【冲刺卷】高中必修五数学上期中第一次模拟试题(带答案)

【冲刺卷】高中必修五数学上期中第一次模拟试题(带答案)
一、选择题
1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则
A ．111A
B
C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
22n n S λ+=+，则λ的值是( )
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸
B ．二尺五寸
C ．三尺五寸
D ．四尺五寸
4．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）
A ．2
B ．-2
C ．
12
D ．12
-
5．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
6．关于x 的不等式()2
10x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是
（ ）
A ．[)(]3,24,5--⋃
B ．()()3,24,5--⋃
C ．(]4,5
D ．（4,5）
7．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、
C 两地的距离为 （ ） A ．10 km
B
km
C
．
D
． 8．已知正数x 、y 满足1x y +=，则14
1x y
++的最小值为（ ）
A ．2
B ．
92
C ．
143
D ．5
9．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则
k ＝( ) A ．－16
B ．－6
C ．-83
D ．6
10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134
B ．135
C ．136
D ．137
11．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1a
b c
<
B ．
c a c
b a b
->- C ．11a a c b --<
D ．log log c b a a <
12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，
3b c =，则
c
a
的值为（ ） A ．1
B ．
33
C ．
55
D ．
77
二、填空题
13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2
7
4sin
cos 222
A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为 ．
14．已知
的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
15．设数列{a n }的首项a 1＝
3
2
，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177
n n S S <<的所有n 的和为________． 16．对一切实数x ，不等式2
||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 17．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足(
)2
21n n a S n *
-=∈N
．若
不等式
()
()
1
1
181n
n n n a n
λ++-+⋅-≤
对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．
18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？
19．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．
20．数列{}n b 中，121,5b b ==且*
21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.
三、解答题
21．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2
）若2,b c ==，求ABC ∆的面积.
22．设数列{}n a 满足113,23n
n n a a a +=-=⋅．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
23．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*
111,2,n n a S na n N +==∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若1
12019
n T +<，求正整数n 的
最小值．
24．在等比数列{}n a 中,(
)*
10a n N >∈,且3
28a
a -=,又15,a a 的等比中项为16.
（1）求数列{}n a 的通项公式:
（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得
1231111
n
k S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.
25．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(
)*
n S n N
∈，{}n
b 是首项为2的等比数列，且公
比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.
26．已知函数()f x a b =⋅v v
，其中
()
()2cos 2,cos ,1,a x x b x x R ==∈v v
． （1）求函数()y f x =的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(
),,,2,a b c f A a ==2b c =，求
ABC ∆的面积．
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一、选择题 1．D 解析：D
【解析】 【分析】 【详解】
111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角
形，由
，得21
2121
2
{2
2
A A
B B
C C πππ=
-=
-=
-，那么，2222
A B C π
++=，矛
盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】
根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142
a λ
+∴=
, 故当2n ≥时，1
12n n n n a S S --=-=,
Q 数列{}n a 是等比数列,
则11a =，故412
λ
+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】
本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，
n S 是其前n 项和，则()19959985.52
a a S a +=
==尺，
所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

故选:B . 【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
把已知2
214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，
【详解】
因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即2
11111(21)(46).2
a a a a -=-=-，
故选D. 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得
1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

【详解】
关于x 的不等式()2
10x a x a -++<，
∴不等式可变形为(1)()0x x a --<，
当1a >时，得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45a <≤； 当1a <时，得1<<a x ，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则32a -≤<- 故a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃，选：A 。

【点睛】
本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对a 和1的大小进行分类讨论。

其次在观察a 的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B 选项。

7．D
解析：D 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】
因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫
⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
700．
所以AC ＝km ． 故选D ．
【点睛】
本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y
++相乘，利用基本不等式可求出
141x y
++的最小值． 【详解】
1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，
则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++
=+++=++=+++…， 所以，
149
12
x y ++…， 当且仅当4111
x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当23
13x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，等号成立，
因此，
141x y ++的最小值为92
， 故选B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－
13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，
因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】
因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由
15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.
【点睛】
本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】
对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1a
b c ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故错误 对于B ，若c a c
b a b
->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误
对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】
本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．
12．D
解析：D
【解析】
分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =化简得cosA =，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.
详解：由正弦定理，sin2sin 0b A B +=，可得sin2sin 0sinB A B +=，
即2sin sin 0sinB AcosA B = 由于：0sinBsinA ≠，
所以cosA =：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6
=
．
又b =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=.
即227a c =，所以7
c a =
. 故选：D ．
点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
二、填空题
13．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理
解析：6 【解析】 试题分析：2
74sin
cos 222A B C +-=Q ，27
4sin cos 222
C C π-∴-=，2
74cos cos 222C C ∴-=，()7
2cos 1cos 22
C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()2
2cos 11C -=，解得1
cos 2
C =． 所以在ABC ∆中60C =o ．
2222cos c a b ab C =+-Q ，()2
222cos60c a b ab ab ∴=+--o
，
()2
2
3c
a b ab ∴=+-，(
)2
2
257
633
a b c ab +--∴==
=．
考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．
14．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题
解析：
3
【解析】 【分析】 利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果. 【详解】
925491cos ,sin 3022
C C +-==-=
，由正弦定理得2sin c R R C ===. 【点睛】
本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.
15．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1
解析：7 【解析】
由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝
a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝3
4，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1
＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝311221
12
n
⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12
)2n ]
代入1817<
2n n S S <8
7，可得117<(12
)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 16．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两 解析：[－2，+∞）
【解析】 【分析】
根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原
式可变形为a≥-（|x|+ 1
x
），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案. 【详解】
根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式
可化为a|x|≥-（x 2
+1），即a≥-（|x|+ 1
x
）,
又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1
x
）≤-2；
要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可； 综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）； 故答案为[-2，+∞）． 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．
17．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题
解析：77,153⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：由题意，则， 当为偶数时由不等式
()
()
1
1
181n
n n n a n
λ++-+⋅-≤
得
821
n n n λ
-≤
+，即(8)(21)
n n n
λ-+≤， (8)(21)8
215n n y n n n
-+=
=--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤-
当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤
=++，函数8
217y n n
=++，
当3n =时取得最小值为
773
，即77,3λ-≤所以77
3λ≥-，综上， 的取值范围是77,153⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
． 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．
18．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)
解析：9
【解析】
解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭
， 故：11
187
1222
n n n c a b n =+=+ ， 满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，
由等差数列前n 项和公式可得：1111187121871222222250
2
n n ⎛
⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ， 解得：9n = .
即二马相逢，需9日相逢 点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：
①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．
19．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：63n a n =-
【解析】 【分析】
先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等
差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
20．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题
解析：-4 【解析】 【分析】
根据已知可得6n n b b +=，即可求解. 【详解】
121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈， 321211n n n n n n n n b b b b b b b b ++++++=-==-=--， 63,20166336n n n b b b ++=-==⨯， 201663214b b b b b ∴==-=-+=-.
故答案为:-4 【点睛】
本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题.
三、解答题
21．(1) 120.C =o
（2
【解析】
试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1
cos 2
C =-
，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.
试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=Q ，由正弦定理可得
()()2020,20
cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即
又10180,sin 0,cos ,120.2
B B
C C <<∴≠∴=-=o
o
o 即
（2）由余弦定理可得(2
222222cos12024a a a a =+-⨯=++o
又1
0,2,sin 2
ABC a a S ab C ∆>=∴=
= ABC ∴∆ 22．（Ⅰ）3n
n a =；（Ⅱ）()1121334
n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L ，结合题意和等比数列前n 项和公式确定数列的通项公式即可；
（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结果可知3n
n b n =⋅，利用错位相减求和的方法求解其前n 项和即可.
【详解】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，
()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L
12323233n n L -=⨯+⨯++⨯+
()
1233311n n -=⋅+++++L (
)11
231
12
n +⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦
13n +=
∵13a =，即关系式也成立，
∴数列{}n a 的通项公式3n
n a =. （Ⅱ）由3n
n n b na n ==⋅，
得231323333n
n S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，
而()2
3
4
1
3132333133
n
n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，
两式相减，可得
()
231233333n n n S n +-=++++-⋅L ()
111133322n n S n ++⎡⎤=---⋅⎢⎥⎣⎦
∴()1121334
n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. 【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 23．（1）n a n =；（2）2019． 【解析】 【分析】
（1）由已知递推关系式和1n n n a S S -=-可推出
11n n a a n n +=+，则{}n a
n
为常数列，继而可算
出n a ；
（2）先把n b 表示出来，用裂项相消法求n T ，然后代入不等式可求出n ． 【详解】
（1）因为12n n S na +=……①， 所以12(1)n n S n a -=-……②，
②-①得：12(1),2n n n a na n a n +=--≥， 所以
11n n a a n n +=+，则n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为常数列， 又2
2122,12
n a a a S n ==∴
==， (2)n a n n ∴=≥，
当1n =时也满足，所以n a n =. （2）2112111(1)
(1)(1)(1)1n
n n n n n n a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭
， 当n 为偶数时，111111
112233411n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 当n 为奇数时，1111111212233411n n T n n n +⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+
++-++⋯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 综上，1
,1
11,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，
则1111201912019
n T n n +=<⇒+>+， 2018,n n ∴>的最小值为2019．
【点睛】
此题考查数列临差法求数列通项公式、并项求和法，考查方程思想和分类讨论思想，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求和时注意对n 分奇偶讨论．
24．（1）1
2n n a +=（2）3.
【解析】 试题分析：
（1）由题意可得316a =，又328a a -=，故28a =，由此可得等比数列的公比2q =，
因此可得1
2n n a +=．（2）由（1）得1
2n n b +=
，所以()34
n n n S +=，从而()14411333n S n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
，求和可得
123111141111141122113231233239
n S S S S n n n L ⎛⎫⎛⎫++++=⨯++---<⨯++= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，所以可得22
9
k ≥，故存在满足题意得k ，且k 的最小值为3． 试题解析：
（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵15a a ，的等比中项为16． ∴316a =， 又328a a -=，
28a ∴=，
∴3
2
2a q a =
=， ∴2
182
2n n n a -+=⨯==． （2）由（1）得1
41
log 2
2
n n n b ++==
， ∴数列{}n b 为等差数列，且11b =．
∴()113224
n n n n n S +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==
， ∴()14411333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， ∴123111141111111131425363n S S S S n n ⎛⎫++++=⨯-+-+-++- ⎪+⎝⎭L L 4111111323123n n n ⎛⎫=⨯++--- ⎪+++⎝⎭ 4112213239
⎛⎫<
⨯++= ⎪⎝⎭， ∴229
k ≥
， ∴存在满足题意得k ，且k 的最小值为3． 点睛：用裂项法求和的原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，消项后的剩余部分具有对称性．
25．（1）32n a n =-，2n
n b =，*
n N ∈；（2）()14328
3
n n +-+，*n N ∈.
【分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式； （2）用错位相减法求和． 【详解】
（1）数列{}n b 公比为q ，则2
232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q =，
∴2n
n b =，
{}n a 的公差为d ，首项是1a ，
则41328a a b ==-，4
11411112176S b ==⨯=，
∴111328
1110
111762a d a a d +-=⎧⎪
⎨⨯+⨯=⎪⎩
，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．
（2）21
221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，
352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，①
23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②
①－②得：3521
2138626262
(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯L 1218(14)
86(62)214n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，
∴14(32)83
n n n T +-+=．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．
26．（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢
⎥⎣⎦；（2
. 【解析】 【分析】
（1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简()f x 为
()sin A x B ωϕ++的形式，将x ωϕ+代入ππ2π,2π22k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦中，解出x 的范围，由此
求得函数的单调区间.（2）利用()2f A =求得角A 的大小，利用余弦定理和2b c =列方程组，解方程组求得2c 的值，由此求得三角形的面积.
（1）=，
令
πππ
2π22π,
262
k x k
-≤+≤+解得，k∈Z，
函数y=f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．
（2）∵f（A）=2，∴，即，
又∵0＜A＜π，∴，
∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7，①
b=2c，②，
由①②得，
∴．
【点睛】
本小题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查利用余弦定理解三角形.属于中档题.。