数列和不等式交汇

数 列 和 不 等 式
数列是一种特殊的函数，在众多的高考试题中数列试题题型新颖,
综合性强，特别是数列与不等式的结合是近几年高考试题的热点，而涉及数列和不等式的问题往往需要综合运用函数、数列性质和不等式证明等诸多方法,从而考察学生的数学意识、数学思维。

下面谈谈常涉及到的几种特殊解决方法。

一、函数的性质 A. 函数的值域
例1．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和是n s ，且满足：
43a a ⋅=117，2252=+a a ，
求（1）通项n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且c
n s b n
n +=，求非零常数C 。

（3）若{}n b 的前n 项和为n
T ，求证1
1)9(643+-+>
-n n
n n
b n b b T
解：（1）略34-=n a n （2）略2
1-=c
(3)n n n
n b n 22
122=-
-=
, )22(3)(23221--+=--n n n b T n n 4)12(22++-=n n 4≥
41664
10
9649
1064)1(2)9(264)9(6421=≤++=
++=+⋅+⨯=+-n
n n n n
n n n b n b n n 上面两式等号不可能同时取到，∴原命题得证。

B. 函数的单调性 a. 构造函数应用定义法
例2。

已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，它满足()2
1n n
a a n s +=
（1） 试求出21,++n n n a a a 与之间的递推关系。

（2） 设
,1
,1221a
a a a ==
当
1
0<<a 时，求证
.111112
242322a a a a a n
-<++++１．．． （3） 若设
,
1
,1221a
a a a ==当
2
1
0<
<a 时，求证
.1631112
242322<++++n
a a a a １．．． 解:（1）（略解）利用n s -1-n s =n a 可得数列{}n a 是一等差数列。

（2） 012>-=a
a d ，（10<<a ）∴数列{}n a 是单调递增数列。

∴
k
k k k k a a a a a ⋅<⋅=-12111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-k k a a d 1111()2≥k 令,...4,3,2n k =得n-1个不等式相减得：d a a a n 11...1122322<+++⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-2111a a
+d 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32
11
a a +…+d 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n a a 111=d 1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++-+--n n a a a a a a 11 (11111)
3221
=
d
1
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n a a 111<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=n a a a a 112a a a a a a -<-=⋅-11
1132. (3)由(2)知(
))1(21112
22242322a a a a a a a a n
-+<
++++１．．．=())
1(213
a a a -+
设=)(a f ())1(213a a a -+,当)2
1
,0(∈a 时,设1021<<<a a ,则有
-)(2a f =)(1a f ())1(21223
2a a a -+-())1(211131a a a -+ 01121>->-a a ,31a <32a ,41a <42a ∴())1(211131a a a -+<())
1(21223
2
a a a -+ ∴-)(2a f 0)(1
>a f ,∴)(a f 在)21,0(∈a 上单调递增.
∴)(a f <)2
1(f =16
3，命题得证.
当然证明函数的单调性亦可采用求导的方式来证明。

C.函数的有界性
例3．若无穷数列{}n a 满足431-=+n n a a ，+∈N n ，（1）已知数列{}n a 是严格的递增数列，求首项1a 的取值范围。

（2）若无穷数列{}n a 有界（即对+∈N n ，均有,M a n ≤M 为一正常数），求证：数列{}n a 是常数列。

解：(1) 431-=+n n a a ，将其变形为)2(321-=-+n n a a ，令n n b a =-2，+∈N n 02,3111≠-==∴+a b b b n n 否则,21=a 推出2...32====n a a a ，这与{}n a 是严格单调递增数列矛盾，∴数列{}n b 是以21-a 为首项，以3为公比的等比数列，其通项公式为=n b （21-a ）13-n ，即=-2n a （21-a ）13-n ，
+∈N n ，即=n a （21-a ）13-n +2，+∈N n
又
数列{}n
a
是严格的递增数列，∴01>-+n
n a a 恒成立，即（21-a ）
-n 3（21-a ）13-n >0恒成立, ∴（21-a ）-n 3（21-a ）13-n >0对一切正
自然数+∈N n 恒成立,即()()022311>---a a 恒成立. ∴()0221>-a 恒成立,
∴21>a
故所求的1a 的范围是21>a
(2)证明:由(1)知=n a （21-a ）13-n +2,下面分情况讨论.
a.若21>a 时. 数列{}n a 是严格单调递增数列,当+∞→n 时,
13-n +∞→,∴n a +∞→,这与M a n ≤矛盾. ∴21>a 不成立.
b.当21<a 时,=-+n n a a 1 （21-a ）-n 3（21-a ）13-n =⋅2（21-a ）13-n <0.
∴n
n a a <+1即数列{}n a 是单调递减数列,当+∞→n 时, 13-n +∞→,但
21<a ,∴=n a （21-a ）13-n +2-∞→,∴n a +∞→这与M a n ≤矛盾, ∴2
1<a 也不成立.
c.当21=a 时, 2=n a ,满足,M a n ≤对一切+∈N n 恒成立, ∴21=a 即2=n a
∴ 数列{}n a 是常数列.
评注：递推数列与数列的有界性、单调性是高等数学内容和初等数学相衔接的部分，也备受命题人员的青睐，因此要注意培养学生运用所学知识观察问题、分析问题、解决问题的能力。

二．不等式的证明方法 A ．基本不等式
例4．已知1a ，2a ，3a …n a 为两两各不相等的正整数.求证对任何正整数n 下列不等式成立,
n n
a a a n 1
...2111 (212)
2221+++≥+++(第20届IMO 试题) 证明: 因为1a ，2a ，3a …n a 为两两各不相等的正整数,所以显然有
n 1
...2111+++≥n
a a a 1...1121+++
1
1
11
a a
+
≥
211⋅
22212a a +≥212⋅。

n
n a n a 12+
≥2n 1
以上各不等式两边分别相加并整理:
-++≥+++)1
...2111(2 (212)
2221n n a a a n (n a a a 1...1121+++) 2≥)1...2111(n ++—（n 1...2111+++）=n
1
...2111+++
B.放缩法
例5．已知数列{}n a 满足n n a n
s 2
=()N n ∈，n s 是{}n a 的前n 项和，且12=a
求（1）{}n a 的通项 （2）证明：22112
31
1
<⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
≤++n a n a （2004
浙江宁波高三测试题）
解：（1）n n
a n s 2=
，112
1
+++=n n a n s ，两式相减得n n n na a n a -+=++11)1(2
∴n n na a n =-+1)1( ∴1
1-=
+n n a a n
n ，
2
1
1--=
-n n a a n n 。

1
2
23=a a 连乘后可得：12
-=n a a n
，2a =1，∴1-=n a n ()2≥n
又112
1
a a =
01=∴a ∴1-=n a n ()1≥n
（2）（二项式定理）232121110=+≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛+n C C n n n n
（放缩法
1）211212.....122.212)212(
211<++=++-+<+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+n n n n n n n n n n n n n
（放缩法2）=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+
++1
1
211n a n a n
n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+211=n
n n n n n n C n C n C C ⎪⎭⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++21 (21212210)
又 ()()()r
r r r
n r r
r
n
n r r n n n n n C n C ⋅+---⋅=⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
!1...21212121<()n n r ...3,2,121= ∴n
n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+211<221221 (8)
1
412111<-=+++++n n
C.比较法
例6．已知函数()
x x a a a a
x f ---=
1
)(2
，其中.1,0≠>a a （1） 判断函数)(x f 在()+∞∞-,上的单调性，并根据函数单调性的定
义加以证明
（2） 若N n ∈，且2≥n ，证明n n f >)(。

解：（1）略解。

（2）n n f >)(⇔0)(>-n n f ，N n ∈，且2≥n 设()=n g n n f -)(=
()
n a a a a n
n ----1
2
，N n ∈，且2≥n 则()=2g ()
21
2
22----a a a a =0212>-+a a
()=
-+)(1n g n g ()
11
112
-+------+n n n n a a a a a a
=
()()
()
11
11+--+a a a a
n
n n
无论1>a 还是10<<a ，都有()()0111>--+n n a a 则()0)(1>-+n g n g 即())(1n g n g >+ 故()0)2(...)1(>>>->g n g n g 即n n f >)( D ．分析法
例7．已知数列{}n a 满足：n
n n n a a a a a 416
8,52
11++=
=+，()n n ...3,2,1= 求证：（1）4≥n a ，()n n ...3,2,1=
（2）()44
141-≤-+n n a a ()n n ...3,2,1= 证明：（1）1a =5>4 ∴结论成立
N n n ∈≥,2时 424
441681
1112
1≥++=++=-----n n n n n n a a a a a a
当且仅当41=-n a 时取等号.
∴4≥n a ()n n ...3,2,1=
(2) )4(4
141-≤-+n n a a ()n n ...3,2,1=
44441682-≤-++⇔n n n n a a a a 44
4161682-≤
-++⇔n n n n n a a a a a 4≥n a n n n n
a a a a 41682
2-≤+-∴ 164≥n a 4≥n a 由(1)知4≥n a 成立,故命题等证. 三、数列的性质 A ．应用数列性质
（例6）（2）解：n n f >)(⇔(
)()
n a
a a a n n 21122
2>--()n a a a a a n n 2 (21)
253>++++⇔-
（逆用等比数列求和公式）
n a a a a a a n n n n n n 21...1112123311>⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔------，
由均值不等式，上式成立 B.极限思想
例8．设,21≈a 1
211
1a a ++
= （1）证明：2介于21,a a 之间。

（2）21,a a 中哪一个更接近于2
（3）根据以上事实，设计一种求2的近似值的方案，并说明理由。

解：（1）()()2
1
22a a --=
()()012211
2
1
<+--a
a 则2介于21,a a 之间 （2）()()()()
1
1
2
1
2
212212a a a a -+--=
- =
()()
()111221a a +-- =211
211
-+-a a
21-<a ∴2a 比1a 更接近于2。

（3）依次令n
n a a ++=+11
11，N n ∈ 则=-2n a 211
211
-+---n n a a 122
1
2---<
n a < (221222)
<-⋅⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--n a 11
2212a n -⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-<-，
即 <-2n a <--21n a ...22<--n a <-22a 21-a
故21,a a ...3a 依次更接近于2，且当+∞→n 时，n a 无限趋近于2， 即2lim =
∞
→n
a
n 。

评注：此题是根据教材数列章节中第一节的例3改编而来的，让学生接触“数列逼近”这个新颖题材，对培养学生的创造能力很有帮助，
这种极限的思想在其他的章节中也有广泛的运用，例如球的体积和球的表面积的推导等。

当然对于数列中不等式的证明也可使用数列中的数学归纳法来证明，这里就不说明了。

四、二项式定理 例
5（2）（二项式定理）232121110=+≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛+n C C n n n n
评注：一般地，当指数不等式（指数为正整数）那么一般情况都可以利用二项式定理来证明。

当然对于数列和不等式还可以采用数形结合、绝对值性质等等，这里就不一一赘述。