高中山西省朔州市应县第一中学高一上学期期中数学试题

山西省朔州市应县第一中学【精品】高一上学期期中数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合{}|02A x x =≤≤，{}
2
|1B x x =>，则=A B ⋂（ ）
A ．{}|01x x ≤≤
B ．{}|01x x x ><-或
C ．{}
|12x x <≤
D ．{}|02x x <≤
2．函数y = ）． A ．(,0]-∞
B ．[1,)+∞
C ．[0,)+∞
D ．(,)-∞+∞
3．下列各式：a =； ②(223a a --)0＝1； ④
33log 18log 22-=.其中正确的个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
4．根据下表，用二分法求函数3()31f x x x =-+在区间(1,2)上的零点的近似值（精确度0.1）是（ ）
A ．1.75
B ．1.625
C ．0.12719726
D ．1.5625
5．设f (x )=()()3(10)
(510x x f f x x +>⎧⎨+≤⎩
，则f (5)的值是（ ）
A ．24
B ．21
C ．18
D ．16
6．函数
，满足（ ）
A ．是奇函数又是减函数
B ．是偶函数又是增函数
C ．是奇函数又是增函数
D ．是偶函数又是减函数 7．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(9，3)，则log 4f (2)的值为( )
A ．
14
B ．－
14
C ．2
D ．－2
8．函数y ＝(
)2
lg 43x x +-的单调增区间为（ ）
． A ．（-∞，
3
2
） B ．（
3
2
，+∞） C ．(－1，
32
] D ．[
3
2
，4）
9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f ()， b ＝31log 2f ⎛⎫
⎪⎝⎭，c ＝43f ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a <c <b
B ．b <a <c
C ．c <b <a
D ．b <c <a
10．已知0a >，1a ≠，x y a =和log ()a y x =-的图像只可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．定义在R 上的偶函数()f x 在[0，＋∞)上是增函数，则方程()f x ＝()23f x -的所有实数根的和为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
12．能够把圆(圆心在坐标原点，半径为r 的圆)的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆
的“和谐函数”,下列函数①()3
f x x =；②()f x x x =；③
3()4f x x x =+；④()22x x
f x -=-；⑤()x x f x e e -=+是圆
的“和谐函数”的是
( ) A ．①②③④ B ．①②③⑤
C ．①②④⑤
D ．①③④⑤
二、填空题
13．已知集合M 满足{}1,2M ⊆⊂≠{}1,2,3,4,5 ，那么这样的集合M 的个数为_____________．
14．函数11x y a -=+（0a >，1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为__________. 15．函数2()2||f x x x m =--的零点有两个，则实数m 的取值范围是_____________. 16．若集合{|2}x M
y y ==，2{|}N y y x ==，则下列结论①
()(){2,2,4,16}M
N =； ②{2,4}M N ⋂=；③{4,16}M
N =；④M N ；
⑤M
N ；⑥[0,)M N =+∞.其中正确的结论的序号为_____________．
三、解答题
17．已知集合{|2101}A x m x m =-<<-，{|26}B x x =<<. （1）若4m =，求A
B ；
（2）若A B ⊆，求m 的取值范围. 18．计算题：
（1）411
0231
32
23(0.25)[2()][(2)]1)27
---⨯⨯-+-；
（2）21log 32.5log 6.25lg0.0012+++．
19．已知二次函数()f x 的最小值为1,且()()023f f ==. (1)求()f x 的解析式；
(2)若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调,求实数a 的取值范围.
20．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝()2log 1x +. (1)求当x <0时，f (x )的解析式；
(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．
21．f (x )是定义在R 上的函数，对x ，y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y )，且当x >0时，f (x )<0，且f (-1)=1.
（1）求f (0)，f (-2)的值； （2）求证：f (x )为奇函数； （3）求f (x )在[-2，4]上的最值.
22．已知函数2()2f x x x =+-，|()|()
()2
f x f x
g x -=
（1）写出函数()g x 的解析式；
（2）若直线1y ax =+与曲线()y g x =有三个不同的交点，求a 的取值范围；
（3）若直线 y ax b =+与曲线()y f x =在[2,1]x ∈-内有交点，求22
(1)(3)
a b -++的取值范围.
参考答案
1．C 【解析】
试题分析：由21x >，解得1x <-或1x >，即{}
|11B x x x =-或，又{}|02A x x =≤≤，故选C.
考点：1.解二次不等式；2.集合的运算. 2．A 【解析】
130310x x x -≥⇒≤⇒≤ ，定义域为(,0]-∞.选A.
3．C 【解析】
,,a n a n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数
，①错误；当2230a a --≠时，(223a a --)0＝1；②错误；
=
==333log 18log 2log 92-==，④正确；其
中正确的个数是1，选C. 4．D 【解析】
()()1.50.1250, 1.56250.127197260f f =-=， 函数()y f x =在区间()1,2上的零
点为区间[]
1.5,1.5625上的任何一个值， 故选D ． 5．A 【分析】
利用分段函数的解析式，代入求解即可. 【详解】
由f (x )=()()3(10)(510x x f f x x +>⎧⎨+≤⎩
，
()()()()10151821f f f f ∴===，
()()()()()()555102124f f f f f f =+===，
故选：A 【点睛】
本题考查了分段函数求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 6．C 【解析】
()(),f x x x x x f x -=--=-=-奇函数；200,x y x ≥=≥时，在[0,)+∞上是增函数；
200,x y x <=-<时，在(,0)-∞上是增函数；所以y x x x R =∈在是增函数．故选C
7．A 【详解】
设幂函数为f(x)＝x α
，则有3＝9α
，得1
2
α=
，所以12f(x)=x ，f(2)，所以log 4f(2)
＝log ＝log 41
44＝14
. 答案：A 8．C 【解析】
令lg y t = ，2430t x x =+-> ，（14x -<<）
lg y t =在(0,)+∞为增函数，243t x x =+-在3(1,)2
-上是增函数，在3
(,4)2上是减函数；
根据复合函数单调性判断方法“同增异减”可知，函数y ＝(
)2
lg 43x x
+-的单调增区间为
3
(1,)2
-选C.
【点睛】有关复合函数的单调性要求根据“同增异减”的法则去判断，但在研究函数的单调性时，务必要注意函数的定义域，特别是含参数的函数单调性问题，注意对参数进行讨论，指、对数问题针对底数a 讨论两种情况，分0<a<1和a>1两种情况，既要保证函数的单调性，又要保证真数大于零. 9．D 【解析】
f (x )是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是增函数，
(a f f ==，3331
(log )(log 2)(log 2)2
b f f f ==-=，由于
340log 213<<<<34
(log 2)()3
f f f <<，所以b c a <<，选D.
10．B 【分析】
由题意利用函数的定义域和函数的单调性排除错误选项即可确定满足题意的函数图像. 【详解】
函数log ()a y x =-的定义域为(),0-∞，据此可排除选项A ,C ； 函数x
y a =与log ()a y x =-的单调性相反，据此可排除选项D ， 故选B . 【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 11．D 【分析】
由函数()f x 为R 上的偶函数，由偶函数的性质()()()f x f x f x =-=有f(|x|)＝f(|2x －3|)，再结合函数在[0，＋∞)上是增函数，列方程|x |＝|2x －3|求解即可. 【详解】
解:由于函数f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(|2x －3|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则|x |
＝|2x －3|，整理得x 2
－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，故x 1＋x 2＝4.
故选：D. 【点睛】
本题考查了偶函数的性质()()()f x f x f x =-=及函数单调性，重点考查了函数的性质，属基础题. 12．A 【分析】
由圆O 的“和谐函数”的定义可知，函数()f x 是圆O 的“和谐函数”,则函数的图像经过圆心且关于圆心对称，又圆O 的圆心在坐标原点，故函数()f x 为奇函数，再结合函数的此性质逐一检验即可. 【详解】
解：当函数()f x 是圆O 的“和谐函数”,则函数的图像经过圆心且关于圆心对称，由圆O 的圆心在坐标原点，故函数()f x 为奇函数，由奇函数的定义可得()3
f x x =，()f x x x =，
3()4f x x x =+，()22x x
f x -=-为奇函数，()x x f x e e -=+为偶函数，故是圆O 的“和
谐函数”的是①②③④， 故选：A. 【点睛】
本题考查了对即时定义的理解及函数奇偶性的判定，重点考查了阅读能力，属基础题. 13．7 【分析】
由集合子集，真子集的运算，集合M 中必有1,2，且3,4,5不同时属于集合M 即可. 【详解】
解：用列举法可知M ＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}共7个． 故答案为：7. 【点睛】
本题考查了集合的包含关系，主要考查了子集，真子集的运算，重点考查了集合思想，属基础题. 14．(12)， 【解析】
因为当1x =时，0
12y a =+=，所以函数图象恒过点(1,2)，故填(1,2). 15．0m >或1m =- 【分析】
函数2
()2||f x x x m =--的零点有两个等价于函数22||y x x =-的图象和直线y m =有2
个交点，再分别作两函数所对应的图像观察交点个数即可. 【详解】
解：由题意可得22||y x x =-的图象(红色部分)和直线y m =有2个交点，如图所示：当函数22||y x x =-的图象和直线y m =有2个交点时，有0m >或1m =-， 故答案为：0m >或1m =-.
【点睛】
本题考查了函数的零点问题及函数图像的作法，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 16．⑤，⑥ 【解析】
{}2{0}x M y y y y ===>，{}
2[0]N y y x y y ===≥，①②③④均错误，⑤⑥正确，
填⑤⑥.
17．（1）{}|23x x <<；（2）67m ≤≤或9m ≥. 【分析】
（1）由题意，代入4m =，得到集合,A B ，利用交集的运算，即可得到答案； （2）由题意，集合A B ⊆，分A φ=和A φ≠两种情况讨论，即可得到答案. 【详解】
（1）由题意，代入m 4=，求得结合{}{}
A x 2x 3,
B x 2x 6=-<<=<<， 所以{}
A B x 2x 3⋂=<<. （2）因为A B ⊆
①当A ,2m 10m 1∅=-≥-即，解得m 9≥，此时满足题意. ②A ,2m 10m 1,m 9∅≠-<-<当即且，则2102
16
m m -≥⎧⎨-≤⎩
则有6m 7≤≤，
综上：6m 7≤≤或m 9≥. 【点睛】
本题主要考查了集合的运算，以及利用集合之间的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合的交集的运算，以及合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18．（1）125
2
-；（2）-6 【分析】
（1）由分数指数幂的运算性质()m n mn
a a =运算即可.
（2）由对数的运算性质log log m n
a a n
b b m
=运算即可得解. 【详解】
（1）原式=4113223221()[2](2)1)2
2
⨯⨯--⨯-+-=16412-++=1252-；
（2）21log 32.5log 6.25lg0.0012+++
()
2log 32.5log 6.25lg0.001ln e 22=++-⨯ 32lg1016-=++-
＝2﹣316+-
6=-.
【点睛】
本题考查了分数指数幂的运算及对数的运算，重点考查了运算能力，属基础题. 19．(1) 2()243f x x x =-+；(2) 1
02
a <<. 【分析】
(1)根据二次函数有最小值,可以设出二次函数的顶点式方程,根据()()023f f ==可以求出
所设解析式的参数.
(2)求出二次函数的对称轴,根据题意可得不等式组,解不等式即可求出实数a 的取值范围.
【详解】
(1)因为二次函数()f x 的最小值为1,所以设()2
()1(0)f x a x h a =-+>,因为 ()()023f f ==,所以222113()2432
(2)13h ah f x x x a a h ⎧=+=⎧⇒⇒=-+⎨⎨=-+=⎩⎩； (2)由(1)可知：函数()f x 的对称轴为：1x =,因为()f x 在区间[]2,1a a +上不单调,所以有 121102
a a a <<+⇒<<
,所以实数a 的取值范围为102a <<. 【点睛】 本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式,考查了二次函数在区间上不单调求参数取值范围问题.
20．(1) 当x <0时，f (x ) 2log (1)x -(2) 递减区间是(－∞，0]，递增区间是[0，＋∞)．
【解析】
【详解】
试题分析：利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,借助f(x)=f(-x)就可以求出x<0时的解析式；作函数图象最好先观察一下函数的解析式的形式特点，了解一下函数的简单性质，利用图象变换作图象又快又准，2log y x =左移2个单位得出2log (1)x +的图象，取0x ≥的部分，y 轴左边的图象与y 轴右边的图象关于y 轴对称.根据图象写出单调区间.
试题解析：
(1)当x <0时，－x >0，
∴f (－x )＝22log [()1]log (1)x x -+=-，
又f (x )是定义在R 上的偶函数，
∴f (－x )＝f (x )，
∴当x <0时，2()log (1)f x x =- .
(2)由(1)知，22
log (1),0()log (1),0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩
作出f(x)的图象如图所示：
由图得函数f(x)的递减区间是(－∞，0]，递增区间是[0，＋∞)．
【点睛】
利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,偶函数借助f(x)=f(-x)求出x<0时的解析式，奇函数借助f(x)=-f(-x)求出函数在x<0的解析式；作函数图象最好先观察一下函数的解析式的形式特点，了解一下函数的简单性质，利用图象变换作图象
21．（1）f(0)=0，f(-2)=2；（2）证明见解析；（3）f(x)max=2，f(x)min=-4.
【分析】
（1）令x=y=0，即可求出f(0)=0，通过f(-1)=1，可求出f(-2).
（2）令y=-x，即可证明函数为奇函数.
（3）任取x2>x1，即可证明函数单调递增，进而可求最大最小值.
【详解】
（1）f(x)的定义域为R，
令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0，
∵f(-1)=1，∴f(-2)=f(-1)+f(-1)=2，
（2）令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)，
∴f (-x)+f (x)=f(0)=0，∴f(-x)=-f(x)，∴f (x)是奇函数.
（3）任取x2>x1，
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
∵x2-x1>0，∴f(x2-x1)<0，∴f(x2)-f(x1)<0，
即f(x2)<f(x1)，∴f(x)在R上为减函数.
∴f （2）= -f (-2) = -2，
∴f (4) = f （2）+f （2）=-4，
∵f (x )在[-2，4]上为减函数，∴f (x )max = f (-2)=2， f (x )min =f (4) = -4.
【点睛】
本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力和计算能力，属于一般题目.
22．(1) 20,()2,g x x x ⎧=⎨
--+⎩2121x x x ≤-≥-<<或 (2) 1(1,0)(0,)2- (3) [2,)+∞ 【分析】
（1）先分类讨论求出|f(x)|的解析式，即得函数()g x 的解析式；（2）当0a =时，直线1y =与曲线()y g x =只有2个交点，不符题意．当0a ≠时，由题意得，直线1y ax =+与曲线()y g x =在2x -或1x 内必有一个交点，且在21x -<<的范围内有两个交点．由21,2,21,y ax y x x x =+⎧⎨=--+-<<⎩
消去y 得2(1)10x a x ++-=．令2()(1)1x x a x ϕ=++-，写出a 应满足条件解得；（3）由方程组2,2,
y ax b y x x =+⎧⎨=+-⎩消去y 得2(1)20x a x b +---=．由题意知方程在[2-，1]内至少有一个实根，设两根为1x ，2x ，不妨设1[2x ∈-，1]，2x R ∈．由
根与系数关系得121x x a +=-，122x x b =--．代入22(1)(3)a b -++求解即可．
【详解】
（1）当2()20f x x x =+-≥，得1≥x 或2x -≤，此时()0g x =；
当2()20f x x x =+-<，得21x -<<，此时()()()()2
f x f x
g x f x --==- ∴20,()2,g x x x ⎧=⎨--+⎩
2121x x x ≤-≥-<<或 （2）当0a =时，直线1y =与曲线()y g x =只有2个交点，不符题意.
当0a ≠时，由题意得，直线1y ax =+与曲线()y g x =在2x -≤或1≥x 内必有一个交点，且在21x -<<的范围内有两个交点.
由212,21
y ax y x x x =+⎧⎨=--+-<<⎩，消去y 得2(1)10x a x ++-=.
令2
()(1)1x x a x ϕ=++-，则a 应同时满足以下条件： 200(1)4033121,122(2)01(1)0a a a a a a a ϕϕ≠⎧≠⎧⎪∆=++>⎪⎪-<<⎪⎪⎪+⇒-<-<⎨⎨<⎪⎪⎪⎪->>-⎪⎪⎩>⎩
， 解得10a -<<或102a <<，所以a 的取值范围为1(1,0)(0,)2
- （3）由方程组22
y ax b y x x =+⎧⎨=+-⎩，消去y 得2(1)20x a x b +---=. 由题意知方程在[2,1]-内至少有一个实根，设两根为12,x x ， 不妨设1[2,1]x ∈-，2x R ∈，由根与系数关系得121x x a +=-，122x x b =-- ∴()()22
221212(1)(3)1a b x x x x -++=++-
222212121x x x x =+++ ()()221211x x =++
212≥⨯=
当且仅当121,0x x ==时取等.
所以22(1)(3)a b -++的取值范围为[2,)+∞.
【点睛】
本题考查了函数与方程，涉及了分段函数、零点、韦达定理等内容，综合性较强，属于难题．。