2020届福建省仙游第一中学高三10月月考数学(理)试题

仙游一中2020届高三上学期十月月考
高三年数学（理科）试卷
满分150分，答卷时间2小时. 2019.10
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合A ={x |x 2+x -2≤0},B ={y |y =2x ,x ∈R},则A ∩B 等于( ) A. (0,1] B. [1,+∞) C. (0,2] D. ∅
2．若点(sin 5π6，cos 5π
6)在角α的终边上，则sin α的值为( )
A ．-2
3 B ．-21 C.21
D.23
3．5．下列命题中，真命题是( )
A ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0
B ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin β
C ．∃x 0∈R ，x 2
0－x 0＋1＝0 D ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos β
4. 函数f (x )＝x 2sin x 的图象可能为( )
5. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22
a b -=，
且sin C B =，则A 等于（ ）
A ．
6π B ．4π C ．3
π
D ．23π
6.由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )．
A.32
9 B ．2－ln 3 C ．4＋ln 3 D ．4－ln 3
7．函数f （x ）＝sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0，｜ϕ｜＜2
π）的最小正周期为π，其图象向左平移
6
π
个单位后关于原点对称，则函数f （x ）在[0，
2
π
]上的最小值为（ ）
A ．－12
B ．－
C ．1
2
D
8. 设函数f ′(x )是定义在(0，π)上的函数f (x )的导函数，有f ′(x )cos x －f (x )sin x >0，若a ＝12⎪⎭
⎫
⎝⎛3πf ，
b ＝0，
c ＝－32
⎪⎭
⎫
⎝⎛6
5πf ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.b <c <a C.c <b <a D.c <a <b
9.设min{m ，n }表示m ，n 二者中较小的一个，已知函数f (x )＝x 2＋8x ＋14，
()()04log ,21min 22
>⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x x x g x 。

若∀x 1∈[－5，a ](a ≥－4)，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)
成立，则a 的最大值为( )
A.－4
B.－3
C.－2
D.0
10.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的最小正周期为π
2
B.直线x ＝－π
12是函数f (x )图象的一条对称轴 C.函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－5π12，π6上单调递增
D.将函数f (x )的图象向左平移π
3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin 2x 11.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移
6
π
个单位得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上均为单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D. 3,48ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦ 12.对于函数()f x ，若,,a b c R ∀∈，()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可
构造三角形函数”，已知函数()1
x x e t
f x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是
（ ）
A ．[)0,+∞
B ．[]0,1
C ．[]1,2
D ．1
[,2]2
二、填空题(每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13. 设a =cos420°，函数(),0,log 0,⎩⎨⎧>≤=x x x a x f a x ，
则)61
(log )41(2f f +的值等于 。

14. 已知()21tan =+απ，
则()ααα2cos cos sin 2
-等于 ;
15. 函数
[]π,0,sin 22cos )(∈+=x x x x f ，
的递增区间是 。

16．若存在两个正实数y x ,，使得等式0)ln )(ln 2(=--+x y ex y a x 成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为 。

三、解答题(共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且
.3sin 3cos 3a C b C b =⋅+⋅
（1）求∠B 的大小；
（2）若a =2，AC 边上的垂直平分线交边AB 于点D 且△DBC 的面积为23
，
求边c 的值．
18．（本题满分12分）如图，已知四棱锥E ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝EC ＝2
，
．
（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD ． （2）求二面角A ﹣EC ﹣D 的余弦值．
19．（本题满分12分）已知椭圆)3(13
2
22>=+
a y a x 的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F （c ，0），点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，过点B 作椭圆C 的切线l ，直线AP 与直线l 的交点为D ，且当c BD 22=时，DF AF =. （1）求椭圆C 的方程；
（2）当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并证明你的结论．
20.（本题满分12分）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车
辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年10月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：
月份 2018.5 2018.6 2018.7 2018.8 2018.9 月份编号t 1 2 3 4 5 竞拍人数y(万人)
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：y bt a =+，并预测2018年10月份参与竞拍的人数；
（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年10月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表： 报价区间（万元）
[1,2） [2,3） [3,4） [4,5） [5,6） [6,7] 频数
20
60
60
30
20
10
（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均值x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及2s 估值．若2018年10月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．
参考公式及数据：①回归方程y bx a =+，其中1
2
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-；
②5
21
55i i t ==∑，5
1
18.8i i i t y ==∑ 1.3≈；
③若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．
21．（本题满分12分）已知函数()()ln 1ax
f x x x a
=+-+，a 是常数，且1a ≥． （1）讨论()f x 零点的个数； （2）证明：
213ln 1,2131
n N n n n *⎛⎫
<+<∈ ⎪++⎝⎭．
选做题：请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.
22. (本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos φ，
y ＝sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；
(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π
3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
仙游一中2020届高三上学期十月月考
数学理科答案解析
一、 选择题：AADCAD BACDCD 二、填空题
13. 8; 14. 31; 15.⎪
⎭
⎫ ⎝⎛6
5,
2),6,0(πππ; 16.⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞-∞,1)0,(e . 三、解答题
17解：（1）∵，…
∴
，…
∴3sinBcosC+sinBsinC=3sinBcosC+3sinCcosB ，
∴，∵sinC≠0．
∴，即
，∴
． …
（2）由，∴BD=1，…
∴在△DBC 中，，…
∴，∴
．
18解：（1）证明：取AB 的中点O ，连接EO ，CO ，，△AEB 为等腰直角三角形，
∴EO ⊥AB ，EO ＝1
又∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．
∴
，EC ＝2，∴EC 2＝EO 2+CO 2
∴EO ⊥CO
∵EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面EAB ， ∴平面EAB ⊥平面ABCD ．
（2）解：以AB 的中点O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴，如图建系 则A （0，﹣1，0），
，
，E （0，0，1），
，
，
设平面DCE 的法向量为，则，即，
解得：，∴
同理求得平面EAC
的一个法向量为，
所以二面角A ﹣EC ﹣D
的余弦值为．
19.解：（1）依题可知(,0)A a -
、
(
)D a ，…………1分
由||||AF FD =，得，
a c +=………2分
化简得2a c =，由22
3a c =+ 得 24a =……………3分
故所求椭圆C 的方程是22
143x y +=.………………………4分
（2）由（Ⅰ）知
()()
2,0,2,0A B -,
在点B 处的切线方程为2x =. 以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………5分 证明如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠. 则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ． ………………6分
由22
(2),14
3y k x x y
=+⎧⎪⎨+=⎪
⎩得:()
0121616432
222=-+++k x k x k ． 设点P 的坐标为00(,)x y ，则202
1612234k x k --=+． ……………8分
所以2026834k x k -=+，00
2
12(2)34k
y k x k =+=+． 因为点F 坐标为(1, 0)， （1）当12k =±
时，点P 的坐标为3
(1, )2
±，直线PF 的方程 为1x =， 点D 的坐标为(2, 2)±.此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切,…9分 （2）当12k ≠±
时，直线PF 的斜率0204114PF y k k x k
==--. 所以直线PF 的方程为2
4(1)14k
y x k =
--,即
21410
4k x y k ---=． …10分 故点E 到直线PF
的距离22
1414|221|
|2|k k k d k -+-⨯-==
综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．…………12分
①1a =时，()()
2
1x
f x x '=
+，若()()()()1,0,0,00
x f x f x f '∈-<>=
若()()()()0,,0,00x f x f x f '∈+∞>>=，()f x 有一个零点． ②12a <<时，2
120a a -<-<，
由上表可知，()f x 在区间()
22,a a -+∞有一个零点0x =．()
()2200f a a f ->=，
又2211ax a a a
a a x a x a a a -=-≤-=++--，任取11,1a
a t e -⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
， ()011
a a
f t a a <
+=--，()f x 在区间()2,2t a a -有一个零点，从而()f x 有两个零点． ③2a =时，()()()
2
2
012x f x x x '=
>++，()f x 在()1,-+∞上单调递增，有一个零点0x =．
④2a >时，2
20a a ->，
由上表可知，()f x 在区间()
21,2a a --有一个零点0x =，在区间()
22,a a -+∞有一个零点， 从而()f x 有两个零点．
22. 【解析】(1)圆C 的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，
又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1
＝1，θ1＝π3.
设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（sin θ2＋3cos θ2）＝33，θ2＝π
3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2
＝3，θ2＝π3. 由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2，所以线段PQ 的长为2. 23．【解析】(1)原不等式等价于
⎩⎪⎨⎪⎧x >32，（2x ＋1）＋（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，
（2x ＋1）－（2x －3）≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－（2x ＋1）－（2x －3）≤6， 解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.
∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．
(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4， ∴|a －1|>4，∴a <－3或a >5，
∴实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．。