高三数学二轮总复习 第四讲 推理与证明学案-人教版高三全册数学学案

第四讲推理与证明
考点一：合情推理问题
1．归纳推理．
(1)归纳推理是由某类事物的________具有某些特征，推出该类事物的________具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出________的推理．
(2)归纳推理的思维过程如下：
实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论
2．类比推理．
(1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．
(2)类比推理的思维过程如下：
观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论
考点二：演绎推理问题
1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1)大前提——已知的一般性原理．
(2)小前提——所研究的特殊情况．
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
2．合情推理与演绎推理的区别．
归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
考点三：直接证明问题
1．综合法．
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q
2．分析法．
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件
考点四：间接证明问题
反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用如下图所示的框图表示．
表示条件p 否定结论 -- 导致逻辑矛盾 -- “既p 又q “ 为假 -- “若p 则q ”为真
考点五：数学归纳法
数学归纳法主要用于证明与整数有关的数学问题，分两步进行： (1)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *
)时命题成立；
(2)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *
)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题也成立． 考点自测
1. (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们
研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：
b 2 012是数列{a n }中的第_5 030_项；
②b 2k －1＝________(用k 表示)．
5k (5k －1)
2
(2)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行直线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：（“夹在两个平行平面之间的平行线段相等”，）这个类比命题的真假性是 （真命题）．
2．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a .”这段推理的结论显然是错误的，这是因为(A )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．非以上错误 3．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a －b )2
＋(b －c )2
＋(c －a )2
≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠b ，b ≠c ，
a ≠c 不能同时成立．其中判断正确的个数是( C )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 4．用反证法证“至多有两个解”，应假设( C ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．至少有三个解 D ．至少有两个解
高考热点突破
突破点1 合情推理 例1.观察下列等式
∑i ＝1
n
i ＝12n 2＋1
2n ，
∑i ＝1
n
i 2＝13n 3＋12n 2＋1
6n ，
∑i ＝1
n
i 3＝14n 4＋12n 3＋1
4n 2，
∑i ＝1
n
i 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－1
30n ，
∑i ＝1
n
i 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4－1
12n 2，
∑i ＝1
n
i 6＝17n 7＋12n 6＋12n 5－16n 3＋142
n ，
…
∑i ＝1
n
i k ＝a k ＋1n k ＋1＋a k n k ＋a k －1n k －1＋a k －2n k －2＋…＋a 1n ＋a 0.
可以推测，当k ≥2(k ∈N *
)时，a k ＋1＝1k ＋1，a k ＝1
2
，a k －1＝________，a k －2＝________.
思路点拨：当k ＝2,3,4,5,6时，写出a k －1，a k －2的值，通过观察归纳可得
解析：当k ＝2时，a 1＝16＝2
12，a 0＝0；
当k ＝3时，a 2＝14＝3
12，a 1＝0；
当k ＝4时，a 3＝13＝4
12，a 2＝0；
当k ＝5时，a 4＝5
12，a 3＝0；
当k ＝6时，a 5＝12＝6
12，a 4＝0；
由此可得：a k －1＝k
12，a k －2＝0.
答案：k
12
规律方法：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.
(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具
有某个性质，则另一个对象也具有类似的结论.
跟踪训练
1．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋133<53， 1＋122＋132＋142<74， …
照此规律，第五个不等式为
突破点2 演绎推理
例2. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝ (1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)．
(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *
)，证明{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明对任意的n ∈N *
，a n 是a n ＋3与a n ＋6
的等差中项．
思路点拨：解答本题第(1)问可根据b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *
)将已知等式变形构造出b n 与b n
－1
的关系式．第(2)问可用叠加法求a n .第(3)问先由a 3是a 6与a 9的等差中项求出q ，并利用
{a n }的通项公式和q 的值，推证a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n (n ∈N *
)．
(1)证明：由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1(n ≥2)．
又b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)解析：由(1)可知，
a 2－a 1＝1， a 3－a 2＝q ，
…
a n －a n －1＝q n －2(n ≥2)．
将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q
n －2
(n ≥2)，
1＋122＋132＋142＋152＋162<116
所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋1－q n －1
1－q ，q ≠1，n ， q ＝1，
上式对n ＝1显然成立．
(3)解析：由(2)知，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1， 由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5
－q 2
＝q 2
－q 8
， 由q ≠0得，q 3
－1＝1－q 6，① 整理得(q 3)2
＋q 3－2＝0，
解得q 3＝－2或q 3
＝1(舍去)，于是q ＝－32， 另一方面，
a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3
－1)，
a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q
(1－q 6
)，
由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，n ∈N *
， 所以对任意的n ∈N *
，
a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．
规律方法：演绎推理是由一般到特殊的推理.数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确的，一定要注意推理过程的正确性与完备性.
跟踪训练
2．在数列{a n }中a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *
. (1)证明：数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *
皆成立．
(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *
. 又a 1－1＝1.所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列． (2)解析：由(1)可知a n －n ＝4
n －1
，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4
n －1
＋n .
所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n
－13＋
n
n ＋1
2
.
(3)证明：对任意的n ∈N *
，
S n ＋1－4S n ＝
4
n ＋1
－13＋n ＋1n ＋22－4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
4n
－13
＋n n ＋12
＝－12
(3n 2
＋n －4)≤0.
所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *
皆成立． 突破点3 直接证明与间接证明
已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝ a n ＋n －4，b n ＝(－1)n
(a n －3n ＋21)，其中
λ为实数，n 为正整数．
(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论 思路点拨：(1)第1问用反证法；(2)第2问用综合法．
(1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 2
2＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ
⎝ ⎛⎭
⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔ 9＝0，矛盾，所以{a n
}不是等比数列．
(2)解析：因为b n ＋1＝(－1)n ＋1
[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]
＝(－1)
n ＋1
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a n －2n ＋14
＝－23(－1)n
·(a n －3n ＋21)
＝－23
b n .
又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N *
)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n ，可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－2
3(n ∈
N *
)．
故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－2
3为公比的等比数列．
规律方法：(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．
跟踪训练
3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n n
(n ∈N *
)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解析：由已知得⎩⎨
⎧
a 1＝2＋1，
3a 1＋3d ＝9＋32，
∴d ＝2.
故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n
＝n ＋ 2.
假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2
q ＝b p b r . 即(q ＋2)2
＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2
－pr )＋(2q －p －r )2＝0.
∵p ，q ，r ∈N *
，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
q 2
－pr ＝0，
2q －p －r ＝0，
∴⎝
⎛⎭
⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，
∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．
所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 突破点4 数学归纳法及其应用
例4．等比数列{an }的前n 项和为Sn ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，Sn )均在函数y ＝bx ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．
(1)求r 的值；
(2)当b ＝2时，记bn ＝2(log2an ＋1)(n ∈N *)．
证明：对任意的n ∈N *，不等式 成立． 思路点拨：(1)由Sn ＝bn ＋r 求an ，再由a 2＝ba 1求r . (2)转化所证不等式，利用数学归纳法证明．
解析：(1)由题意，Sn ＝bn ＋r . 当n ≥2时，Sn －1＝bn －1＋r . ∴an ＝Sn －Sn －1＝bn －1(b －1)， ∵b >0且b ≠1，
∴n ≥2时，{an }是以b 为公比的等比数列． 又∵a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， ∴a 2a 1＝
b b －1
b ＋r
＝b ，∴r ＝－1
(2)由(1)知当b ＝2时，a n ＝2
n －1
，∴b n ＝2n (n ∈N *
)，
所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋1
2n >n ＋1.
①当n ＝1时，左式＝3
2，右式＝2，
左式>右式，所以结论成立．
②假设n ＝k (k ∈N *
，k ≥1)时结论成立． 即
2＋12·4＋14·…·2k ＋1
2k
>k ＋1， 由当n ＝k ＋1时，
2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1>k ＋12k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1
＞k ＋2，
即证2k ＋32＞
k ＋1k ＋2，
∵
2k ＋32＝k ＋1＋k ＋2
2>k ＋1
k ＋2成立，
故
2k ＋3
2k ＋1 ＞k ＋2成立． 所以当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②可知n ∈N *
时， 不等式
b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1
b n
>n ＋1成立． 规律方法：(1)在用数学归纳法证明第(2)问时，涉及不等式的放缩和均值不等式的应用，证明过程中对式子的变形方向应非常清晰．
(2)在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n ＝k ＋1时证明的目标，充分考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题形式之间的区别和联系，并且在递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
跟踪训练
4．已知点P n (a n ，b n )满足：a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－a 2n ，n ∈N ，且已知P 0⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，23.
(1)求过P 0，P 1的直线l 的方程；
(2)判断点Pn (n ≥2)与直线l 的位置关系，并证明你的结论． 解析：(1)由P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23知a 0＝13，b 0＝23， 得b 1＝23÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34，a 1＝13，b 1＝1
4
.
∴点P 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，34. ∴过点P 0，P 1的直线l 的方程为x ＋y ＝1. (2)由a 1＝14，b 1＝34，得b 2＝45，a 2＝14b 2＝1
5，
∴P 2∈l .猜想点P n (n ≥2)在直线l 上， 证明如下： ①当n ＝2时，点P 2∈l . ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *
)时， 点P k ∈l ，即a k ＋b k ＝1.
当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋b k ＋1＝a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝(1＋a k )b k ＋1＝b k
1－a k ＝1.
∴点P k ＋1∈l .
由①②知，点P n ∈l (n ≥2)． 小结反思
1．归纳、类比推理是根据个别事实，通过分析提出猜想的推理，其结论可能是错误的． 2．演绎推理是由一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，其结论一般是准确的． 3．分析法是从未知看需知，再逐步靠近已知，是寻求解题思路的好办法．
4．当结论中含有“至少”、“至多”、“不全是”、“全不是”、“唯一”等词语或以否定语句出现时，常用反证法．。