二次函数三角形存在性问题-学生版

二次函数动点产生的等腰、直角
以及等腰直角三角形 一、二次函数动点产生的等腰三角形
【知识点】
（1） 代数法：设点坐标，利用两点间距离公式表示出两条腰长度的平方，构造：；
（2） 几何法：利用两线一圆分析点的存在情况，利用几何关系或公式法求解；
方法：分类讨论：
①当A 为顶点时，即AB=AC 时，以A 为圆心，AB 为半径画圆
②当B 为顶点时，即BA=BC 时，以B 为圆心，BA 为半径画圆
③当C 为顶点时，即CA=CB 时，作线段AB 的垂直平分线
【例题讲解】
★★☆例题1．如图，在平面直角坐标系中，已知点C （0，4），点A 、B 在x 轴上，并且OA ＝OC ＝4OB ，动点P 在过A 、B 、C 三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC 上方的抛物线上，是否存在点P ，使得△PAC 的面积最大？若存在，求出P 点坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得△ACQ 是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
22AB AC
★★☆练习1.如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y 轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；
（3）如图2，在x轴上是否存在一点D使得△ACD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
★★☆练习2．如图甲，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c 与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
二、二次函数动点产生的直角三角形
【知识点】
（1）利用勾股定理构造三边关系；
（2）利用两直线垂直，斜率之积关系代数求解；
（3）利用两线一圆几何方法求解；
方法：分类讨论：
当∠A=90︒时，过点A作线段AB的垂线
当∠B=90︒时，过点B作线段AB的垂线
当∠C=90︒时，以AB为直径作圆
【例题讲解】
★★☆例题1.在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2x+n与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），C为顶点．
（1）求m、n的值．
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
★★☆练习1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y 轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D 是直线AC 上一动点，过点D 作DE 垂直于y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点D 的坐标；
（3）在AC 上方的抛物线上是否存在点P ，使得△ACP 是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．
三、二次函数动点产生的等腰直角三角形
【知识点】
（1） 按照等腰直角三角形的边角特征分情况讨论；
（2） 利用构建三垂直模型证明三角形全等的思路来证明等腰直角三角形
【例题讲解】
★★★例题1.如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点(3,1)C ，二次函数21332
y x bx =+-的图象经过点C ． （1）求二次函数的解析式，并把解析式化成2()y a x h k =-+的形式；
（2）把ABC ∆沿x 轴正方向平移，当点B 落在抛物线上时，求ABC ∆扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使ABP ∆是以AB 为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
★★★练习1的等腰直角三角板ABC 放在第二象限，且斜
靠在两坐标轴上，直角顶点C 的坐标为(1,0)-，点B 在抛物线22y ax ax =+-上．
（1）点A 的坐标为 (0,2) ，点B 的坐标为 ；
（2）抛物线的解析式为 ；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D ，求DBC ∆的面积；
（4）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP ∆仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
★★★例题2．如图，抛物线2:L y ax bx c =++与x 轴交于A 、(3,0)B 两点(A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，已知对称轴1x =．
（1）求抛物线L 的解析式；
（2）将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC ∆内（包括OBC ∆的边界），
求h 的取值范围；
（3）设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线:3l x =-上，PBQ ∆能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．
★★★练习1.如图，抛物线212y x bx c =
++与直线3:14l y x =-交于点(4,2)A 、(0,1)B -． （1）求抛物线的解析式；
（2）点D 在直线l 下方的抛物线上，过点D 作//DE y 轴交l 于E 、作DF l ⊥于F ，设点D 的横坐标为t ． ①用含t 的代数式表示DE 的长；
②设Rt DEF ∆的周长为p ，求p 与t 的函数关系式，并求p 的最大值及此时点D 的坐标；
（3）点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，若BMN ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点M 的坐标．
【课后练习】
★★☆1．如图，已知抛物线y1
=-x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点
3
的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
★★☆2如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
★★☆3．在平面直角坐标系中有Rt△AOB，O为原点，OB＝1，OA＝3，将此三角形绕点O顺时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A，B，C三点．
（1）求此抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）直线l：y＝kx﹣k+3与抛物线交于M，N两点，若S△PMN＝2，求k的值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q使得△DCQ为直角三角形．
★★☆4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
★★☆5.如图，在平面直角坐标系中．直线3y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过B ，C 两点，与x 轴负半轴交于点A ，连结AC ，(1,0)A -
（1）求抛物线的解析式；
（2）点(,)P m n 是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB 面积S 关于m 的函数表达式及S 的最大值；
（3）若M 为抛物线的顶点，点Q 在直线BC 上，点N 在直线BM 上，Q ，M ，N 三点构成以MN 为底边的等腰直角三角形，求点N 的坐标．
★★☆6.在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数212y x bx c =++的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ．（1）直接写出：b 的值为 ；c 的值为 ；点A 的坐标为 ；
（2）点M 是线段BC 上的一动点，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上．设点D 的横坐标为m ． ①如图1，过点D 作DM BC ⊥于点M ，求线段DM 关于m 的函数关系式，并求线段DM 的最大值；
②若CDM
为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．
2.【拔高练习】
★★★1．练习4．（2017•潍坊）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；
（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
★★★2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线212
y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，点(3,0)B ，经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5(4,)2
C ，与y 轴交点为
D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A ，C 重合）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）过点P 作PE AC ⊥，垂足为点E ，作//PF y 轴交直线AC 于点F ，设点P 的横坐标为t ，线段EF 的长度为m ，求m 与t 的函数关系式．
（3）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ ∆是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．。