示范教案一1.7.2 平方差公式(二)

第十二课时
●课题
§1.7.2 平方差公式(二)
●教学目标
(一)教学知识点
1.了解平方差公式的几何背景.
2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.
3.体会符号运算对证明猜想的作用.
(二)能力训练要求
1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.
2.培养学生观察、归纳、概括等能力.
(三)情感与价值观要求
1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.
2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.
●教学重点
平方差公式的几何解释和广泛的应用.
●教学难点
准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.
●教学方法
启发——探究相结合
●教具准备
一块大正方形纸板，剪刀.
投影片四张
第一张：想一想，记作(§1.7.2 A)
第二张：例3，记作(§1.7.2 B)
第三张：例4，记作(§1.7.2 C)
第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.
这个正方形的面积是多少？
［生］a2.
［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？
图1－23
［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).
［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.
(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)
［生］老师，我们拼出来啦.
［师］讲给大伙听一听.
［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和
宽分别为(a +b ),(a －b ),面积为(a +b )(a －b ).
图1－24
［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？
［生］这两部分面积应该是相等的，即(a +b )(a －b )=a 2－b 2.
［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.
［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.
［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.
［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.
Ⅱ.讲授新课
［师］出示投影片(§1.7.2 A)
想一想：
(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点
⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
［生］(1)中算式算出来的结果如下
⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩
⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？
［生］我猜想是.我又找了几个例子如：
⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩
⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？
［生］设这个自然数为a ,与它相邻的两个自然数为a －1,a +1,则有(a +1)(a －1)=a 2－1. ［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.
［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？
(同学们惊讶，然后讨论)
［生］a 可以代表任意一个数.
［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.
［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？
(陷入沉思)
［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.
［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.
我们不妨再做几个类似的练习.
出示投影片(§1.7.2 B)
［例3］用平方差公式计算：
(1)103×97 (2)118×122
［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙. ［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！
［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.
118=120－2,122=120+2
118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.
［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.
［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).
［例4］计算：
(1)a 2(a +b )(a －b )+a 2b 2;
(2)(2x －5)(2x +5)－2x (2x －3).
分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.
解：(1)a 2(a +b )(a －b )+a 2b 2
=a 2(a 2－b 2)+a 2b 2
=a 4－a 2b 2+a 2b 2
=a 4
(2)(2x －5)(2x +5)－2x (2x －3)
=(2x )2－52－(4x 2－6x )
=4x 2－25－4x 2+6x
=6x －25
注意：在(2)小题中，2x 与2x －3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体. ［例5］公式的逆用
(1)(x +y )2－(x －y )2 (2)252－242
分析：逆用平方差公式可以使运算简便.
解：(1)(x +y )2－(x －y )2
=［(x +y )+(x －y )］［(x +y )－(x －y )］
=2x ·2y
=4xy
(2)252－242
=(25+24)(25－24)
=49
Ⅲ.随堂练习
1.(课本P 32)计算
(1)704×696
(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)
(3)x (x －1)－(x －31)(x +3
1)
(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)
解：(1)704×696=(700+4)(700－4)
=490000－16=489984
(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)
=(x 2－4y 2)+(x 2－1)
=x 2－4y 2+x 2－1
=2x 2－4y 2－1
(3)x (x －1)－(x －31)(x +31)
=(x 2－x )－［x 2－(31)2］
=x 2－x －x 2+91
=
9
1－x
2.(补充练习)
出示投影片(§1.7.2 D)
解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)
(先由学生试着完成)
解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)
=(7x+1)(x－1)
(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1
4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1
6x=12
x=2
Ⅳ.课时小结
［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.
［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.
［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.
［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.
……
Ⅴ.课后作业
课本P32、习题1.12.
Ⅵ.活动与探究
计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.
［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.
［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)
=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)
=1990+1989+1988+1987+…+2+1
=
2)1
1990
(
1990+
⨯
=1981045
●板书设计
§1.7.2 平方差公式(二)
一、平方差公式的几何解释：
二、想一想
特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a－1)=a2－1
三、例题讲解：例3 例4
四、练习
●备课资料
参考练习
1.选择题
(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )
A.(－a－b)(a－b)
B.(c2－d2)(d2+c2)
C.(x3－y3)(x3+y3)
D.(m－n)(－m+n)
(2)用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是( )
A.x 4－1
B.x 4+1
C.(x －1)4
D.(x +1)4
(3)下列各式中，结果是a 2－36b 2的是( )
A.(－6b +a )(－6b －a )
B.(－6b +a )(6b －a )
C.(a +4b )(a －4b )
D.(－6b －a )(6b －a )
2.填空题
(4)(5x +3y )·( )=25x 2－9y 2
(5)(－0.2x －0.4y )( )=0.16y 2－0.04x 2
(6)(－23
x －11y )( )=－49x 2+121y 2 (7)若(－7m +A )(4n +B )=16n 2－49m 2,则A = ，B = .
3.计算
(8)(2x 2+3y )(3y －2x 2).
(9)(p －5)(p －2)(p +2)(p +5).
(10)(x 2y +4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3).
4.求值
(11)(2003年上海市中考题)已知x 2－2x =2,将下式先化简，再求值 (x －1)2+(x +3)(x －3)+(x －3)(x －1)
5.探索规律
(12)(2003年北京市中考)观察下列顺序排列的等式：
9×0+1=1
9×1+2=11
9×2+3=21
9×3+4=31
9×4+5=41
……
猜想：第n 个等式(n 为正整数)应为 .
答案：1.(1)D (2)A (3)D
2.(4)(5x －3y ) (5)(0.2x －0.4y ) (6)(2
3x －11y ) (7)A =4n ,B =7m
3.(8)9y 2－4x 4 (9)p 4－29p 2+100
(10)x 2y －10
4.(11)原式=3(x 2－2x )－5=3×2－5=1
5.(12)9×(n －1)+n =(n －1)×10+1(n 为正整数).。