铁皮，余下的面积为284cm ，则原正方形面积为______2cm .
17．方程(x －2)2＝5(x －2)的根为___________
18．如果关于x 的一元二次方程()2
2210m x x -++=有两个不相等的实数根，那么m
的取值范围为______.
19．在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7125平方米，问道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为___________________．
20．若分式 22
1
x x x --+ 的值为零，则x=________．
21．A 、B 两码头相距48千米，一轮船从A 码头顺水航行到B 码头后，立即逆水航行返回到A 码头，共用了5小时；已知水流速度为4千米/时，求轮船在静水中的速度． 22．选用适当的方法解下列方程： （1）2410x x -+=； （2）2
2(3)(3)(3)x x x -=+-. 23．解方程
（1）16x 2+8x ＝3（公式法）
（2）（3x+2）（x+3）＝x+14（配方法） 24．用因式分解法解下列方程； ①（x+2）2﹣9=0
②（2x ﹣3）2=3（2x ﹣3） ③x 2﹣6x+9=0 ④（x+5）（x ﹣1）=7． 25．解下列方程 （1）2x 2+5x ＝3；
（2）（x ﹣7）（x +3）＝2x ﹣14．
26．某市为了加快保障性住房建设，2015年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2017年年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求到2017年年底，这两年中投入资金的年平均增长率（只需列出方程）．
（2）设（1）中方程的两根分别为1x ，2x ，且222
11224mx m x x mx -+的值为12，求m 的
值．
27．规定一种特殊运算※为：a a a b b b 1
※=-+. (1)(-2)※1=_____.
(2)解不等式：m ※2≥1，并将解集表示在数轴上；
(3)解方程12※m=1
28．将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，OA ＝6，OC ＝10.
(1)如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；
(2)如图2，在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G⊥C′O交E′F于T点，交OC′于G点，T坐标为(3，m)，求m.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由一元二次方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2-4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m-1≠0，即（-4）2-4（m-1）＞0且m≠1，
解得m＜5且m≠1，
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．2．D
【解析】
【分析】
根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第一季度的营业额.
【详解】
解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选：D．
【点睛】
此题考察增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和. 3．C
【解析】
【分析】
了解一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程． 【详解】
A. 23(4)x x x -=+是一元一次方程，故错误；
B. 20ax bx c ++=，若a=0，则不是一元二次方程，故错误；
C. 2x （x-1）=3，是一元二次方程，故正确；
D. 2
3
9x x
+=-，是分式方程，故错误. 故选C 【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握一元二次方程的特点. 4．D 【解析】 【分析】
首先将方程整理为一般形式，进而利用根据根与系数的关系以及因式分解的应用，分析各式子的符号，进而得出答案. 【详解】 解：
()()3
22111m
x m x m +++=+
()()()3221232221211(1)0(1)(1)111
(1)11
100
m x m x m c m m x x a m m m m m m m m m x x ∴+++-+=-+-+-∴=
===+-++-+∴<-∴-+>∴<
∴方程由两异号根，
()()()212222121(1)11
10,10,100
m b
x x a m m m m m m m m x x -++=-=
+-+<-∴-+>+<-+<∴+>
∴正根的绝对值较大. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及因式分解法的应用和有理数运算法则的应用，正确分析得出两根之和以及两根之积的符号是解题关键. 5．C 【解析】 【分析】
观察各方程，能否将方程化为左边是两个式子相乘，右边是0的形式，即可应用因式分解法来解． 【详解】
选项A ，210x -+=可用公式法解方程；
选项B ，方程223x x =-化为2230x x -+=，可用公式法解方程；
选项C ， 方程()2
236x x -=-可化为()2(3)0x x --=，可用因式分解法解方程
选项D ，2109x x --不是方程. 故选C. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 6．C 【解析】 【分析】
由于每个月房价的平均增长率为x ，那么7月份平均每平方米约10362（1＋x ）元，8月份平均每平方米约10362（1＋x ）（1＋x ）元，然后根据到8月份，平均每平方米就涨到约11438元即可列出方程． 【详解】
解：设每个月房价的平均增长率为x ， 依题意得：10362（1＋x ）2＝11438．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，可根据题意列出第一次涨价后商品的售价，再根据题意列出第二次涨价后的售价，令其等于最后价格即可．
7．A
【解析】
【分析】
找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．
【详解】
a=1，b=6，c=9，
∵△=b2-4ac=36-36=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式．解题关键在于掌握当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．C
【解析】
【分析】
设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据今年8月份与10月份完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，
根据题意得：6（1+x）2＝8.64．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率的问题.
9．B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】
解：由题意可知：a 2＋a−1＝0， ∴a 2＋a ＝1，
∴原式＝a 3＋a 2＋a 2＋2018 ＝a （a 2＋a ）＋a 2＋2018 ＝a ＋a 2＋2018， ＝1＋2018 ＝2019， 故选：B ． 【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用方程的解的定义． 10．B 【解析】 【分析】
根据题意和图形信息得到补全后的矩形长为x+30，宽为x+20,根据矩形的面积公式即可列出方程进行求解. 【详解】
依题意得到补全后的矩形长为x+30，宽为x+20, 故(x+30)( x+20)=2000, 解得x1=20,x2=-70(舍去) 故选B. 【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列式. 11．3（答案不唯一）. 【解析】 【分析】
因二次三项式225x x m -+在实数范围内能分解因式，所以225x x m -+=0有实数根，求出m 的取值范围即可解答.
【详解】
∵二次三项式225x x m -+在实数范围内能分解因式， ∴225x x m -+=0有实数根， ∴∆=25-8m ≥0, ∴m ≤
258
, ∴合条件的整数m 可以是3（答案不唯一）. 故答案为：3（答案不唯一）. 【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为a(x －x 1)(x －x 2)＝0. 12．2017 【解析】 【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到x 12=x 1+2016，再计算x 13=x 12+2016x 1=2017x 1+2016，则原式可化简为2017（x 1+x 2），然后利用根与系数的关系求解． 【详解】
∵x 1是方程x 2-x-2016=0的两实数根， ∴x 12=x 1+2016，
∴x 13=x 12+2016x 1=x 1+2016+2016x 1=2017x 1+2016， ∴原式=2017x 1+2016+2017x 2-2016=2017（x 1+x 2）， ∵x 1，x 2是方程x 2-x-2016=0的两实数根， ∴x 1+x 2=1， ∴原式=2017． 故答案为：2017． 【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，根据已知将原式化简，利用根与系数的关系是解答此题的关键．
13．2x 2﹣3x +1＝0．
【解析】
【分析】
直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【详解】
将一元二次方程2x2＝3x−1化为一般形式之后，变为2x2﹣3x+1＝0，
故答案是：2x2﹣3x+1＝0．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．
14．x1=x2=1 2
【解析】
【分析】
方程的左边是完全平方式，则方程即可变形成（2x-1）2=0，再利用直接开平方法即可求解．【详解】
∵4x2-4x+1=0
∴（2x-1）2=0
∴x1=x2=1
2
．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握将等式变为完全平方式求解方程.．15．±2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式△＝0,建立关于a的方程，求出a的取值.
【详解】
方程两相等的实数根，
240
b
∴=-=解得2
b=±.
故答案为: 2
±.
【点睛】
此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△＞0,则方程有两个不相等的实数根;
(2) △＝0,则方程有两个相等的实数根;
(3)△＜0,则方程没有实数根.
16．原正方形的面积1442cm
【解析】
【分析】
可设正方形的边长是xcm ，根据“余下的面积是84cm 2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x-5，根据矩形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】
设原正方形的边长为cm x ，由题意可得：()584x x -=，解得：112x =，27x =-（舍
去），原正方形的面积21212144cm =⨯=.
【点睛】
本题考查了一元二次方程应用以及矩形及正方形面积公式，表示出矩形各边长是解题关键． 17．122,7x x ==
【解析】
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程即可.
【详解】
解：(x －2)2-5(x －2)=0
（x-2）(x-2-5)=0
（x-2）(x-7)=0
解得：122,7x x ==
故答案为：122,7x x ==
【点睛】
本题考查一元二次方程求解，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键.
18．3m <且2m ≠
【解析】
根据根的判别式即可求出答案．
【详解】
∵关于x 的一元二次方程()2
2210m x x -++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（m ﹣2）＞0，∴m ＜3．
∵m ﹣2≠0，∴m ≠2．
故答案为：m ＜3且m ≠2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
19．()()100807125x x --=
【解析】
【分析】
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【详解】
设道路的宽应为x 米，
由题意，得（100-x ）（80-x ）=7125，
故答案为：（100-x ）（80-x ）=7125．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
20．2
【解析】
【分析】
分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】
依题意得x 2-x-2=0，解得x=2或-1，
∵x+1≠0，即x≠-1，
【点睛】
此题考查的是对分式的值为0的条件的理解和因式分解的方法的运用，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
21．20千米/时.
【解析】
【分析】
本题的等量关系为：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度；顺流时间+逆流时间=5小时；根据时间关系列出方程，解方程即可．
【详解】
设轮船在静水中的速度为x 千米/时， 根据题意，得484844
++-x x ＝5． 方程的两边都乘以(x ＋4)(x －4)，约去分母，整理得5x 2－96x －80＝0． 解这个方程，得x 1＝20，x 2＝－
45． 经检验，x 1＝20，x 2＝－45
都是原方程的根，但速度为负数不合题意，所以只取x ＝20． 答：轮船在静水中的速度为20千米/时．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、分式方程的解法；熟记顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，由时间关系列出方程是解决问题的关键．
22．（1）12x =22x =（2）13x =，29x =.
【解析】
【分析】
（1）利用配方法得到（x-2）2=3，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先进行移项，再提取公因式，即可求出x 的值.
【详解】
（1）x 2-4x=-1，
x 2-4x+4=-1+4，
（x-2）2=3，
所以x 1，x 2
（2）2（x-3）2=（x+3）（x-3），
2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，
（x-3）[2（x-3）-（x+3）]=0，
（x-3）（x-9）=0，
x 1=3，x 2=9.
【点睛】
此题考查了解一元二次方程，用到的知识点是配方法、因式分解法，根据所给出的方程选用不同的方法是本题的关键．
23．（1）x ＝
14或x ＝34-；（2）x ＝53-±3. 【解析】
【分析】
（1）根据公式法即可求出答案；
（2）根据配方法即可求出答案
【详解】
解：（1）∵16x 2+8x ＝3，
∴a ＝16，b ＝8，c ＝﹣3，
∴△＝64﹣4×16×（﹣3）＝256，
∴x ， ∴x ＝14
或x ＝34-； （2）原方程化为：3x 2+10x ﹣8＝0，
∴x 2+
102539x +＝979
， ∴（x+53）2＝979，
∴x ＝53-
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解法.
24．①x1=﹣5，x2=1；②x1=3
2
，x2=3；③x1=x2=3；④x1=﹣6，x2=2．
【解析】
【分析】
①由整体思想用平方差公式分解就可以求出结论；
②先移项，再提公因式就可以求出结论；
③直接由完全平方公式求解即可
④先展开，再移项，转化为一般形式后由十字相乘法分解因式即可．【详解】
：①分解因式，得
（x+2+3）（x+2﹣3）=0，
∴x+5=0或x﹣1=0
∴x1=﹣5，x2=1；
②移项，得
（2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）=0
提公因式，得
（2x﹣3）（2x﹣3﹣3）=0，
∴2x﹣3=0或2x﹣6=0
∴x1=3
2
，x2=3；
③由完全平方公式分解因式，得（x﹣3）2=0，
∴x﹣3=0
∴x1=x2=3
（4）变形为：
x2+4x﹣5=7，
移项，得
x2+4x﹣5﹣7=0，
x2+4x﹣12=0
∴（x+6）（x ﹣2）=0，
∴x+6=0或x ﹣2=0
∴x 1=﹣6，x 2=2．
【点睛】
本题考查了运用平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，提公因式法分解因式及“十字”相乘法分解因式的方法解一元二次方程的运用，解答时灵活运用分解因式的方法是关键． 25．（1）x 1＝﹣3，x 2＝0.5；（2）x 1＝7，x 2＝﹣1
【解析】
【分析】
（1）将3移到等式左边，利用十字相乘进行因式分解，可解方程；
（2）将2x ﹣14提公因式变成2（x ﹣7），然后移到等式左边，再用提公因式法进行因式分解，可解方程.
【详解】
解：（1）∵2x 2+5x ﹣3＝0，
∴（x +3）（2x ﹣1）＝0，
则x +3＝0或2x ﹣1＝0，
解得x 1＝﹣3，x 2＝0.5；
（2）∵（x ﹣7）（x +3）﹣2（x ﹣7）＝0，
∴（x ﹣7）（x +1）＝0，
则x ﹣7＝0或x +1＝0，
解得x 1＝7，x 2＝﹣1．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
26．（1）233(1)3(1)10.5x x ++++=；（2）6m =-或1m =．
【解析】
【分析】
（1）设到2017年年底，这两年中投入资金的年平均增长率为x ，根据题意即可列出一元二次方程；
（2）先化简方程，再根据根与系数的关系得到12x x +，12x x 的值，代入即可求出m .
【详解】 解：（1）设到2017年年底，这两年中投入资金的年平均增长率为x ， 根据题意得2
33(1)3(1)10.5x x ++++=．
（2）由（1）得230.50x x +-=，
由根与系数的关系得123x x +=-，120.5x x =-．
又∵2221122412mx m x x mx -+=，
即22121212[()2]412m x x x x m x x +--=， ∴2(91)4(0.5)12m m ⋅+-⋅-=，
∴2560m m +-=．
解得6m =-或1m =．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程及根与系数的关系的运用.
27．(1)-1；(2)m 6≥；数轴见解析；(3)12m 3m 4，==-.
【解析】
【分析】
（1）根据新定义代入求值即可；（2）根据新定义求出m ※2=m m 221-+=6m ,令6
m ≥1,求解即可解题；（3）化简12※m=1得m 2+m-12=0,解一元二次方程即可.
【详解】
解：（1）由a a a b b b 1※=
-+可知, (-2)※1=22111
---+=-2+1=-1, （2）∵m ※2=m m 221-+=6
m , 又m ※2≥1，即6m ≥1, 解得：m 6≥,在数轴上表示如下图,
（3）∵12※m=1
即1212m m 1
-+=1,去分母整理得m 2+m-12=0, 解得：12m 3m 4，==-,
经检验12m 3m 4，==-都是原方程的根,
∴12m 3m 4，==-. 【点睛】
本题考查了新定义和一元二次方程,分式方程的求解,中等难度,认真审题,根据新定义正确表示出代数式是解题关键.
28．(1)E 点的坐标为(0，
103
)；(2)m ＝94. 【解析】
【分析】
（1）先根据折叠的性质得出DC=OC=10，在Rt △BCD 中，运用矩形的性质及勾股定理得出BD=8，然后在Rt △AED 中，由勾股定理得OE 2=22+（6-OE ）2，解方程求出OE 的长，进而求出点E 的坐标；（2）先由折叠的性质得出∠D′E′F=∠OE′F ，由平行线的性质得出
∠OE′F=∠D′TE′，则∠D′E′F=∠D′TE′，根据等角对等边得到D′T=D′E′=OE′，则TG=AE′，根据勾股定理列方程即可方法结论．
【详解】
解：(1)如图，
∵将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，
∴DC ＝OC ＝10.
在Rt △BCD 中，
∵∠B ＝90°，BC ＝OA ＝6，DC ＝10，
∴BD 22221068CD BC -=-=
在Rt △AED 中，
∵∠DAE＝90°，AD＝2，DE＝OE，AE＝6﹣OE，∴DE2＝AD2+AE2，即OE2＝22+(6﹣OE)2，
解得OE＝10
3
，
∴E点的坐标为(0，10
3
)；
(2)如图，
∵将△E′O F沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，∴∠D′E′F＝∠OE′F，D′E′＝OE′，
∵D′G∥AO，
∴∠OE′F＝∠D′TE′，
∴∠D′E′F＝∠D′TE′，
∴D′T＝D′E′＝OE′，
∴TG＝AE′；
∵T坐标为(3，m)，
∴AD′＝OG＝3，TG＝AE′＝m，
∴D′E′＝6﹣m，
∵AE′2+AD′2＝D′E′2，
∴m2+32＝(6﹣m)2，
解得：m＝9 4 .
【点睛】
本题考查了图形的翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．。