四川省双流中学高三九月月考试题.docx

四川省双流中学2015-2016学年高三九月月考试题
理科数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 已知集合2{|log 2}M x x =<,{0,1,3,5}N =,则M N ⋂=（ ）
A. (0,4)
B. {13}，
C. {0,1,3,}
D. {1,3,5} 2． 已知复数1z i =，232z i =-，则复数
2
1
z z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3． 若x ,y 满足不等式组240300x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则32x y +的最大值是（ ）
A. 10
B. 9
C. 7
D. 6 4．已知,x y 的取值如下表所示：
如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为
13
2
y bx =+，则b =（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知a b =，且3a b a b +=-，则a 与b 的夹角为（ ）
x
2 3 4 y
6
4
5
A. 120o
B. 60o
C. 45o
D. 30o 6．下列命题正确的个数是 （ ）
①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的否命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件； ③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“01,2
3>+-∈∃x x R x ”.
A.0
B.1
C.2
D.3
7．已知函数2
()(1)x f x e x a x =++在点(0,(0))f 的切线与直线260
x y -+=垂直,则a =（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3
8． 已知c o s ()(0,[0,2y x ω
ϕωϕπ=+>∈的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）
A. 32π
B. 74π
C. 4
π
D. 0
9．执行如右下图的程序框图，若输入2015n =，则输出T 的值为
（ ） A ．1
2- B ．34 C ．3 D ．
23
10．正三棱柱被一个平面截去一部分后与半圆柱组成一个几何体，该几何体的三视图如左上图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．2+
3π B ．+3π C ． 43+
3π D ．23
+3π
否
（第9题图）
开始 结束
输入n
是 输出T 1?
n <3S = l o g y x
=1
1T S
=
-S T
=1
n n =-（第10题图）
俯视图
左视图
正视图
2
2
22
2
A
B
C
D
11. ABC △中，角A B C ，，的对边为a b c ，，，向量(
)
3,1m =
-，()cos ,sin n A A =，
若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ） A ．ππ
36
，
B ．
2ππ36
，
C ．ππ63
，
D ．ππ33
，
12．若0a >，且1a ≠，设函数2,
1()2,1
x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,若不等式()3f x ≤的解集是(,3]-∞，则a 的
取值范围是（ ）
A. (1,)+∞
B. (1,3)
C. (0,1)
D. [3,)+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. (31)n
x +展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多240，则n = ． 14．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ， 使C 在塔底B 的正东方向上，在C 处测得点A 的仰角为o 60，
再由点C 沿北偏东015方向上走10米到位置D ，
测得o
BDC 45=∠，则塔AB 的高是.__________
15．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0)c ,(0,)b 两点，若直线l 与双曲
线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为 ． 16．已知0lg lg =+b a ，则满足不等式
λ≤+++1
12
2b b
a a 的实数λ的 最小值是 .
三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差2d =，10120S =. （1）求n a ； （2）若1
1
n n n b a a -=
+,求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
18．（本小题满分12分）
为增强市民的环保意识，某市面向全市增招环保知识义务宣传志愿者.从符合条件的志愿者中随机选取20名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄(岁)分成五组第1组,第2组,第3组,
第4组,第5组.得到的频率分布直方图(局部)如图所示. （1）求第4组的频率,并在图中补画直方图；
（2）从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人,求这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率.
19．（本小题满分12分）
已知如图：四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面
ABE ,且2AE EB BC ===,点F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE .
(1)求证：//AE 平面BFD ；
(2)求二面角C DE A --的余弦值.
20．（本小题满分12分） 已知动圆过定点1
(0,)4
F ,且与定直线1
:4
l y =-
相切． （1）求动圆圆心的轨迹曲线C 的方程；
（2）若点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点，过点A 作曲线C 的切线，切点记为,M N ，求证：
直线MN 恒过定点，并求AMN ∆面积S 的最小值. 21．（本小题满分12分） 已知函数2
1()(2)2ln ()2
f x ax a x x a R =
-++∈. （1）若0a =，证明:()0f x <； （2）讨论函数()f x 零点的个数.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP OM ⊥于P ．
(1)证明：2
OA OM OP =⋅；
(2)N 为线段AP 上一点，直线NB ON ⊥且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线
C B A E D
F
ON 于K .证明：0
90OKM ∠=．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知射线1C :()03
π
θρ=
≥，动圆2C ：220002cos 40()x x x R ρρθ-+-=∈．
(1)求1C ，2C 的直角坐标方程；
(2)若射线1C 与动圆2C 相交于M 与N 两点，求0x 的取值范围.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知不等式221x x a +-->．
(1)当0a =时，求不等式的解集；
(2)若不等式在区间[4,2]-内无解，求实数a 的取值范围.
参考答案 一．选择题：
1． B ；2． C ；3． B ；4． A ；5． B ；6．Ｃ； 7．Ａ；8．Ｂ；9． D ；10． C ；11．Ａ；12．Ｃ。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 16 ； 14． 10
6 ； 15．
15
2+ ； 16． 1 。

三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分） 解(1) 1(1)
2
n n n S na d -=+
Q ,2d =，10120S =……………………2分 1109
1021202
a ⨯∴+
⨯=,即13a =…………………………3分 所以1(1)21n a a n d n =+-=+……………………………4分 (2) 1111
(2121)2
2121n n n b n n a a n n -=
==+--+++-Q …………7分
1111
(31)(53)(2123)(2121)2222
n T n n n n ∴=-+-++---++--L ………10分
K
B
P
A O
M
N
即1
(211)2
n T n =
+-………………………12分 18．（本小题满分12分）
19．（本小题满分12分） 解：（1）证明:连接AC 交BD 于G ，连结GF ，ABCD 是矩
形
∴G 为AC 的中点………………… 1分 由BF ⊥平面ACE 得：BF CE ⊥ 由EB BC =知：点F 为CE 中
点…………… 2分
∴FG 为ACE ∆的中位线 ∴FG //AE ………… 3分
∵ AE ⊄平面BFD ；FG ⊂平面BFD ； ∴ //AE 平面BFD ；……… 4分
（2）由BF ⊥平面ACE 得：BF AE ⊥；
由BC ⊥平面ABE 得: BC AE ⊥，BC BE ⊥； ∴AE ⊥平面BCE ，则BE AE ⊥… ………… 6分 在BCE Rt ∆中，22222222CE BC BE =
+=+=
同理可得：22DE AB CD ===,23AC =；………………… 8分
F E
D
C
B
A
∵ 2AD BC AE ===
∴ 取DE 中点H ，连结AH ，CH ,则AH DE ⊥,CH DE ⊥且
1
22
AH DE =
=,362CH DE ==…………………… 10分 ∴CHA ∠即为二面角C DE A --的平面角；
在CHA ∆中，222222(6)(2)(23)3
cos 23262
CH AH AC CHA CH AH +-+-∠===-
⋅⋅； ∴ 二面角C DE A --的余弦值为3
3
-.………………… 12分 20．（本小题满分12分）
解：（1）根据抛物线的定义,由题意可得：动圆圆心的轨迹C 是以点1(0,)4
F 为焦点，以定直线
1
:4
l y =-为准线的抛物线；……………………………2分
设2
:2(0)C x py p => ∵ 点1(0,)4F 到准线1:4l y =-的距离为12,∴12
p =
∴ 圆心的轨迹C 的方程为2
x y =………………………………… 4分 (2) ∵2
x y =,∴2y x '=
设切点,M N 的坐标分别为11(,)M x y ,22(,)N x y ,则211x y =,2
22x y =
则过点11(,)M x y 的切线方程为1112()y y x x x -=-，即2
112y x x x =-，即112y x x y =- 过点22(,)N x y 的切线方程为2222()y y x x x -=-，即2
222y x x x =-，即222y x x y =-
∵过点,M N 的切线都过点00(,)
A x y
∴01012y x x y =-，02022y x x y =- ∴点11(,)M x y ,22(,)N x y 都在直线002y xx y =-上
∴直线MN 的方程为002y xx y =-，即0020x x y y --=…………………6分 又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --= ∴直线MN 的方程为002(1)0x x y x ---=,即0(21)(1)0x x y -+-= ∴直线MN 恒过定点1(,1)2
……………………………8分
联立002
20x x y y y x
--=⎧⎨=⎩得到2
0020x x x y -+= 又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --=,即2
00210x x x x -+-=…①
则12x x 、是①的二根
∴2
0012012
044(1)021
x x x x x x x x ⎧∆=-->⎪
+=⎨⎪⋅=-⎩, ∴221212(1)[()4]MN k x x x x =++-⋅22
000(14)[(2)4(1)]x x x =+--
22
000(14)(444)x x x =+-+…… ……………10分
点00(,)A x y 到直线0020x x y y --=的距离是:
2200000000
2
2
2
22(1)
21
2141414x x x x x x y y d x
x
x
---+--=
=
=
+++………………11分
∴2002222
000000020
2111(14)(444)2112214x x S MN d x x x x x x x x ∆-+=⋅=+-+⋅=-+⋅-++ 即23
3
3
0001
1112(1)2[()]2()24
4
4
AMN S x x x ∆=-+=-+≥=
∴面积的最小值是1
4
………………………12分
21．（本小题满分12分）
解(1) 证明:当0a =时, ()22ln (0)f x x x x =-+> 22(1)
()2x f x x x
-'=-+=
列表:
max ()(1)20f x f ∴==-< max ()()0
f x f x ≤<,
即
()0f x < (2)
分
(2) 2
()(2)(0)f x ax a x x
'=-++
>………………………3分 2(2)2(1)(2)
()(0)ax a x x ax f x x x x
-++--'==>
讨论: 0
1 当0a =时,由第(1)问可得函数()f x 没有零点; ……………………4分
02 当
21a >,即02a <<时, 令(1)(2)()0x ax f x x
--'=>得01x <<,或2x a >,即函数()f x 的增区间为(0,1),2(,)a +∞
令(1)(2)()0x ax f x x --'=<得2
1x a <<,即函数()f x 的减区间为
x (0,1)
1
(1,)+∞
()f x ' +
0 -
()f x
递增
2-
递减
2(1,)a 而11
(1)(2)2ln12022
f a a a =-++=--<, 因为函数()f x 的减区间为2(1,)a ,所以2
()(1)0f f a <<
又函数()f x 的增区间为(0,1),2
(,)a +∞
所以当(0,1)x ∈时,()(1)0f x f <<
所以当2(,)x a ∈+∞时, 2
()()f x f a
>，x →+∞时，()f x →+∞
所以函数()f x 在区间2(0,)a 没有零点,在区间2
(,)a
+∞有一个零点……………6分
03 当2
1a
=,即2a =时,
2
(1)(2)(1)(22)2(1)()0x ax x x x f x x x x
-----'===≥恒成立
即函数()f x 在(0,)+∞上递增而11
(1)222022
f a =-
-=-⨯-<，x →+∞时，()f x →+∞ 所以函数()f x 在区间(0,)+∞有一个零点……………………………8分
04 当2
01a
<
<,即2a >时, 令(1)(2)()0x ax f x x
--'=>得20x a <<,或1x >,即函数()f x 的增区间为2
(0,)a ,(1,)+∞令
(1)(2)()0x ax f x x
--'=<得21x a <<,即函数()f x 的减区间为2
(,1)a
因为2a >,所以2222
()22ln 22ln10f a a a a
=--+<--+<，又x →+∞时，()f x →+∞
根据函数单调性可得函数()f x 在区间(0,1)没有零点,在区间(1,)+∞有一个零点…………10分
05 当
2
0a
<,即0a <时, 令(1)(2)
()0x ax f x x
--'=>得01x <<,即函数()f x 的增区间为(0,1)
令(1)(2)
()0x ax f x x --'=<得1x >,即函数()f x 的减区间为(1,)+∞
0x →时，()f x →-∞ x →+∞时，()f x →-∞
而114
(1)(2)2ln12222a f a a a --=
-++=--=
当4
(1)02a f --=>即4a <-时, 函数()f x 有两个零点;
当4
(1)02a f --==即4a =-时, 函数()f x 有一个零点;
当4
(1)02
a f --=<即40a -<<时, 函数()f x 没有零点. ……………11分
综上，4a <-时, 函数()f x 有两个零点;
4a =-时, 函数()f x 有一个零点; 40a -<≤时, 函数()f x 没有零点；
0a >时, 函数()f x 有一个零点；……………12分
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
证明：（1）由MA 是圆O 的切线知:AM OA ⊥ ……………2分 又∵AP OM ⊥；
∴ 在Rt OAM 中，由射影定理知：2OA OM OP =⋅…………4分
（2）证明：由BK 是圆O 的切线知：BN OK ⊥．同（1）2OB ON OK =⋅………6分 由OB OA =得：OM OP ON OK ⋅=⋅………………………7分 即:
OP OK
ON OM
=
．又NOP MOK ∠=∠，则NOP MOK V :V ……………9分 ∴ 090OKM OPN ∠=∠=．……………………10分 (用M P N K 、、、四点共圆来证明也得分) 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解(1) ()tan ,03y x πθθρ=
=≥Q 3(0)y
x x
∴=≥, 所以1C 的直角坐标方程为3(0)y x x =≥……………………………2分
cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩Q ,所以2C 的直角坐标方程222
00240x y x x x +-+-=.……………2分 (2) 联立()22000032cos 40()
x x x R πθρρρθ⎧
=≥⎪⎨⎪-+-=∈⎩ 关于ρ的一元二次方程22
00040()x x x R ρρ-+-=∈在[0,)+∞内有两个实根…………………6分
即22
00120212
04(4)0040
x x x x x x x x ⎧∆=-->⎪+=>⎨⎪⋅=->⎩,……………………………8分 K
B
P
A O M
N
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 得000
043433302,2x x x x ⎧-<<⎪⎪⎪>⎨⎪><-⎪⎪⎩
或,即04323x <<………………………10分 (用数形结合法解出也给分)
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解： (1)由题意得：2210x x +-->，即：221x x +>-………………1分 ∴22(22)(1)x x +>-，即：231030x x ++>………………………3分
解得：3x <-或1
3x >-； ∴不等式的解集为1
(,3)(,)3-∞-⋃-+∞…………………………5分
(2)设()221([4,2])f x x x x =+--∈-,
则:3,(41)
()31,(11)3,(12)
x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪+≤≤⎩, ………………………7分
其图像如图示：则()f x 的最大值为(2)5f =………………8分
∵ 不等式221x x a +-->在区间[4,2]-无解，
∴实数a 的取值范围为[5,)+∞……………………………10分。