浅谈初中数学图形与几何

浅谈初中数学图形与几何
新的课程标准有三条主线分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标。

首先是图形的性质这条主线基本上涵盖了原来图形的认识和图形与证明的内容，除了对一些基本图形的认识之外，还包含着对图形一些命题的证明，同时还发展了学生的空间观念和推理能力。

第二条主线是图形的变化，它的内容就比较丰富了，这里面包含了合同变换——图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转，以及图形的相似（包括位似），由于和相似关系密切，因此直角三角形的边角关系也包含其中，还有一类变换是仿射变换，在标准中呈现的标题就是投影。

这部分主要研究图形之间的关系，特别是从运动的观点和变化的角度来研究图形，这个方法本身也是十分重要的。

第三条主线叫做图形与坐标，它包含坐标与图形的位置，还有坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等。

在把握图形与几何这部分内容的时候，一定要有一个整体的观点。

因为一些老师容易有这样的倾向：好像几何更多的是演绎推理和证明，其他内容像附属品，花一点点时间学习学习就够了。

其实我们要看到，即使在证明这个方面，我们也希望能够把合情推理和演绎推理结合起来，注意标准中用“探索并证明……”，而不是仅仅去证明，尤其我们一直在提倡空间观念的培养、几何直观能力的发展，还有推理能力，都是我们几何学习中非常重要的。

希望老师能够整体认识和把握“图形与几何”的教育价值，这样才能使我们在对几何内容进行教学设计的时候，实现预期的目标。

二、图形的性质内容与教学分析
我们所研究的这些图形可以从不同的角度进行分类，比如说把它们分成直线形、曲线形。

从维度上，有一维图形，重点是二维图形，当然还有简单的三维图形。

从图形的复杂程度上，有基本图形与组合图形。

具体来讲，这一部分由七个小的标题组成，前五个标题，详细地介绍了我们在初中阶段所要掌握的一些基本图形，比如说第一部分是点、线、面，介绍了构成几何图形的基本元素，第二部分是相交线与平行线，对相交与平行这两种平面直线位置关系的概念、定义、性质和判别做了介绍。

接下来一部分是三角形，这部分内容里面涉及到三角形边角的基本性质、三角形全等的性质和判定、以及特殊的三角形（等腰三角形和直角三角形）的性质。

第四部分是四边形，重点介绍了平行四边形，以及特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形的判别和性质。

第五部分是圆，重点介绍了圆的中心对称性和轴对称性，以及由此引出的与圆有关的性质。

当然这里面还有圆与其他图形（圆与直线，圆与四边形，圆与多边形）的关系。

在六、七这两部分内容中，作为几何学习的一个有机组成部分，分别谈到了尺规作图和定义、公理、证明的相关知识。

对于尺规作图，除了这是一种作图方
法，更多的是运用了图形判定的一些办法，实际上是对图形判定的一个具体应用。

另外，只有明确了定义，公理、定理和证明的意义，我们才能够更好地对图形的性质进行探索和证明。

前面我们说到几何课要认识图形，现在我们考虑认识这样一些图形，以及认识什么。

对于一个图形，一方面，我们要研究它的各个组成元素的性质。

比如三角形的内角和等于 180 度，这是三角形三个角的关系，以及三角形两边之和大于第三边，这是三角形三条边的关系。

再如平行四边形的对边、对角、以及角平分线等相关结论，都是围绕图形自身的属性来展开的。

另一方面，我们还要研究两个图形（多个图形）之间的关系，如全等、相似，还有图形之间所具有的旋转，平移关系，实际上这些东西都可以归结为一种关系。

刚才章巍老师谈到几何证明的出发点，最典型的如两个图形全等的条件，这些恰恰就是我们研究其他图形的出发点，叫基本事实（公理）。

所以，大家可以看到我们认识图形的什么了。

大概有这么两类，一个图形的要素之间的关系，还有不同图形之间的关系，这些关系更多的都是用命题的形式来呈现，有一些是定理，有些我们作为这些定理证明的基础的基本事实。

因为图形的性质在我们教学当中占得比重比较大，所以老师对这部分内容的处理是不是能够很好地去按照标准的要求去做，对学生的“图形与几何”这部分内容的学习还是关系很重大的。

在研究图形的性质的过程当中，一个是研究的性质有哪些我们要明确，第二个研究它的手段和途径我们希望老师们也能够按照标准这样的要求做一个很好的设计。

在一节课当中，使过程性目标和结果性目标对接，其实这里面我觉得大有文章可做。

我们也很欣喜地看到，新课程实施后，老师们做得很好，通过我们对新课程标准修订稿进一步学习，老师们能够把这方面做得更好，真正能够发展学生的推理能力、空间观念和几何直观，另外对学生的情感态度、数学思想、数学活动经验等等方面都能有一个很好的触及。

三、图形的变化内容与教学分析
轴对称、旋转、平移，统称为合同变换，因为它们的共同特征是保持图形的大小不变。

在学习合同变换时，应主要把它作为认识图形的一种工具和途径，比如说等腰三角形具有轴对称性，我们发现它的底角能够重合在一起是相等的，这成为我们认识图形基本性质的方法。

另外，因为在生活中，轴对称的现象、旋转的现象、平移的现象都很常见，所以也是我们从数学的角度来认识现实世界的一个工具。

我们前面谈到的数学思考，实际上就是学会用数学的观点来认识现实世界，以前可能我们看一个图形或图案的时候，仅仅说这个很好看、很美，但现在我们看出这个图案是轴对称的，或这个图案之间具有旋转的关系等等。

审视的眼光不一样了，就会帮助我们进一步去创造，利用这些方法设计一些图案。

另外我们现在内容里面的三视图，它和机械制图是不一样的，老师们不要以画机械制图的要求来要求学生，其目的是体会二维图形与三维图形之间的转换，这是非常重要的一个途径，这里侧重于能够从不同的方向去观察一个立体图形，利用投影画出来，而不是把重点放在怎么精确上，包括位置上的对齐等等，在处理这部分内容时，应该把握住这个度。

四、图形与坐标内容与教学分析
实际上坐标系的本源在几何图形上，在研究函数的时候，只是借用这样一个二维平面，利用表示几何图形当中点的位置的方法来产生函数的图像。

进一步我们说在图形与坐标里面到底借助坐标系做一些什么、在第三学段我们可以做哪些事情。

从标准来讲，首先是熟悉坐标系最基本的要素，比如坐标轴、单位，原点等等，然后要让学生了解用一个数对可以刻画点的位置，进一步刻画图形的位置，一个图形的关键点的位置确定了，这个图形的位置就确定了。

当然这时候都是静止的，在学习了图形的运动后，就进一步研究坐标的变化和图形的变化之间的联系。

这一点，前面史老师曾经谈过，标准的修改稿和原来实验稿有一些变化，提高了要求，比如要让学生知道，沿着坐标轴的方向平移一个图形，它的坐标变化和图形变化的联系。

还有轴对称等等。

当然我们也不能做太复杂的东西，其宗旨就是希望学生通过这部分的学习，能够体会用坐标系刻画点的位置，点的位置和变化和图形的运动变化之间的规律，仅此而已，没有解析几何这样的要求。

比如按照标准，轴对称就是研究以坐标轴为对称轴的情况。

另外，要求在坐标系里研究图形的平移，而不要求去探究图形的旋转。

再就是位似，我们只研究直线形（多边形），并且多边形还要有一条边放在坐标轴上，位似中心是坐标原点。

所以，也希望老师们能够再好好研读一下标准上的要求，在教学当中把握住这个要求的度。

通过对坐标变换与图形变换的研究，真正想留在孩子们脑海里的是，在坐标系的影响下，图形的任何一个点滴的变化，都能反映到它的坐标上去，当然这些变化都是有规律的，但我们不能也没必要穷尽这些规律，能体会到这种量的变化规律，与形的变化规律是一一对应的，那就够了。

还有一点，在这部分教学里，值得注意的还有过程性目标的实现，包括要让学生体会到数学和现实的联系，所以在这里还是要坚持给学生空间，要让学生有机会去观察，去发现，去提出猜测，最后再加以验证，这样一个过程，这正是前面我们一直在谈到的。