高数第十章曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1。
两类曲线积分的计算方法；2。
格林公式及其应用；3。
第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
《高等数学》第十章 曲线积分与曲面积分
x2
dS y2
z2
2
Dxz
(1
1 z2)
1
x2
dxdz
4
D1 (1
1 z2)
1
x2
dxdz
4
lim
a1
D1
(1
z
2
1 )
1
x2
dxdz
4
lim
a1
01dz
a
0
(1
1 z2)
1
x2
dx
lim arcsina
a1
2
2
.
z
1
y
例3 计算 zxdydz xydzdx yzdxdy,
z
1
其中 是圆柱面 x2 y2 1 o
在第一卦限中 0 z 1 的部分的前侧. x 1
y
1
例1
计算
x2
dS y2
z2
,
其中 是界于平面 z = 0 及
z = 1 之间的圆柱面 x2 y2 1.
1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 ,
dS
1
(
y1 x
)2
(
y1 z
)2
dxdz
1 dxdz. 1 x2
1
x2
dS y2
z2
Dxz
1 1 z2
1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 , 将曲面 右 向 xoz 面投影，得
高等数学第10章 曲线积分与曲面积分
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
高等数学II第十章 曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程若()():x x tL a t b y y t =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩，则()()()(,,b L af x y ds f x t y t=⎰⎰ 若()()():x x t L y y t a t b z zt =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，则()()()()(,,,,b Laf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰ 注意：上限一定要大于下限计算下列对弧长的曲线积分（1）ds yx L ⎰+222)(，其中L 为圆周222a y x =+； 解：法一：222()Lx yds +=⎰ 22()Lads ⎰4La ds =⎰45(2)2a a a ππ== 法二：cos:02sin x a L y a θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩，222()Lx y ds +⎰ ()()222[cos sin ]a a πθθθ=+⎰25502a d a πθπ==⎰（2）ds eLy x ⎰+22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；解：()L OAABBO=++⎰⎰⎰⎰ ，其中:,00x x OA x a y =⎧≤≤⎨=⎩， cos :,0sin 4x a AB y a θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩，:0x x BO x y x =⎧≤⎨=⎩aoA=⎰⎰01ax a e dx e ==-⎰a ABABe ds =⎰⎰ 4aa ABaee ds π==⎰（或AB⎰4πθ=⎰404aaae e ad ππθ==⎰）BO=⎰1ae ==- 故(2)24a Le a π=+-⎰（3）⎰L xds ，其中L 为抛物线122-=x y 上介于0=x 与1=x 之间的一段弧；解：由2:0121x x L x y x =⎧≤≤⎨=-⎩，得10L xds =⎰⎰32122(116)332x +==（4）⎰L ds y 2，其中L 为摆线的一拱)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x ； 解：[]22(1cos )Ly ds a t π=-⎰⎰5232(1cos )t dt π=-⎰52322(2sin)2tdtπ=⎰2358sin2ta dtπ=⎰令2tθ=）3516sina dπθθ=⎰353324225632sin325315a d a aπθθ==⨯⨯=⎰（5）dsxyL⎰，其中L为圆周222ayx=+；解：利用对称性14L Lxy ds xy ds=⎰⎰，其中1cos:0sin2x aLy aθπθθ=⎧≤≤⎨=⎩1144L L Lxy ds xy ds xyds==⎰⎰⎰204(cos)(sina aπθθθ=⎰3323224cos sin2sin2a d a aππθθθθ===⎰（6）dszyx⎰Γ++1，其中Γ为曲线tex t cos=，tey t sin=，t ez=上相应于t从0变到2的弧段；解：2221dsx y zΓ++⎰=⎰22)te dt e--==-⎰（7）dsy⎰Γ，其中Γ为空间圆周：⎪⎩⎪⎨⎧==++Γxyzyx2:222.解：由2222x y zy x⎧++=⎨=⎩，得2222x z+=，令cos02xzθθπθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩故cos:cos02xyzθθθπθ⎧=⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩。
第十章 曲线积分与曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分10.1 对弧长的曲线积分一、求曲线cos,sin,t t tx e t y e t z e===从0t=到任意点间的那段弧的质量，设它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为1。
1)te-）二、计算下列曲线积分：1. L⎰，其中L为旋轮线：(sin)(1cos)x a t ty a t=-⎧⎨=-⎩（0tπ≤≤2）。
（324aπ）2.()Lx y ds+⎰，其中L是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)O A B的三角形边界。
（13. L⎰，其中L是由极坐标曲线,0,r aπθθ===4所围成的区域的边界曲线。
（2(1)a ae aeπ-+4）4.()Lx y z ds++⎰，其中L由直线AB：(1,1,0),(1,0,0)A B及螺线cos,sin,(02)x t y t z t tπ===≤≤组成。
（322+）三、计算L⎰，其中L是由,0y x y y===所围成的第一象限部分的边界。
（2sin cosR R Rπ+4）四、计算L，其中L是圆：2222x y z ax y⎧++=⎨=⎩。
（2aπ2）五、 计算Lxds⎰Ñ，其中L 由直线0,x y x ==及曲线22y x -=所围成的第一象限部分的整个边界。
（+） 10.2 对坐标的曲线积分一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离成正比，比例系数为k 。
若质点从点(0,)a 沿椭圆22221x y a b +=在第一象限部分移动到点(0,)b ，求弹力所做的功。
（221()2k a b -）二、计算曲线积分22(2)(2)Lx xy dx y xy dy ++-⎰，其中L 是抛物线2(11)y x x =-≤≤沿x增加的方向。
（1415-） 三、 计算2y Lxe dy+⎰，其中L是曲线y =从点(0,0)O 到点(1,1)的一段弧。
（2322）四、 计算2222()()Lx y dx x y dy ++-⎰，其中L 是曲线11y x =--从点(0,0)到点(2,0)的一段。
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是微积分中重要的概念和计算方法，它们在物理、工程和其他科学领域中的应用广泛。
本文将重点介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法和应用。
一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算的方法。
它可以用来计算曲线上的物理量或者曲线周围的环量。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分也叫标量场的曲线积分，是对曲线上函数的积分。
设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，函数f(x, y, z)在曲线C上有定义，则第一类曲线积分的计算公式为：∫[C]f(x, y, z)ds = ∫[a,b]f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|dt其中ds表示曲线上的长度元素，|r'(t)|表示参数方程的导数的模。
2. 第二类曲线积分第二类曲线积分也叫矢量场的曲线积分，是对曲线上的矢量场进行积分。
设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，矢量场F(x, y, z)在曲线C上有定义，则第二类曲线积分的计算公式为：∫[C]F(x, y, z)•dr = ∫[a,b]F(x(t), y(t), z(t))•r'(t)dt其中•表示矢量的点积运算。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算的方法。
曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
1. 第一类曲面积分第一类曲面积分也叫标量场的曲面积分，是对曲面上函数的积分。
设曲面S为参数方程r(u, v) = {x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，函数f(x, y, z)在曲面S上有定义，则第一类曲面积分的计算公式为：∬[S]f(x, y, z)dS = ∬[D]f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|ru × rv|dudv其中dS表示曲面上的面积元素，D为参数化区域，ru和rv分别为参数方程r(u, v)对u和v的偏导数，ru × rv表示它们的叉积。
第十章：曲线积分与曲面积分
第十章：曲线积分与曲面积分本章知识点1、曲线积分2、第一曲面积分3、第二曲面积分4、两种曲面积分的联系5、各种积分的联系重点：1．两类曲线积分的概念及计算方法2．格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件3．两类曲面积分的概念及计算方法4．高斯公式难点：1．曲面积分的概念及计算方法2．斯托克斯公式第一节对弧长的曲线积分一、公式：=应用前提:1.曲线L光滑,方程可以写成为:2.函数在L上有定义，且连续。
公式变形：若L为平面曲线，L方程为，则公式可以写成为：二、常用计算法：１．对于曲线L可以写成为参数形式的，可直接套用公式．２．对于平面曲线，可以用公式的变形．３．计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz．如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。
（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的将有无意义的点．三、公式推导及证明推导的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。
推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质．分割：在Ｌ上插入n个分割点，令，（）；记d＝max（），为［］上的弧长，为［］上任意一点．求和：利用积分定义，由弧长公式：由中值定理：其中是由中值定理确定的［］上的一点，；于是：利用,,,的连续性，有：于是：右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定义取极限：得公式：四、例题例1． 计算ds y L⎰，其中L 是抛物线上点O （0，0）与点B （1,1）之间的一段弧。
例2． 计算曲线积分ds z y x ⎰++Γ)(222，其中Γ为螺旋线kt z t a y t a x ===,sin ,cos 上相应于t 从0到2π的一段弧第二节 对坐标的曲线积分一、问题的来源：物理上，力Ｆ作用于物体上，使之沿曲线ＡＢ由Ａ运动到Ｂ，求力Ｆ所做的功Ｗ． 公式的推导分割：将ＡＢ曲线分为小弧段，，．．．，．在每个小段上将Ｆ视为常力Ｆ．于是上作功，（其中，是线段与的夹角）设，，是在x,y,z 三轴正方向的投影．则：做和：二．公式{}⎰⎰'+'=+βεψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L)()(),([)()(),([),(),(三、 两类曲线积分的联系设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线t 与三正向坐标系的夹角.于是,,,据二类曲线计算公式:;由一类曲线推导得:由曲线方程对称性的公式如下:对于平面时,公式可化为:平面上,设n 为法方向,t 为切向,则cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x)于是:例题： 例1：计算⎰Lxydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点A （1，－1）到点B （1,1）的一段弧 例2 计算⎰-+ydz x dy zy dx x 2233，其中是从点A （3,2，1）到点B （0,0，0）的直线段AB第三节 格林公式及其应用 一．格林(Green)公式:,其中:l 为光滑曲线,D 为平面单连通区域,l 为D 的边界. P,Q 在D 及l 上连续,并且有对x,y的连续偏导,右侧积分取区域正向,即延正向前进,区域在左边. 二．平面上曲线积分与路径无关的条件 三．二元函数的全微分求积四．例题例1 求椭圆θθsin ,cos b y a x ==所围成图形的面积A 例2 计算⎰⎰-dxdy e y2，其中D 是以O （0,0），A （1,1），B （0,1）为顶点的三角形闭区域 例3 验证：22yx ydxxdy +-在右半平面（x>0）内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数 第四节 对面积的曲面积分思想:与曲线积分类似,只不过分割的是平面.曲线积分中一切线段代替曲线段, 这里以微小切平面代替曲面.接下来是求和,取极限.一、公式:其中z=f(x,y)为曲面方程.也可写成,其中为法线与z 轴夹角.若s 为参数形式x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)由于,(其中所以公式可化为若记,,则公式亦可写为:.二、计算方法:1.利用原始公式求积分.(但是注意:有些方程虽不能写成z=z(x,y)的显示形式,但利用隐式求导.求出与后.s由于方程的特殊形式,有可能消去子项,从而可利用原始公式.2.化方程为参数方程.计算A,B,C或E,F,G利用推倒公式求积分.3.有些方程利用图像的对称性.可以只求其中的几个部分即可.这样做可大大降地计算量.三、公式推广:第一式中z=f(x,y).第二式E,F,G定义同上.四、例题例1 计算曲面积分⎰⎰∑zdS，其中∑是球面2222azyx=++被平面z=h(0<h<a) 截出的顶部例2 计算⎰⎰∑xyzdS，其中∑是由平面x=0,y=0 ,z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面第五节对坐标的曲面积分一．同第二类曲线积分的推导及形式,相类似的有积分形式为:二．下面求第二类曲面的计算公式: 与上述推导类似,分割,做和,与I相比较,有对于正负号的取舍,适当uv平面的正向与曲面s选定一侧相关的正向相互对应时取正号,否则取负.因为第二类区面积分计算可利用上述公式将分别计算,然后求和.三．两类曲面积分的联系对于微小面有(由中值定理得其存在性).作和,由于.取极限:,其中为微小元的直径的最大值.因为,于是得由方程对称性得到联系方程(为法线与x,y,z轴的夹角)四．例题例1 计算曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222长方体Ω的整个表面的外侧，{}c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω0,0,0),,(。
第十章(第四部分)曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分(第四部分)曲面积分Ⅰ、对面积的曲面积分（第一型曲面积分）一、对面积的曲面积分的定义1．定义.2．物理意义表示面密度为的曲面的质量.二、对面积的曲面积分的性质1．线性性质：2．可加性：.3．的面积：.4．单调性：若在上，，则.三、对面积的曲面积分的计算方法方法：化为二重积分计算（关键：确定二重积分的积分变量）（1）若，. 则.（2）若，. 则.（3）若，. 则.四、对面积的曲面积分典型例题例1．计算曲面积分，其中为在与之间的部分。
分析因为：，即，从中能确定，或。
解令：；：. 则（如图）.（1）求和在平面上的投影区域：因和在平面上的投影区域相同，设为，则：，.（2）求微元：在和上，；（3）转化为二重积分：.例2．计算曲面积分，其中为曲面.分析注意到积分曲面为旋转抛物面，它关于面和面对称，且被积函数关于变量和均为偶函数，因此只要计算在第一卦限部分，再4倍即可，即本题利用对称性计算比较简便。
解设在第一卦限的部分为，则在面上的投影区域为于是（令）.例3．计算曲面积分，其中为球面.分析由于积分曲面为球面，它关于三个坐标面具有轮换对称性，所以，而. 故本题利用轮换对称性和奇偶对称性计算比较简单。
解因，由奇偶对称性可知，上述未写出项的积分值均为，而由轮换对称性易知，故.注从以上几个例子可以看出，计算对面积的曲面积分应注意掌握以下几个要点：（1）由于积分范围是曲面，所以点的坐标满足曲面的方程,计算中要善于利用曲面的方程来化简被积函数；（2）计算对面积的曲面积分时，应注意观察积分曲面的对称性（包括轮换对称性）和被积函数的奇偶性，可以利用此类特殊性来简化积分的计算；（3）将对面积的曲面积分转化为二重积分计算，关键在于二重积分积分变量的选择，这是由积分曲面的方程的特点所决定的，从以上的例子即可看出。
五、对面积的曲面积分的应用1．几何应用求曲面的面积：.2．物理应用质量.质心，，.转动惯量，，.例4．求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量。
曲线积分与曲面积分知识点
第十章 曲线积分与曲面积分一、 一、 重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用 二、 二、 难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。
三、 三、 内容提要1． 1． 曲线（面）积分的定义：（1） （1） 第一类曲线积分∑⎰=→∆∆ni i i i LS f ds y x f 0),(lim ),(ηξλ（存在时）i S ∆表示第i 个小弧段的长度，（i i ηξ,）是i S ∆上的任一点小弧段的最大长度。
实际意义：当f(x,y)表示L 的线密度时，⎰Lds y x f ),(表示L 的质量；当f(x,y) ≡1时，⎰Lds表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点（x,y ）处的高时，⎰Lds y x f ),(表示此柱面的面积。
（2） （2） 第二类曲线积分]),(),([lim 1i i i ni iiiLy Q x P Qdy Pdx ∆+∆∆+∑⎰=→ηξηξλ(存在时)实际意义：设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为：⎰⎰+=⋅=L L Qdy Pdx S d F W，其中S d =（dx,dy ）事实上，⎰L Pdx ，⎰L Qdy 分别是F在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。
（3） （3） 第一类曲面积分∑⎰⎰=→∑∆∆ni i iiiS f ds z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ(存在时)i S ∆表示第i 个小块曲面的面积，（i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。
实际意义：当f(x,y ，z)表示曲面∑上点（x,y,z ）处的面密度时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(表示曲面∑的质量，当f(x,y,z) ≡1时，⎰⎰∑ds 表示曲面∑的面积。
高数 第十章 曲线积分与曲面积分
计算
定积分
计算
Stokes公式 计算 曲面积分 Gauss公式
重积分
16
积分概念的联系
定积分
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
当 R1上区间 a, b]时, f ( M )d f ( x )dx. [
5
基本问题： 如何熟练掌握各种积分的计算
首先判断准确要求的是哪一类积分 重要的是牢牢记住各种积分的计算方法
1、I
L
f ( x , y )ds 代入曲线的方程以及ds，从而化为定积分解之
2、I Pdx Qdy 代入曲线的方程，化为定积分解之 L
P Q 闭合 y x 非闭
( y 2 z 2 ) dS; I z
( x 2 y 2 ) dS
曲面质心： 曲面形心：
x
x
dS ; y
S
;y
ydS ydS
dS ; z
S
;z
dS S
dS zzdS
15
（二）各种积分之间的联系
积分是
P cos Q cos R cos ds
，其中， ，为有向曲面上点
x, y, z 处的
法方向 的方向角。
20
2.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
(1)设曲面是上半球面 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 曲面 1 是 曲面在第一卦限中的部分 , 则有 C .
条 件 等
高等数学第十章《曲线积分与曲面积分》
第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。
高数课件第十章 曲线积分与曲面积分
Σ: x−y+z = 在第四卦限部分的上侧 1 在第四卦限部分的上侧.
解： (c sα,c sβ,c sγ) = 1 ( ,− ,1 o o o 1 1) 3 1 I =∫∫ [f (x y z)+x−2f (x y z)−y+f (x y z)+z]dS , , , , , , ∑ 3 1 =∫∫ [x−y+z]dS ∑ 3 1 1 3 1 =∫∫ dS= . = ∑ 3 3 2 2
+∫ ( x y−3 y2 +y2) d 32 x y u(x y =∫ 5x d , ) x 0
4 0
x
y
32 2 3 1 3 =x + x y −xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y −xy + y =C 2 3
5
y
(x y , )
o (x0 x ,)
2π R 2 2 2
π
+ ∫ dθ ∫π dϕ ∫
2 0 3
2π
π
2 R cos ϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sin ϕ dr
2 2 2
第十章 曲线积分与曲面积分
1. 第一类曲线积分 物质曲线质量） （物质曲线质量） 2. 第二类曲线积分 变力作功） （变力作功） 3. 第一类曲面积分 曲面薄板质量） （曲面薄板质量） 4. 第二类曲面积分 通量） （通量）
曲线积分
曲面积分
1. 第一类曲线积分的计算
(1)利用参数方程化为定积分 利用参数方程化为定积分 • 对光滑曲线弧
f (x y d =∫ f[ ( )ψ( ) φ 2( )+ ′2( )dt ∫ , ) s α φt , t ] ′ t ψ t L
高等数学(二)复习指导-第10章曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1) 了解第一类曲线积分（即对弧长的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握其计算方法。
(2) 了解第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）的概念及物理意义，并掌握其计算方法，能熟练应用曲线积分计算力场沿曲线所做的功。
(3) 掌握格林公式的条件和结论，熟练掌握利用格林公式把第二类曲线积分化为二重积分的计算方法，及掌握通过添加辅助曲面利用格林公式改变积分路径的计算方法。
(4) 掌握在单连通区域上第二类曲线积分与路径无关的等价条件及其应用，会求全微分的原函数。
(5) 了解第一类曲面积分（即对面积的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握其计算方法。
(6) 掌握高斯公式的条件与结论，并会利用高斯公式计算第二类曲面积分。
2. 重点及难点（1）重点： (a) 熟练选择适当的参数方程或坐标系将曲线积分化为定积分。
(b) 熟练掌握用投影法将曲面积分化为二重积分。
(c) 格林公式（熟练使用格林公式计算曲线积分）。
(d) 曲线积分与路径无关的概念及条件。
(e) 高斯公式（熟练使用高斯公式计算曲面积分）。
（2）难点： (a) 两类曲线积分的关系。
(b) 格林公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲线的添加）。
(c) 高斯公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲面的添加）。
二、内容概述1、曲线积分的基本概念与性质(1) 对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）定义 设(,)f x y 在x O y 面内的光滑曲线L 上有界. 第一类曲线积分为1(,)lim (,)ni i i Li f x y ds f s λξη→==∆∑⎰(见课本).Γ为空间曲线时，类似地有1(,,)lim (,,)ni i i i i f x y z ds f s λξηζΓ→==∆∑⎰.物理意义 设曲线L 的线密度为(,)x y ρ，则其质量为(,)LM x y ds ρ=⎰性质1 运算性质[] (,)(,) (,)(,)LLLf x yg x y ds f x y ds g x y ds ±=±⎰⎰⎰(,)(,)LLkf x y ds k f x y ds =⎰⎰ 其中k 为常数．性质2 对弧长的曲线积分与积分路径的走向无关，即⎰⎰-=LL ds y x f ds y x f ),(),(．性质3 对积分路径具有可加性，即12(,)(,)(,)(,)kLL L L f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds =+++⎰⎰⎰⎰其中12k L L L L =+++．(2) 对坐标的曲线积分（又称第二类曲线积分）定义 设(,),(,)P x y Q x y 在x O y 面内的有向光滑曲线L 上有界.(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰[]01lim (,)(,)ni i i i i i i P x Q y λξηξη→==∆+∆∑．Γ为空间曲线时，类似地有(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰[]01lim (,,)(,,)(,,)ni i i i i i i i i i i i i P x Q y R z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑.物理意义 变力(,) (,)F P x y i Q x y j =+沿曲线L 所作的功为(,)(,)LW P x y dx Q x y dy =+⎰．性质1 对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关，即⎰⎰-+-=+LL dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(．性质2 对积分路径具有可加性，即1(,)(,)(,)(,)LL P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy +=+⎰⎰2(,)(,)(,)(,)kL L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy +++++⎰⎰其中k L L L L +++= 21．（3）两类曲线积分之间的关系平面曲线L 上两类曲线积分有如下关系(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰[(,)cos (,)cos ]LP x y Q x y ds αβ=+⎰其中),(),,(y x y x βα为平面有向曲线L 上点),(y x 处的切线向量的方向角．空间曲线Γ上两类曲线积分有如下关系(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dzΓ++⎰[(,,)cos (,,)cos (,,)cos ]P x y z Q x y z R x y z ds αβγΓ=++⎰其中(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z αβγ为空间有向曲线Γ上点(,,)x y z 处切向量的方向角．2、曲线积分的计算公式 (1) 对弧长的曲线积分（1）设函数(,)f x y 在平面曲线: (t), (t),L x y φψ==()t αβ≤≤上连续(),()t t φψ''在区间[], αβ上连续，且22()()0t t φψ''+≠，则[ (,) (), ()Lf x y ds f t t βαφψ=⎰⎰（2）设平面曲线L 的方程为)(),(b x a x y y ≤≤=且)(x y '在区间[]b a ,上连续，则[ (,),()bLaf x y ds f x y x =⎰⎰（3）设函数),,(z y x f 在空间曲线: (), (),x t y t φψΓ==),(t z ω=(t α≤)β≤上连续，(),(),()t t t φψω'''在区间[],αβ上连续，且22()()t t φψ''+2()0t ω'+≠，则(,,)f x y z ds Γ⎰[ (), (), ()f t t t βαφψω=⎰注意 化对弧长的曲线积分为定积分时,定积分的上限一定比下限大．（2）对坐标的曲线积分(1) 设函数),(),,(y x Q y x P 在有向曲线L 上连续，L 的参数方程为:),(),(t y t x ψϕ==βα→:t ，即α为有向曲线L 的始点对应的参数值，β为其终点对应的参数值．且)(),(t t ψϕ''在以βα,为端点的区间上连续，22()()0t t φψ''+≠，则(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰[] ( (), ())()( (), ()) ()P t t t Q t t t dtβαφψφφψψ''=+⎰(2) 若L 是由方程 ()y x φ=给出,L 的始点的横坐标为a ,终点的横坐标为b ,)( x ϕ具有一阶连续导数,则(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰[] (, ())(, ())()baP x x Q x x x dxφφφ'=+⎰(3) 类似地,对于空间曲线:(),(),()x t y t z t φψωΓ===(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dzΓ++⎰[][] (), (), ()() (), (), ()()P t t t t dt Q t t t t dtββααφψωφφψωψ''=+⎰⎰ [](), (), ()()R t t t t d t βαφψωω'+⎰ α为有向曲线Γ的始点对应的参数值，β为其终点对应的参数值．（3）二元函数的全微分求积设函数),(y x P ,),(y x Q 在单连通域G 内有连续的一阶偏导数,且xQy P ∂∂=∂∂，则Qd y P d x +在G 内为某一函数),(y x u 的全微分，且有0 (,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰，(如图 (a))或 dx y x P dy y x Q y x u xx yy ⎰⎰+=00),(),(),(，(如图 (b))．3、曲线积分的有关定理定理1 (格林公式) 设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有连续的一阶偏导数，则有dxdy y P x Q Qdy Pdx L D ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+其中L 是D 的取正向的边界曲线．定理2 (平面上曲线积分与路径无关的条件) 设函数),(y x P ,),(y x Q 在单连通域G 内有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价①LPdx Qdy +⎰与路径无关,即LPdx Qdy +=⎰1L Pdx Qdy +⎰,其中L 、1L 为G 内具有相同始点和终点任意曲线；②⎰=+LQdy Pdx 0,其中L 为G 内的任意闭曲线;③P Q y x∂∂=∂∂在G 内恒成立; ④ (,)Pdx Qdy du x y +=,即Pdx Qdy +在G 内为某一函数(,)u x y 的全微分．4、曲面积分的基本概念与性质（1）对面积的曲面积分（又称第一类曲面积分）定义 设(,,)f x y z 在光滑曲面∑上有界.1(,,)lim (,,)niiiii f x y z dS f S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰(极限存在时)．物理意义 设曲面∑的面密度为(,,)x y z ρ，则其质量为(,,)M x y z dS ρ∑=⎰⎰．性质 设曲面12,(1,2,,)k i i k ∑=∑+∑++∑∑=都是光滑的,则12(,,)(,,)(,,)f x y z dS f x y z dS f x y z dS∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,,)kf x y z dS ∑++⎰⎰（2）对坐标的曲面积分（又称第二类曲面积分）指定了侧的曲面称为有向曲面．定义 设(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在有向光滑曲面∑上有界.1(,,)lim (,,)()niiii yzi P x y z dydz P S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰(极限存在时)1(,,)lim (,,)()niiii zxi Q x y z dzdx Q S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰(极限存在时)1(,,)lim (,,)()niiii xyi R x y z dxdy R S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰(极限存在时)其中(,,)i i i ξηζ是任意分割有向曲面∑为n 片小曲面后,所得到的第i 片小曲面i S ∆上的任意一点,(),(),()i xy i yz i zx S S S ∆∆∆分别为i S ∆在三个坐标面上的投影.λ为n 片小曲面i S ∆(1,2,)i n =的直径中的最大者．曲面∑在点(,,)i i i ξηζ处的单位法向量为cos cos cos i i i n i j k αβγ=++()cos ,()cos ,()cos .i yz i i i zx i i i xy i i S S S S S S αβγ∆≈∆∆≈∆∆≈∆物理意义 稳定流动的不可压缩的流体（密度1=ρ），如果在点),,(z y x 处的流速是(,,) (,,)(,,)v P x y z i Q x y z j R x y z k =++,则单位时间内流过曲面∑一侧的流量为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑Φ=++⎰⎰．性质1 设曲面12,k ∑=∑+∑++∑则1Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy∑∑++=++⎰⎰⎰⎰2.kPdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑∑+++++++⎰⎰⎰⎰性质2 设∑-表示与∑取相反侧的有向曲面，则Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy -∑∑++=-++⎰⎰⎰⎰（3）两类曲面积分之间的关系空间曲面∑上的两类曲面积分有如下关系(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSαβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦．5、曲面积分的计算公式 （1）对面积的曲面积分设光滑曲面∑的方程是∑=),,(y x z z 在坐标面xoy 上的投影区域为xy D ，则(,,)f x y z dS∑⎰⎰[],,(,)xyD f x y z x y =⎰⎰ 设光滑曲面∑的方程是∑=),,(z x y y 在坐标面xoz 上的投影区域为xz D ，则(,,)f x y z dS ∑⎰⎰[],(,),xzD f x y x z z =⎰⎰设光滑曲面∑的方程是∑=),,(z y x x 在坐标面yoz 上的投影区域为yz D ，则(,,)f x y z dS ∑⎰⎰[](,),,yzD f x y z y z =⎰⎰（2）对坐标的曲面积分设光滑曲面∑的方程是∑=),,(y x z z 在坐标面xoy 上的投影区域为xy D ，取上（下）侧，则[](,,),,(,)xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy∑=±⎰⎰⎰⎰其中，∑取上侧时为正，∑取下侧时为负．注意 当曲面∑是母线平行于z 轴的柱面0),(=y x F 时，∑上任意一点的法向量与z 轴的夹角的余弦cos cos02πγ==，则(,,)0R x y z dxdy ∑=⎰⎰．设光滑曲面∑的方程是∑=),,(z x y y 在坐标面xoz 上的投影区域为xz D ，则(,,)Q x y z d z d x∑⎰⎰[],(,),xzD Q x y x z z dzdx =±⎰⎰∑取右侧时为正，∑取左侧为负．设光滑曲面∑的方程是(,),x x y z =∑在坐标面yoz 上的投影区域为yz D ，则(,,)P x y z dydz∑⎰⎰[](,),,yzD P x y z y z dydz =±⎰⎰∑取前侧时为正，∑取后侧为负．6、曲面积分的有关定理定理1（高斯公式） 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++dxdydz z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz或⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++dxdydz z R y Q x P dS R Q P )cos cos cos (γβα其中∑是Ω的整个边界曲面的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦．三、典型例题分析例1： 计算22x y Leds +⎰,其中L 为圆周222x y a +=,直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.分析 由于曲线L 分段光滑,所以先将L 分为若干光滑曲线段之和,再利用曲线积分的可加性计算曲线积分.解:22123x y LL L L eds +=++⎰⎰⎰⎰1L 的方程为 ,0y x x⎛⎫=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭ds ==1L dx =⎰⎰)a d e ==⎰2L 的方程为：cos ,sin ,04x a t y a t t π⎛⎫==≤≤ ⎪⎝⎭ds adt ===24 04a a L aae dt e ππ==⎰⎰3L 的方程为 0,(0)y x a =≤≤，ds dx ==.301ax a L e dx e ==-⎰⎰所以22123x y LL L L eds +=++⎰⎰⎰⎰112244a a a a aa e e e e ππ⎛⎫=-++-=+- ⎪⎝⎭例 2 ：具有连续偏导数的函数(,)f x y 应满足怎样的条件才能使曲线积分(,)()Lf x y ydx xdy +⎰与积分路径无关。
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第十章 曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分） 1、定义ini iiLs f ds y x f ∆ηξλ∑⎰=→=1),(lim),(， i ni i i i s f ds z y x f ∆=∑⎰=→Γ1),,(lim ),,(ζηξλ2、物理意义 线密度为),(y x ρ的曲线L 质量为ds y x M L⎰=),(ρ线密度为),,(z y x f 的曲线Γ质量为ds z y x f M ⎰Γ= ),,(3、几何意义 曲线L 的弧长=s ds L⎰，曲线Γ的弧长ds s ⎰Γ=4、若L ：k y x f =),(（常数），则ks ds k ds k ds y x f LLL===⎰⎰⎰),(5、计算（上限大于下限）（1）,(t) ,(t) :ψϕ==y x L ()βα≤≤t ，则[][][]dt t t t t f ds y x f L22)()()( ),( ),(ψϕψϕβα'+'=⎰⎰（2）L ：0()()y x x x X ψ=≤≤，则0(,)[,(XLx f x y ds f x x ψ=⎰⎰（3）L ：0()()x y y y Y ϕ=≤≤，则0(,)[(),.Y Ly f x y ds f y y ϕ=⎰⎰（4）)().(),(),(:βαωψϕ≤≤===Γt t z t y t x ，则(,,)[(),(),(()f x y z ds f t t t βαϕψωαβΓ=<⎰⎰二、对坐标的曲线积分 1、定义dy y x Q dx y x P L),(),( +⎰[]∑=→+=ni i i i iiiy Q xP 1),(),(lim∆ηξ∆ηξλdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(++⎰Γ[]∑=→++=n i i i i i i i i i ii iiz R y Q x P 1),,(),,(),,(lim ∆ζηξ∆ζηξ∆ζηξλ2、计算（下限对应起点，上限对应终点）（1）,(t) ,(t) :ψϕ==y x L ()βα→:t ，则(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰（2）L ：()y x ψ=()X x t →0:，则{[,()][,()]()}bLa Pdx Qdy P x x Q x x x dx ψψψ'+=+⎰⎰（3）L ：()x y ϕ=()Y y t →0:，则{[(),]()[(),]}dLcPdx Qdy P y y y Q y y dy ϕϕϕ'+=+⎰⎰（4）):().(),(),(:βαωψϕ→===Γt t z t y t x ，则(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰ {[(),(),()]()[(),(),()]()[(),(),()]()}P t t t t Q t t t t R t t t t dt βαϕψωϕϕψωψϕψωω'''=++⎰ 3、两类曲线积分之间的联系(cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰其中，(,),(,)x y x y αβ为有向曲线弧L 上点(,)x y 处的切线向量的方向角。
(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓΓ++=++⎰⎰，其中(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z αβγ为有向曲线弧Γ上点(,,)x y z 处切向量的方向角。
三、格林公式及其应用 1、格林公式⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(其中L 是D 的取正向的整个边界曲线2、平面上曲线积分与路径无关的条件（D 为单连通区域）定理 设D 是单连通闭区域，若),(),,(y x Q y x P 在D 内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： (i) 沿D 内任一按段光滑封闭曲线L ，有0=+⎰L Qdy Pdx ；(ii) 对D 内任一光滑曲线L ，曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路径无关，只与L 的起点和终点有关；(iii) Qdy Pdx +是D 内某一函数),(y x u 的全微分，即在D 内有Qdy Pdx du +=； (iv) 在D 内处处成立 xQ y P ∂∂=∂∂ 注 若D x xQy P ∈∂∂=∂∂ 则Qdy Pdx +的全微分00(,)(,)(,)(,)(,)x y x y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰：0(,)(,)(,)xyx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰ 或 00(,)(,)(,)yxy x u x y Q x y dy P x y dx =+⎰⎰四、对面积的曲面积分 1、定义⎰⎰∑dS z y x f ),,(iiini iS f ∆=∑=→),,(lim 1ζηξλ2、物理意义：⎰⎰∑dS z y x f ),,(表示面密度为),,(z y x f 的光滑曲面∑的质量。
3、几何意义 曲面∑的面积⎰⎰∑=dS S4、若∑：k z y x f =),,(（常数），则⎰⎰∑dS z y x f ),,(=⎰⎰∑kdS =⎰⎰∑dS k =kS5、计算（一投、二代、三换元）（1）:(,)z z x y ∑=， xy D y x ∈),(，则 (,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰ （2）:(,)y y x z ∑=，xz D z x ∈),(，则=⎰⎰∑dS z y x f ),,(;1]),,(,[22dxdz y y z z x y x f xzD z x ⎰⎰'+'+（3）(,)x x y z ∑=：，yz D z y ∈),(，则=⎰⎰∑dS z y x f ),,([(,),,yzD f x y z y z ⎰⎰。
五、对坐标的曲面积分 1、定义∑⎰⎰=→∑∆=ni xyi i i i S R dxdy z y x R 1))(,,(lim ),,(ζηξλ∑⎰⎰=→∑∆=ni yziiiiS P dydz z y x P 1))(,,(lim ),,(ζηξλ∑⎰⎰=→∑∆=ni zxi iiiS Q dzdx z y x Q 1))(,,(lim ),,(ζηξλ2、物理意义 流量dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++=Φ⎰⎰∑。
()(,,)cos (,,)cos (,,)cos P x y z Q x y z R x y z dS αβγ∑=++⎰⎰vdS ∑=⎰⎰3、计算（一投、二代、三定号） （1）),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则⎰⎰⎰⎰±=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(（上侧取正，下侧取负）（2）∑:(,)x x y z =，xz D z x ∈),(，则⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dydz z y z y x P dydz z y x P ],),,([),,(（前侧取正，后侧取负）（3）∑:(,)y y z x =yz D z y ∈),(，则⎰⎰⎰⎰±=∑zxD dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q ]),,(,[),,(（右侧取正，左侧取负）4、两类曲面积分之间的联系dS R Q P dxdy R Qdzdx Pdydz )cos cos cos (γβα⎰⎰⎰⎰∑∑++=++，γβαcos cos cos dxdydzdx dydz dS ===其中γβαcos ,cos ,cos 为有向曲面Σ上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦 六、高斯公式1、高斯公式 dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv zR y Q x P )cos cos cos ()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑Ω++=++=∂∂+∂∂+∂∂γβα其中∑为Ω的整个边界曲面的外侧，γβα,,是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向角。
2、通量 向量场k R j Q i P A++=，沿场中有向曲面Σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz dS n A S d A 0称为向量场),,(z y x A向正侧穿过曲面Σ的通量3、散度 设k R j Q i P A++=，则zR y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂= 七、斯托克斯公式1、Stokes 公式=∂∂∂∂∂∂⎰⎰∑RQ P z y x dxdy dzdx dydz dxdy yP x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑=ds RQPz y x ⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂γβαcos cos cos =⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂dS y P x Q x R z P z Q y R γβαcos )(cos )(cos )(⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx其中有向曲线Γ是有向曲面∑的整个边界，且满足右手系法则2、环流量 向量场k R j Q i P A++=沿场A 中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分CCA ds Pdx Qdy Rdz Γ=⋅=++⎰⎰称为向量场A 沿曲线C 按所取方向的环流量。
Cij k A ds dS x y z PQR∑∂∂∂Γ=⋅=⋅∂∂∂⎰⎰⎰环流量3、旋度 向量ij kx y z PQR∂∂∂∂∂∂为向量场k R j Q i P A ++=的旋度()rotA 。
旋度 ij krotA x y z PQR∂∂∂=∂∂∂.)()()(k y P x Q j x R z P i z Q y R ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂= 典型例题1. 曲线积分 1 计算ds y x nL⎰+ 22)(其中L 为圆周,cos t a x =t a y sin =)20,0(π≤≤>t a 。
解： (方法一) 根据公式将曲线积分化为定积分adt dt t a t a dt t y t x ds =+-='+'=2222)cos ()sin ()()(ds y x nL⎰+ 22)([]⎰⋅+=π2022)sin ()cos ( adt t a t a n122 0122++==⎰n n a dt a ππ(方法二) 由于在曲线L 上222a y x =+,且⎰L ds 为曲线段L 的长,所以12 2 222 )(+==+⎰⎰n Ln nLa ds a ds y x π2 计算⎰+Ly x ds e22,其中L 为圆周222a y x =+,直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。