湖北省浠水县实验高级中学2018届高三理科数学训练2018

浠水实验高中高三（理科）数学训练(2018.1.26)
命题人郭楚明 审题人胡海船
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2
2194x y M x ⎧⎫⎪⎪
=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
,132x y N y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，则M ∩N =( )
A ．∅ B.
()(){}3,0,0,2 C ．{3，2} D ．[]3,3-
2. 若复数3
2
1z i =
+，其中i 为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A.1- B.i -
C. 1
D.i
3. 已知,αβ均为第一象限的角，那么αβ>是sin sin αβ>的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4. 设某中学的高中女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一
组样本数据(,)(1,2,3,
,)i i x y i n =，用最小二乘法近似得到回归直线方程为
ˆ0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确．．．
的是（ ） A.y 与x 具有正线性相关关系
B.回归直线过样本的中心点(,)x y
C.若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加
0.85kg
D.若该中学某高中女生身高为160cm ，则可断定其体重必为
50.29kg
5.已知倾斜角为θ
的直线l 与直线230x y +-=垂直，则
cos 2θ的值为
A ．
3
5
B ．35-
C ．15
D ．15
- 6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）
A. 2log 101-
B. 22log 31-
C.
9
2
D.6
7.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺， 斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”
根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为（ ） A ．9斤 B ．9.5斤
C ．6斤
D ．12斤
8.已知F 1、F 2是双曲线M ：22214y x m -=
的焦点，y x =是双曲线M 的一条渐近线，离心率等于
3
4
的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同， P 是椭圆E 与双曲线M 的一个公共点，12,.PF PF n ⋅=设则（）
A ．12n =
.24B n = C ．36n = D ．12n ≠且24n ≠且36n ≠
9.函数2sin(6)
241
x x
x y π
+=-的图像大致为（ ）
10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），
则这个几何体的体积是（ ） A. 323 B. 64
3
C. 16
D. 32
11．抛物线28y x =的焦点为F ，设1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线上的
两个动点，若124x x ++=，则AFB ∠的最大值为（ ） A.
3π
B. 34π
C. 56π
D. 23π
12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，()ln 1f x x x =-+，
若函数()()g x f x mx =+有7个零点，则实数m 的取值范围为（） A. 1ln 21ln 2ln 21ln 21
(,)(,)
8668----⋃
B. ln 21ln 21(,)68--
C.1ln 21ln 2
(,)
86--
D. 1ln 2ln 21(,)86--
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．
的位置上。

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13.已知2a =，在64(1)(1)ax y ++的展开式中，2xy 项的系数为__________. 14.已知向量(1,3)a =,(3,)b y =，若向量,a b 的夹角为
6
π
，则b 在a 方向上的投影是______.
15.在区间11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上随机取一个数x ,则 cos x π的值介于与 之间的概率为 __________.
16.已知224x y +=，在这两个实数,x y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若1=a ，
b c C 2cos 2=+.
（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若1
2
b =, 求sin C .
18．(本小题满分12分)设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足n n a T -=1 （Ⅰ）求证数列}11
{
n
a -是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设1)1(2-+=n n a n
b ，
记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[=. 令
][lg n n b c =，求数列}{n c 的前2000项和.
19.(本小题满分12分)为了研究学生的数学核心素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标
y ）
、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w x y z =++的值评定学生的数学核心素养；若7w ≥，则数学核心素养为一级；若56w ≤≤，
则数学核心素养为二级；若34w ≤≤，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：
(Ⅱ)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不
是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X a b =-，求随机变量X 的分布列及其数学期望.
20.(本小题满分12分)已知椭圆22
2:1(0)3
x y M a a +
=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为,A B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知函数2
2
1()ln ,(),,2
f x x mx
g x mx x m R =-=
+∈令()()()F x f x g x =+. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；
(Ⅱ)若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值；
请考生在22、23两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(24)P --，
的直线l
的参数方程为：24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点． (Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (Ⅱ)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数()|32|f x x =+． (Ⅰ)解不等式()4|1|f x x <--；
(Ⅱ)已知1m n +=(,0m n >)，若11
||()(0)x a f x a m n
--+>≤恒成立，求实数a 的取值范围．
高三理科数学参考答案（2018.1.26）
DCDDB BAADA DA 72； 3； 16
17. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得222
1222b c c b b
+-⨯+=,即221b c bc +-=. ……2分
所以22211
cos 222
b c bc A bc bc +-=
==. …………………………………………4分 由于0A π<<, 所以3
A π
=
. …………………………………………6分
（Ⅱ）由12b =及22
1b c bc +-=, 得2
211122c c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
, ……………………7分
解得c =
或c =(舍去). …………………………………………9分 由正弦定理得
sin sin c a
C A
=, …………………………………………10分
得1sin sin 6048
C ︒+=
=
. ………………………………………12分 18. 【解析】（Ⅰ）
111111111111
,11111n n n n n n n n n n n
T a a a a T a a a a a +++++++--+=
=∴=⇒=
----- 111111n n
a a +∴
-=--，而1111111
11,,221n T a a a a ===-∴=∴=-时，，所以数列}11{n a -是等差数列，易得1+=n n
a n .
……………6分
（Ⅱ))]12[lg(][lg ,12-==-=n a c n b n n n ， …………………………………………7分 当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n c n ; 当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n c n ;
当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n c n ;
当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n c n . ………………………………………10分 所以数列}{n c 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.……12分 19.解：（I ）由题可知：建模能力一级的学生是9A ；建模能力二级的学生是45710,,,A A A A ；
建模能力三级的学生是12368,,,,A A A A A . 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ，
则22452
1016
().45
C C P A C +==……………5分 （II ）由题可知，数学核心素养一级：123568,,,,,A A A A A A ，数学核心素养不是一级的：
47910,,,A A A A ；X 的可能取值为1,2,3,4,5.
113211641(1);4C C P X C C ===1111312211
647
(2);24
C C C C P X C C +=== 11111131211211647(3);24C C C C C C P X C C ++===1111211111
641
(4);8C C C C P X C C +=== 11
1111
641
(5).24
C C P X C C === ∴随机变量X 的分布列为
∴1234542424824EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=12
. ……………12分
20.(Ⅰ)因为)0,1(-F 为椭圆的焦点，所以1=c ，又32=b ，
所以42
=a ，所以椭圆方程为13
42
2=+y x .…………………………………4分 (Ⅱ)当直线l 无斜率时,直线方程为1-=x ,此时3
(1,)2D -,3(1,)2
C --,021=-S S .…5分
当直线l 斜率存在时，设直线方程为)0)(1(≠+=k x k y ，设),(),,(2211y x D y x C ，
联立得⎪⎩⎪⎨⎧+==+)
1(13
422x k y y x ，消掉y 得01248)43(2222=-+++k x k x k ，
显然0>∆，方程有根，且2
221222143124,438k
k x x k k x x +-=+-=+.…………………8分 此时)1()1(22212121221+++=+=-=-x k x k y y y y S S
212
122()234k
k x x k k =++=
+.……………………………10分
因为0≠k ，上式3
12212432124312
==⋅≤+=
k k k k ，（23±=k 时等号成立），
所以21S S -的最大值为3.…………………………12分
21.解：(Ⅰ)2
()ln ,f x x mx =-()f x '=x 1
-2mx=x
mx 122+-(x>0)…………2分
若m ≤0时，()f x '≥0,即在(0,+∞)上为单调增函数。

若m>0时，()f x '＝－2m x m m x m m x )22)(22(+-
,故x ∈(0,m m 22)为增，x ∈(m
m 22,+∞)
为减。

……5分 (
Ⅱ
)
方
法
一
：
令
2
1()()(1)(1)1,
2
G x F x m x l n x m x m x =--=-+-+所以21
(1)1
(
)(1)
m x m x
G x m x m x x
-+-+'=-+-=． 当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>．所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213
(1)11(1)120,22
G ln m m m =-⨯+-+=-+>
所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立． ………………………7分
当0m >时，2
1
()(1)(1)1
()m x x mx m x m G x x
x
-
+-+-+'==-
． 令()0,G x '=得1x m =
，所以当1(0,)x m ∈时，()0;G x '>当1
(,)x m
∈+∞时，()0G x '<．
因此函数()G x 在1(0,
)x m ∈是增函数，在1
(,)x m
∈+∞是减函数． 故函数()G x 的最大值为2111111
()()(1)1ln .22G ln m m m m m m m m
=-⨯+-⨯+=-…………9分
令1()ln ,2h m m m =
-因为11
(1)0,(2)20,24
h h ln =>=-< 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <．
所以整数m 的最小值为2． ……………12分 方法二：(Ⅱ)由()1F x mx ≤-恒成立，得21
12
lnx mx x mx -+≤-在(0,)+∞上恒成立．
问题等价于2
1
12
lnx x m x x ++≥
+在(0,)+∞上恒成立．
令21()12lnx x h x x x ++=+，只要max ()m h x ≥． 因为221
(1)()
2(),1()2x x lnx h x x x +--'=+令()0,h x '= 得102x lnx --=．设1()2x x lnx ϕ=--，因为11
()02x x
ϕ'=--<，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递
减，
不妨设1
02
x lnx --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0;h x '>当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '<．
所以()h x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．
所以0
00max
020*********()()11(1)22
x lnx x h x h x x x x x x +
++====++． 因为111()20,(1)0242ln ϕϕ=->=-<
所以01
1.2
x <<此时max 0112,()(1,2).g x x <<∈所以2,m ≥即整数m 的最小值为2
22．(Ⅰ)解：由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得：2(sin )2cos a ρθρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为：22y ax =(0a >)
由24x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为2y x =- ……………4分 (Ⅱ)解：将直线l
的参数方
程24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入22y a x =中得
：
2(4)8(4)0t a t a -+++=……………7分
设M 、N 两点对应的参数分别为t 1、t 2
，则有1212)8(4)t t a t t a +=+=+，
2||||||PM PN MN ⋅=2212121212()()4=t t t t t t t t ∴-=+-， 即28(4)40(4)a a +=+，解得1a =． 10分
23．(Ⅰ)解：不等式()4|1|f x x <--可化为：|32||1|4x x ++-< ①
当23x <-
时，①式为3214x x ---+<，解得52
43
x -<<-； 当213x -≤≤，①式为3214x x +-+<，解得21
32
x -<≤；
当x >1时，①式为3214x x ++-<，无解．
综上所述，不等式()4|1|f x x <--的解集为51
()42
-，．……………6分
(Ⅱ)解：
1111()()24n m
m n m n m n m n
+=++=++≥ 令 22232()||()|||32|42322x a x g x x a f x x a x x a x a x a x a ⎧
++<-⎪⎪⎪
=--=--+=--+-⎨⎪
--->⎪⎪⎩
，，，≤≤∴23x =-时，
max 2
()3
g x a =+
……………8分 要使不等式恒成立，只需max 2()43g x a =
+≤，即1003
a <≤ ∴实数a 取值范围是10
(0]3
，．……………10分。