1999年数学高考试卷

1999年数学高考试卷
一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知映射f:A→ B，其中集合A = { - 3, - 2, - 1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A 中元素在映射f下的象，且对任意的a∈ A，在B中和它对应的元素是| a|，则集合B
中元素的个数是（）
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
2. 已知函数y = f(x)的图象是开口向下的抛物线，且对任意x∈ R，都有f(1 -
x)=f(1 + x)，若向量→a=(log_(1)/(2)m,- 1)，→b=(1,- 2)，则满足不等式f(→a·→b) < f(- 1)的实数m的取值范围是（）
A. (0,1)∪(1, + ∞)
B. (0,2)
C. (0,(1)/(2))
D. (2, + ∞)
3. 若函数y = f(x)的反函数是y = g(x)，f(a)=b，ab≠0，则g(b)等于（）
A. a
B. a^-1
C. b
4. 函数f(x)=Msin(ω x+φ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)= - M，f(b)=M，则函数g(x)=Mcos(ω x+φ)在[a,b]上（）
A. 是增函数。

B. 是减函数。

C. 可以取得最大值M
D. 可以取得最小值-M
5. 若f(x)sin x是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（）
A. sin x
B. cos x
C. sin 2x
D. cos 2x
6. 在极坐标系中，曲线ρ = 4sin(θ-(π)/(3))关于（）
A. 直线θ=(π)/(3)对称。

B. 直线θ=(5π)/(6)对称。

C. 点(2,(π)/(3))对称。

D. 极点对称。

7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）
A. 6√(3)cm
C. 4sqrt[3]{18}cm
D. 4sqrt[3]{9}cm
8. 若(2x+√(3))^4=a_0+a_1x + a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4，则(a_0+a_2+a_4)^2-
(a_1+a_3)^2的值为（）
A. 1.
B. - 1
C. 0.
D. 2.
9. 直线√(3)x + y - 2√(3)=0截圆x^2+y^2=4得的劣弧所对的圆心角为（）
A. (π)/(6)
B. (π)/(4)
C. (π)/(3)
D. (π)/(2)
10. 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥ AB，EF=(3)/(2)，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）
A. (9)/(2)
B. 5.
C. 6.
D. (15)/(2)
11. 若sinα>tanα>cotα(-(π)/(4)<α<(π)/(2))，则α∈（）
A. (-(π)/(2),-(π)/(4))
B. (-(π)/(4),0)
C. (0,(π)/(4))
D. ((π)/(4),(π)/(2))
12. 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积之比为1:2，那么R =（）
A. 10.
B. 15.
C. 20.
D. 25.
13. 已知两点M(1,(5)/(4))，N(-4,-(5)/(4))，给出下列曲线方程：
4x + 2y - 1 = 0；x^2+y^2=3；frac{x^2}{2}+y^2=1；④frac{x^2}{2}-y^2=1。

在曲线上存在点P满足| MP|=| NP|的所有曲线方程是（）
A.
B. ④.
C.
D. ④.
14. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）
B. 6种。

C. 7种。

D. 8种。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

15. 设椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)的右焦点为F_1，右准线为l_1，若过F_1且垂直于x轴的弦的长等于点F_1到l_1的距离，则椭圆的离心率是___。

16. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___种（用数字作答）。

17. 若正数a、b满足ab = a + b + 3，则ab的取值范围是___。

18. α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
m⊥ n；α⊥β；n⊥β；④m⊥α。

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：___。

三、解答题：本大题共6小题，共64分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19. (10分)
设复数z = 3cosθ + i·2sinθ，求函数y=θ - arg z(0 <θ<(π)/(2))的最大值以及对应的θ值。

如图，已知正四棱柱ABCD - A_1B_1C_1D_1，点E在棱D_1D上，截面EAC∥D_1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45^∘，AB = a。

求截面EAC的面积；
求异面直线A_1B_1与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。

21. (12分)
已知函数y = f(x)的图象是自原点出发的一条折线，当n≤slant y≤slant n + 1(n = 0,1,2,·s)时，该图象是斜率为b^n的线段（其中正常数b≠1），设数列{x_n}由
f(x_n)=n(n = 1,2,·s)定义。

求x_1、x_2和x_n的表达式；
求f(x)的表达式，并写出其定义域；
证明：y = f(x)的图象与y = x的图象没有横坐标大于1的交点。

22. (12分)
如图，给出定点A(a,0)(a > 0)和直线l:x = - 1，B是直线l上的动点，∠ BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a的关系。

23. (14分)
已知函数f(x)=(1)/(4)x^4+x^3-(9)/(2)x^2+cx有三个极值点。

证明：-27 < c < 5；
若存在实数c，使函数f(x)在区间[a,a + 2]上单调递减，求a的取值范围。

设f(x)的三个极值点为x_1，x_2，x_3，且x_1，证明：f(x_1)+f(x_3)>-(7)/(2)。

24. (14分)
设椭圆C_1的方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)，离心率为
(√(3))/(2)，抛物线C_2的方程为x^2= - ay(a > 0)，C_1与C_2有公共点P，且在点P处的切线相同。

求椭圆C_1的方程；
设A、B是椭圆C_1上的两个动点，且→OA·→OB=0（O为坐标原点），过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程。