云南省昭通市2020年高二第二学期数学期末教学质量检测试题含解析

云南省昭通市2020年高二第二学期数学期末教学质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知X 的分布列为
设Y ＝2X ＋3，则E(Y)的值为
A ．
73
B ．4
C ．－1
D ．1
【答案】A 【解析】
由条件中所给的随机变量的分布列可知 EX=﹣1×12+0×13+1×16=﹣
13
， ∵E （2X+3）=2E （X ）+3， ∴E （2X+3）=2×（﹣
13）+3=7
3
．故答案为：A ． 2．学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有( ) A ．84种 B ．60种 C ．42种
D ．36种
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知这是一个分类计数问题.一类是：第一期培训派1人；另一类是第一期培训派2人，分别求出每类的选派方法，最后根据分类计数原理，求出学校不同的选派方法的种数. 【详解】
解:第一期培训派1人时，有1
2
44C C 种方法, 第一期培训派2人时，有2
2
2
432C C A 种方法,
故学校不同的选派方法有12222
4443260C C C C A +=，故选B.
【点睛】
本题考查了分类计数原理，读懂题意是解题的关键，考查了分类讨论思想. 3．已知：0x >，0y >，且21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U
C ．()2,4-
D ．(][),24,-∞-⋃+∞
【答案】A
【解析】 【分析】
若2
22x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为
21
1x y
+=,0x >,0y >,
所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭
,当且仅当4x y y x =,即4x =,2
y =时等号成立,
因为2
22x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】
本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.
4．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ） A ．144种 B ．108种
C ．72种
D ．36种
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，分3步进行分析：
①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，有C 42种取法， ②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A 42种情况，
③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况， 则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C 42A 42×1＝72种， 故选：C ．
点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步有若干种方法．
(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
5．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，由函数有零点可得，
，而由函数
在
上为减
函数可得
，因此是必要不充分条件，故选B ．
考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.
6．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫
-= ⎪
+⎝⎭
的图象大致为()n n A ． B ． C ． D ．
【答案】C 【解析】
函数f （x ）=（1212
x
x
-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，
1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212
x
x
-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。

7．在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为(2)n π-”时，第一步验证的n 等于（ ） A ．1 B ．3
C ．5
D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
多边形的边数最少是3，即三角形，即可得解； 【详解】
解：依题意，因为多边形的边数最少是3，即三角形，
用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为(2)n π-”时，第一步验证的n 等于3时，是否成立， 故选：B
【点睛】
本题主要考查数学归纳法的基本原理，属于简单题. 用数学归纳法证明结论成立时，需要验证1n n = 时成立，然后假设假设n k =时命题成立，证明1n k =+时命题也成立即可，对于第一步，要确定1n n =，其实就是确定是结论成立的最小的n .
8．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ） A ．720 B ．360 C ．270 D ．180
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案. 【详解】
解：根据题意，分两步进行：
① 在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有2
630A =中情况；
② 将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有222
4222
2
6C C A A =种情况， 则一共有306180⨯=种不同的安排方案， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确.
9．若,a b v v 是两个非零向量，且a b a b ==-v v
v v ，则a v 与a b +v v 的夹角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【答案】A 【解析】 【分析】
画出图像：根据a b a b ==-r r r r 计算,a b r r 夹角为3
π
，再通过夹角公式计算a r 与a b +r r 的夹角.
【详解】
a b a b ==-r r r r
形成一个等边三角形，如图形成一个菱形.
a r 与a
b +r r
的夹角为30°
故答案选A 【点睛】
本题考查了向量的加减和夹角，通过图形可以简化运算.
10．设函数()3
4sin f x x x x =--，则()f x 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据()()f x f x -=-可知函数为奇函数，根据奇函数性质，排除,C D ；根据x →+∞时，()f x 的符号可排除B ，从而得到结果. 【详解】
()()34sin f x x x x f x -=-++=-Q ，()f x ∴为R 上的奇函数，
()f x ∴图象关于原点对称，且()00f =，可排除C ，D ；
又[]4sin 4,4x ∈-，当x →+∞时，()
3
2
1x x x x -=-→+∞，
∴当x →+∞时，()f x →+∞，可排除B ，知A 正确.
故选：A .
本题考查函数图象的辨析问题，解决此类问题通常采用排除法来进行求解，排除依据通常为：奇偶性、特殊值符号和单调性.
11． “杨辉三角” 是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，n S 为
{}n a 的前n 项和，则10S =
A ．1024
B ．1023
C ．512
D ．511
【答案】B 【解析】 【分析】
依次算出前几行的数值，然后归纳总结得出第n 行各个数之和n a 的通项公式，最后利用数列求和的公式，求出10S 【详解】
由题可得：11112a -==，21222a -==，31342a -==，41
482a -==，515162a -==，依次下推可得：
1
2
()n n a n N -*
=∈，所以{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列，故1010101(12)
21102312
S ⨯-==-=-；
故答案选B 【点睛】
本题主要考查杨辉三角的规律特点，等比数列的定义以及前n 项和的求和公式，考查学生归纳总结和计算能力，属于基础题。

12．若复数z 满足()142(z i i i +=-为虚数单位），则z =（ ） A ．13i + B ．13i -
C ．13i --
D ．13i -+
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算可求得z ；根据共轭复数的定义可得到结果.
由题意得：()()()()
4214226131112i i i i
z i i i i ----=
===-++- 13z i ∴=+ 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得z ，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．若4
2x ⎛+ ⎝
⎭的展开式中常数项为96，则实数a 等于__________． 【答案】4 【解析】
4
2x x ⎛+ ⎝⎭的展开式的通项是()444221442?2?r
r r r r r r r T C x a C x x ---+⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ，令420,2r r -== ，4
2x ⎛+ ⎝
⎭的展开式中常数项为242224·2?=96a C -，可得4,a = 故答案为4 . 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的
通项公式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二
项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
14．已知()()10
0111x a a x +=+-()()2
10
21011a x a x +-+⋅⋅⋅+-，则8a =__________． 【答案】180 【解析】
()()()()10
1010
1121x x x ⎡⎤+=--=-+-⎣⎦Q ，()()100111x a a x +=+-()()210
2101...1a x a x +-++-，
()2
88102180a C ∴=⋅-=，故答案为180.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的
通项公式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二
项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
15．在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且1MN =，若，
()
3
2
MN AD BC ⋅-=u u u u v u u u v u u u v ，则AB CD ⋅的值为________.
【答案】1
2
【分析】
通过表示1()2MN AB DC =+u u u u v u u u v u u u v ，再利用3()2
MN AD BC ⋅-=u u u u r u u u r u u u r 可计算出2
1CD =u u u r ，再计算出()
2AB CD -u u u v u u u v 可
得答案. 【详解】
由于M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，故1()2
MN AB DC =+u u u u v u u u v u u u v ，AD BC AD CB CD AB -=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，所以
()()
13()22
MN AD BC AB CD AB CD ⋅-=-⋅+=u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以223AB CD -=u u u v u u u v ，所以21CD =u u u r
，而
2MN AB CD =-u u u u v u u u v u u u v ，所以()()
222MN AB CD =-u u u u v u u u v u u u v ，即4412AB CD =+-⋅u u u v u u u v
，故12
AB CD ⋅=u u u v u u u v ，故答案为
12
【点睛】
本题主要考查向量的基底表示，数量积运算，意在考查学生的空间想象能力，运算能力，逻辑分析能力，难度较大.
16．
()2
2
1cos x dx π
π-
+=⎰ ．
【答案】2π+ 【解析】
试题分析：
()()2
22
2
1cos sin |2x dx x x π
π
πππ--
+=+=+⎰
考点：定积分
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．设1z +为关于x 的方程()2
0,x px q p q R ++=∈的虚根，i 虚数单位．
（1）当1z i =-+时，求p 、q 的值；
（2）若1q =，在复平面上，设复数z 所对应的点为M ，复数24i -所对应的点为N ，试求MN 的取值范围．
【答案】（1）0p =,1q =（2）[]4,6 【解析】 【分析】
（1）1z i =-+,则1z i +=,则可确定方程()2
0,x px q p q R ++=∈两根为,i i -,由韦达定理即可求得,p q ;
（2）可确定1z +,1z +为方程的两根,设z a bi =+,由韦达定理可得()()
111z z +⋅+=,即
()()()
2
21111z z a b +⋅+=++=,1cos a θ=-+,sin b θ=,用两点间距离公式可表示出MN ,用三角函
数的知识求得其范围. 【详解】
（1）当1z i =-+,则1z i +=
∴方程20x px q ++=的两根分别为:,i i -
()()i i p i i q ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩
,即0p =,1q =
（2）当1q =时，方程为2
10x qx ++= 1z ∴+,1z +为方程的两根
设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-
∴ ()()
()2
21111z z a b +⋅+=++=
设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈π 故()1cos ,sin M θθ-+
Q 复数24i -所对应的点为N ,可得()2,4N -
根据两点间距离公式:
MN ∴=
==
其中3tan 4ϕ=
，0,2πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
()[]sin 1,1θϕ+∈-Q []4,6MN ∴∈
即MN 的取值范围为:[]4,6. 【点睛】
本题考查复数的定义,几何意义的应用,关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根,利用韦达定理建立等量关系.
18．某羽绒服卖场为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店3月份上旬中某5天的日营业额y (单元：千元)与该地当日最低气温x (单位：∘C )的数据，如表：
(1)求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+； (2)设该地3月份的日最低气温2~(,)X N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差，求
()0.6 3.8P X <<
参考公式：()()
()
1
1
2
22
1
1
ˆn
n
i i i
i
i i n
n
i
i
i i x y nxy
x x y
y b
x
nx x x ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =- 计算参考值：22
2
2
2
258911295,2125108898117287++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
.
3.2,()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ≈-<<+=-<<+=.
【答案】（1）0.5612.92y x =-+；（2）0.1359 【解析】 【分析】
（1）由题，计算,x y ，ˆˆ,a
b ，进而求出线性回归方程。

（2）由题可得2
7,10μσ==，计算()3.87P X <<的值，从而得出()0.6 3.8P X <<
【详解】
(1) 由题意可得()125891175x =
++++=，()1121088795
y =++++=，5
1522
152875790.5629557ˆ7
5i i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯===--⨯⨯-∑∑，()90.56712.ˆ92ˆa y bx =-=--⨯= ∴y 关于x 的回归直线方程0.5612.92y x =-+
(2)由题意，平均数为7μ=，方差为210σ=，()~7,10X N ∴，
1
(3.87)(3.810.2)0.341352P x P x ∴<<=
<<=，()()11
0.6 3.80.613.4(3.810.2)0.135922
P x P x P x <<=<<-<<=
【点睛】
本题考查线性回归方程与概率问题，属于简单题。

19．在ABC ∆中，已知ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，2BA BC =. （1）求BDC ∆与BDA ∆的面积之比；
（2）若120ABC ∠=o ，3BC =，求AD 和DC . 【答案】（1）1
2
（2
）AD =
DC = 【解析】 【分析】
由三角形面积公式in 1
2
s S ab C =
解出即可． 利用余弦定理解出AC ，再根据比值求出AD 和DC ．
【详解】
（1）设BDC ∆与BDA ∆的面积分别为1S ，2S ，则11sin 2
S BC BD CBD =⋅∠，21
sin 2S BA BD ABD =⋅∠，
因为BD 平分ABC ∠，所以ABD CBD ∠=∠， 又因为2BA BC =，所以212S S =，∴
121
2
S S =. （2）在ABC ∆中，由余弦定理得，2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅⋅o
1
369236632
=++⨯⨯⨯=，
∴AC =
由（1）得
1
2
2S AD DC S ==，
∴DC =
，AD =【点睛】
本题考查三角形的面积公式、余弦定理．属于基础题． 20．（1）化简：
()()()()
()()
sin cos 3tan tan 2tan 4sin 5παπααπαππαπα------+；
（2）若α、β为锐角，且()12cos 13αβ+=，()3
cos 25
αβ+=，求cos α的值． 【答案】（1）sin α；（2）56
65
. 【解析】 【分析】
（1）利用诱导公式对代数式进行化简即可；（2）根据()12cos 13αβ+=
，()3
cos 25
αβ+=得出αβ+、2αβ+的取值范围，利用同角三角函数的基本关系计算出()sin αβ+和()sin 2αβ+，再利用两角差的
余弦公式得出()()cos cos 2ααβαβ⎡⎤=+-+⎣⎦的值. 【详解】 （1）
()()()()
()()
sin cos 3tan tan 2tan 4sin 5παπααπαππαπα------+
()()()()()
sin cos tan tan tan sin παπαπαα
απα---=
-⋅+
()()()()
sin cos tan tan cos tan sin tan sin αααα
ααααα⋅-⋅-⋅=
==-⋅-；
（2）因为α、β为锐角，且()12cos 013αβ+=
>，()3
cos 205
αβ+=>， 0,2παβ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，20,2παβ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，
所以()
5sin 13αβ+==
，()
4sin 25
αβ+==， ()()()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin ααβαβαβαβαβαβ⎡⎤∴=+-+=+++++⎣⎦
1235456
13513565
=
⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查诱导公式化简，考查利用两角差的余弦公式求值，解题时要注意利用已知角去配凑未知角，在利用同角三角函数求值时，要考查角的象限或取值范围，考查计算能力，属于中等题.
21．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率
%t y =进行了统计，结果如表：
()1请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y 与月份代码x 之间的关系，如果能，请计算出y 关于x
的线性回归方程，并预测该公司2018年12月的市场占有率.如果不能，请说明理由．
()2根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800
元/辆的
A ，
B 两款车型，报废年限各不相同.考虑公司的经济效益，该公司决定对两款单车进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：
经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元.不考虑除采购成本以外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择釆购哪款车型？ 参考数据：
6
2
1
()
17.5i
i x x =-=∑，()6
1
()35i i i x x y y =--=∑36.5≈
参考公式：相关系数
()n
x x y y r --=
回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()
1
2
1
()()
n
i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑
∑
$
，
a y
b x =-$$
．
【答案】 (1) 29y x =+$
, 2018年12月的市场占有率是23%； (2) 选择釆购B 款车型. 【解析】 【分析】
（1）求出相关系数，判断即可，求出回归方程的系数，求出回归方程代入x 的值，判断即可； （2）分别求出,A B 的平均利润，判断即可. 【详解】
()()1
1111316152021166
y =+++++=，
故
6
21
()76i
i y
y =-=∑，
故(
)
()35
0.9636.5
n
i
i
x x y y r --=
=
=≈∑，
故两变量之间有较强的相关关系，
故可用线性回归模型拟合y 与月份代码x 之间的关系，
()
1
2
1
()35
217.5
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--==
=
=-∑∑$
， 162 3.59a y b x =-=-⨯=$$
，
故回归方程是29y x =+$
，
7x =时，ˆ23y
=， 即2018年12月的市场占有率是23%；
()2用频率估计概率，
这100辆A 款单车的平均利率为：
()1
5001003050040100020350(100
-⨯+⨯+⨯+⨯=元)，
这100辆B 款车的平均利润为：
()1
300152004070035120010400(100
-⨯+⨯+⨯+⨯=元)， 故会选择釆购B 款车型. 【点睛】
本题考查了相关系数，回归方程以及函数代入求值，是一道中档题.
22．小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是2.
（1）根据题目信息补全上表；
（2）能否根据这个调查数据判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？ 参考数据和公式：
()
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2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++. 【答案】（1）见解析；（2） 有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关 【解析】 【分析】
（1）女生中选几何题的有2
2085
⨯=人，由此补全列联表即可（2）计算2k 的值，对照临界值表下结论即可 【详解】
（1）由已知女生共20人，所以女生中选几何题的有2
2085
⨯=（人）， 故表格补全如下：
（2）由列联表知
22
50(221288)50 5.556 5.024*********
k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯
故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关 【点睛】
本题考查独立性检验，考查能力，是基础题。