2019湖北荆州高考数学理一轮复习训练--不等式的证明

不等式的证明
1．(2017·呼和浩特调研)已知a >0，b >0，c >0.若函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为2.
(1)求a ＋b ＋c 的值；
(2)求1a ＋1b ＋1c
的最小值． 解：(1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立，又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c ，所以a ＋b ＋c ＝2.
(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝2，所以1a ＋1b ＋1c ＝(1a ＋1b ＋1c )×a ＋b ＋c 2＝12×[3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )]≥12
×(3＋2＋2＋2)＝92，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c ，即a ＝b ＝c ＝23时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c 的最小值为92
. 2．(2017·昆明检测)已知函数
f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＋5.
(1)求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )的值域是[m ，n ]，且a 2＋b 2＝m ，c 2＋d 2
＝n ，求ac ＋bd 的取值范围．
解：(1)设g (x )＝|x ＋3|－|x －1|＋5，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2x ＋－3<x x
，所以g (x )∈[1,9]．所以函数
f (x )的值域是[1,3]． (2)由(1)知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝3，由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，取等号，即(ac ＋bd )2≤3，解得－3≤ac ＋bd ≤3，所以ac ＋bd ∈[－3，3]．
3．(2017·衡阳二联)已知函数f (x )＝|x －3|.
(1)若不等式f (x －1)＋f (x )<a 的解集为空集，求实数a 的取值范围；
(2)若|a |<1，|b |<3，且a ≠0，判断 f ab |a |与f (b a
)的大小，并说明理由． 解：(1)因为f (x －1)＋f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x |＝1，不等式f (x －1)＋f (x )<a 的解集为空集，则1≥a 即可，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．
(2)f ab |a |>f (b a
)． 证明：要证 f ab |a |>f (b a
)，只需证|ab －3|
>|b －3a |，即证(ab －3)2>(b －3a )2，又(ab －3)2－(b －3a )2＝a 2b 2－9a 2－b 2＋9＝(a 2－1)(b 2
－9)．因为|a |<1，|b |<3，所以(ab －3)2>(b －3a )2成立，所以原不等式成立．
4．(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2； (2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2
a ＋
b ＋c
≥abc . 证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2
.
因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0.
又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.
于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.
(2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc . ①
同理b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c ， ② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.
①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2
，
从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．
由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0， 因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2
a ＋
b ＋c
≥abc . 5．已知函数f (x )＝2x ，x 1，x 2是任意实数且x 1≠x 2，证明：
12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22. 证明：12[f (x 1)＋f (x 2)]－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 1＋f x 2－2f ⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 ＝12
[2x 1 ＋2x 2 －2×2x 1＋x 22 ] ＝12[2x 1 －2x 12 ·2x 22 －2x 12 ·2x 22 ＋2x 2
] ＝12
[2x 12 (2x 12 －2x 22 )－2x 22 (2x 12 －2x 22 )] ＝12(2x 12 －2x 22 )(2x 12 －2x 22 )＝12
(2x 12 －2x 22 )2.
因为x 1≠x 2,2x 12 ≠2x 22 ，所以12(2x 12 －2x 22 )2>0，即12[f (x 1)＋f (x 2)]－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22>0，所以12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22.。