湖南省株洲市茶陵二中高三数学上学期第一次月考试题

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33
4
株洲市二中2014届高三第一次月考试题（理科数学）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．设集合A={}{}
,22,2,1,0,1<≤-=-x x B 则B A I = （ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}0,1-
C ．{}01<<-x x
D ．{}
01≤≤-x x
2．已知命题P ：1sin ,=∈∃x R x ；命题01,:2<+∈∀x R x q ，则下列判断正确的是（ ）
A ．p 是假命题
B ．q 是真命题
C ．p ⌝是假命题
D ．q ⌝是假命题
3．已知向量(,1)a x =r ，(3,6)b =r ，且a b ⊥r r ，则实数x 的值为 （ ）
A ．12
B ．2-
C ．2
D ．2
1
- 4．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线21//l l 的一个充分条件是
( )
A ．α//1l 且α//2l
B ．α⊥1l 且α⊥2l
C ．α//1l 且α⊄2l
D ．α//1l 且α⊂2l
5．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1,1,4a a a -++,则数列的通项公式n a = （ ）
A ．34()2
n
⋅ B ．24()3
n
⋅ C ．1
34()
2
n -⋅ D ．1
24()
3
n -⋅
6．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 （ ）
A ．3
B ．363．3．6
7．有一个正方体棱长为1，点A 为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P ，则
点
P
到
点
A
的
距
离
大
于
1
的
概
率
为
（ ）
A ．14
π
-
B ．
6
π C ．13
π-
D ． 16
π-
8．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，当2>x 时，)(x f 单调递增，如
果
4
21<+x x 且
)2)(2(21<--x x ，
则
)
()(21x f x f +的
值
（ ）
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．为0
D ．可正可负也可能为0
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共8小题，作答7小题，每小题5分，共35分。

把答案填在答卷中对应题号后的横线上。

（一）选做题（考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9. 若不等式a x x ≥-+-|2||4|对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为 。

10. 在极坐标系中，圆上任意两点间的距离的最大值
为 。

11．如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB
P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB ．
（二）必做题（12~16）
12．若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=则p 的值为 。

13．曲线12++=x xe y x
在点（0，114．二项式6
)1
2(x
x -的展开式的常数项是 。

15．如果执行右面的程序框图，那么输出的S= 。

16．已知函数()f x 满足：1
(1),4()()(4
f f x f y f =⋅=(2010)f =则 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1．
（Ⅰ）求()y f x =的解析式，并求函数的最小正周期和最值．
（Ⅱ）若(
)12
f A π
=，其中A ABC ∆的内角，且2AB =， 求AC 和BC 的长．
18．（本小题满分12分）
)3
cos(4π
θρ-=
已知某班将从5名男生和4名女生中任选3人参加学校的演讲比赛。

（I ）求所选3人中恰有一名女生的概率；
（II ）求所选3人中女生人数ξ的分布列，并求ξ的期望。

19．（本小题满分12分）
如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=4，BD=24 （I ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（II ）求二面角P —CD —B 的大小。

20．（本小题满分13分）
已知等差数列2,6,}{51-==a a a n 中 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设)(),()
10(1
*21*N n b b b T N n a n b n n n n ∈+++=∈-=
Λ，是否存在最大的整
数m ，使得对任意32
,*
m
T N n n >∈均有成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分13分）
已知一直线l 过点为P （2，1），且与椭圆14
82
2=+y x 相交于A 、B 两点。

（I ）若弦AB 的中点为P ，求直线l 的方程；
（II ）求∆AOB 面积的最大值及面积最大时直线l 的方程(O 为坐标原点)。

22．（本小题满分13分）
P
A
B
C
D
已知函数1
()log 1
a
x f x x +=-，(0a >，且1)a ≠ （Ⅰ）求函数的定义域，并证明1
()log 1
a x f x x +=-在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）对于[2,4]x ∈21()log log 1(1)(7)
a
a x m
f x x x x +=>---恒成立，求m 的取值范围； （Ⅲ）当2n ≥，且*
n N ∈时，试比较(2)(3)()
f f f n a ++⋅⋅⋅+与22n -的大小．
参考答案
一、选择题 ACBB CBDA 二、填空题
9. 2≤a 10. 4 11. 4 12. 4 13．13+=x y 14．240 15．52 16．2
1
三、解答题
17．解：（Ⅰ）Q 函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1
sin
cos
12
2
m π
π
∴+= 1m ∴= …………………….2分
()sin cos )4
f x x x x π
∴=+=+ ....3分 ∴函数的最小正周期2T π=. (4)
分
当2()4x k k Z π
π=
+∈时， ()f x
，
当52()4
x k k Z ππ=+∈时，()f x
最小值为 (6)
分
（Ⅱ）因为(
)12f A π=
即()123f A ππ== ∴sin sin 3
A π
= ∵A
是面积为
2的锐角ABC ∆的内角， ∴3A π
= …………………….8分
1sin 2ABC
S AB AC A ∆==Q g 3AC ∴= …………….10分 由余弦定理得：222
2cos 7BC AC AB AB AC A =+-⋅⋅
=BC ∴=
…….12分
18．解：（I ）2110
3
9
1
425==C C C P ； ………………4分 （II ）ξ的可能取值为0，1，2，3
分8.211
)13(,145)2(,2110
)1(,425)0(39
343
924
1
53
9
44253935ΛΛΛΛ=====
=======C
C P C C C P C C C P C C P ξξξξ
ξ的分布列为： ξ
1
2
3
P
425 2110 145 21
1 3
4
21131452211014250=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ………………12分 19．解：方法一：
证：（1）在,24,4,==∆BD AD BAD Rt 中
分
平面又平面平面因此为正方形6.,4.,,.
,,4ΛΛΛΛI ΘΘPAC BD AC PA PA BD ABCD BD ABCD PA AC BD ABCD AB ⊥∴=⊥∴⊂⊥⊥=∴ （II ）由.,,AD CD ABCD PD AD ABCD PA ⊥⊥又的射影在平面为知面
分
又的平面角为二面角知1245,.,ΛΛΛΛΘο
=∠∴=--∠⊥∴PDA AD PA B CD P PDA PD CD
方法二：
证：（I ）建立如图所示的直角坐标系，
,4,,0
,0)0,4,4(),0,4,4(),4,0,0(),
0,4,4(),0,0,4(,
4,24,4,),4,0,0(),0,4,0(),0,0,0(=⊥⊥=⋅=⋅-===∴∴=∴==∆AC AP AC BD AP BD AC BD AP BD BD AC AP C B AB BD AD BAD Rt P D A I Θ又即中在则
.PAC BD 平面⊥∴ ………………6分
解：（II ）由（I ）得).0,0,4(),4,4,0(-=-= 设平面PCD 的法向量为
分
依题可得的大小为设二面角的法向量为平面平面的法向量可取为故平面即则1245,2
2
||
||||
cos ——.)1,0,0(,)
1,1,0(0,00040440,0,0),,,(111111ΛΛΛΘο=∴=⋅==∴⊥=⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=++-=-+=⋅=⋅=θθθAP n AP n ，B CD P ABCD AP ABCD PA n PCD z
y x x x y CD n PD n z y x n 20．解：（1）由题意d a n 设公差为为等差数列,}{ ………………1分
由题意得.28)2)(1(6,2462n n a d d n -=--+=-=⇒+=- …………4分 （2）).1
1
1(21)1(21)10(1+-=+=-=
n n n n a n b n n Θ
分8)
1(2)]
1
1
1()111()4131()3121()211[(21ΛΛΛΛΛ+=+-+--++-+-+-=∴n n n n n n T n
若++∈>+∈>
N n m n n N n m T n 对任意即成立对任意16
1,32成立 …………10分 分均有使对任意即存在最大整数的最大整数值是的最小值是13.32
,,7.7,21
16,21)(1**ΛΛΛΘ
m
T N n m m m N n n n n >
∈=∴<∴∈+
21．解：（1）若斜率不存在，易知弦AB 的中点为P （2，1），与题意不符，不成立 …1分
若斜率存在，设斜率为k 则直线的方程为：),2(1-=-x k y 即k kx y 21-+=， 代入椭圆方程得：82)1(22
2
=-+-k kx x ，
整理得：,08)21(2)21(4)21(2
2
2
=--+-++k x k k x k ① …………3分
设,41
2)
12(4),,(),,(2
212221=+-=+k k k x x y x B y x A 则 解得：03:,1=-+-=y x l k 的方程为即 ………………5分
（注：也可用点差法求解） （2）由方程①可求得，弦长|AB|=
1
2)
344)(1(82
22++++k k k k ，
原点到直线l 的距离为2
1|21|k
k h +-=
…………8分
22)
12(2344)21(212344|21|2S 2
2222AOB
=++++-≤+++-=∴∆k k k k k k k k ；………12分
当且仅当4
1
-
=k 时取等号，此时直线l 的方程为064=-+y x 当斜率不存在时，易求得22
所以三角形面积的最大值为22，此时直线方程为064=-+y x 或2=x ………13分
22. 解：（Ⅰ）由1
01
x x +>-，得1x <-或1x >，∴ 函数的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞U …2分
当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞U 时，
11111
()log log log ()log ()1111a
a a a x x x x f x f x x x x x --+-++-====-=---+-- ∴ 1
()log 1a x f x x +=-在定义域上是奇函数。

(4)
分
（Ⅱ）由[2,4]x ∈时，21()log log 1(1)(7)
a
a x m
f x x x x +=>---恒成立， ①当1a >时 ∴
2101(1)(7)
x m
x x x +>>---对[2,4]x ∈恒成立 ∴ 0(1)(1)(7)m x x x <<+--在[2,4]x ∈恒成立 ………………………6分
设()(1)(1)(7),[2,4]g x x x x x =+--∈ 则3
2
()77g x x x x =-++-
22752
()31413()33
g x x x x '=-++=--+
∴当[2,4]x ∈时，()0g x '> ∴ ()y g x =在区间[2,4]上是增函数，min ()(2)15g x g ==
∴015m << …………………………8分
②当01a <<时
由[2,4]x ∈时，21()log log 1(1)(7)
a a x m
f x x x x +=>---恒成立， ∴
2
11(1)(7)
x m
x x x +<---对[2,4]x ∈恒成立 ∴ (1)(1)(7)m x x x >+--在[2,4]x ∈恒成立…9分 设()(1)(1)(7),[2,4]g x x x x x =+--∈
由①可知()y g x =在区间[2,4]上是增函数，max ()(4)45g x g ==
∴45m > …………………………10分
（Ⅲ）∵451
(2)(3)()log 3log log log log 2321a a a a a
n n f f f n n n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++-- 451(1)
log (3)log 23212
a a
n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=-- ∴(2)(3)......()
(1)2
f f f n n n a ++++=
当2n =时，(1)
32n n +=，22n -=2，∴(2)(3)......()f f f n a +++>22n -
当3n =时，(1)
62
n n +=，22n -=6，∴(2)(3)......()f f f n a +++=22n -
当4n ≥时，(2)(3)......()
(1)2
f f f n n n a ++++=<22n - (13)
分。