2021_2021版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式测评新人教A版选修4_5

第三讲柯西不等式与排序不等式
测评
(时间:120分钟总分值:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)
1.以下不等式中一定成立的是()
A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)
B.|ax+by|≥
C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2
D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2
解析由柯西不等式可知,只有C项正确.
答案C
2.设xy>0,那么的最小值为()
A.-9
B.9
解析=9.
答案B
3.设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c1,c2,…,c n是b1,b2,…,b n的任一排列,那么和S=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,T=a1c1+a2c2+…+a n c n,K=a1b1+a2b2+…+a n b n的关系是()
A.S≤T≤K
B.K≤T≤S
C.T≤K≤S
D.K≤S≤T
解析根据排序不等式知反序和≤乱序和≤顺序和,那么S≤T≤K.
答案A
4.假设3x+2y+z=,那么x2+y2+z2的最小值是()
A. B. C.
解析由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥()2=7,于是
x2+y2+z2≥,当且仅当=z,即x=,y=,z=时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是.
答案A
5.用柯西不等式求函数y=的最大值为()
A. B.3
解析由柯西不等式,得函数
y==4, 当且仅当时,等号成立,
故函数y的最大值为4.应选C.
答案C
6.=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,那么A,B间的大小关系为()
A.A<B
B.A>B
C.A≤B
D.A≥B
解析A=a2+b2=1·(a2+b2)=(a2+b2)≥=(x+y)2=B,即A≥B,当且仅当时,等号成立.
答案D
7.a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,那么M与N的大小关系是()
A.M≥N
B.M>N
C.M≤N
D.M<N
解析取两组数:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和.
而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,M>N.
答案B
8.x,y,z是正实数,且=1,那么x+的最小值是()
A.5
B.6
解析由柯西不等式可得
x+
≥=9,
当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+的最小值是9.
答案D
9.a,b是给定的正数,那么的最小值为()
A.2a2+b2ab C.(2a+b)2ab
解析=(sin2α+cos2α)
≥=(2a+b)2,
当且仅当sin α=cos α时,等号成立.
故的最小值为(2a+b)2.
答案C
10.正数x,y,z满足x+2y+3z=1,那么的最小值为()
A.1
B.9
解析由柯西不等式可得(x+2y+2y+3z+3z+x)·≥(1+2+3)2, ∵x+2y+3z=1,
∴2≥36,
∴≥18,
∴当且仅当x+2y=,即x=,y=0,z=时,的最小值为18.答案D
11.在锐角三角形ABC中,设p=,q=a cos C+b cos B+c cos A,那么p,q的大小关系是()
A.p≥q
B.p=q
C.p≤q
解析不妨设A≥B≥C,那么a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C.
那么由排序不等式可得q=a cos C+b cos B+c cos A≥a cos B+b cos C+c cos A, ①
a cos C+
b cos B+
c cos A≥a cos C+b cos A+c cos B, ②
由①+②得2(a cos C+b cos B+c cos A)≥a cos B+b cos A+b cos C+c cos B+c cos A+a cos C,
即2(a cos C+b cos B+c cos A)≥2R(sin A cos B+cos A sin B)+2R(sin B cos C+cos B sin
C)+2R(sin C cos A+cos C sin A),
整理,得a cos C+b cos B+c cos A≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]
=R(sin A+sin B+sin C)
==p.
答案C
12.导学号26394060设P为△ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.假设△ABC的周长为l,面积为S,那么的最小值为()
A.B.C.D.
解析设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,那么a1b1+a2b2+a3b3=2S.
∵(a3b3+a2b2+a1b1)≥=(a3+a2+a1)2=l2,∴,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.
答案A
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)
13.假设=2,=3,那么x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.
解析由柯西不等式可得()()≥(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)2≤6,所以x1y1+x2y2+x3y3≤,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.
答案
14.假设a,b,c>0,那么a+b+c.
解析不妨设a≥b≥c>0,那么ab≥ac≥bc>0,>0,那么由排序不等式可得
≥ab·+ac·+bc·=a+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立).
答案≥
15.设正实数a1,a2,…,a100的任意一个排列为b1,b2,…,b100,那么+…+的最小值
为.
解析不妨设0<a1≤a2≤…≤a100,那么0<≤…≤,由排序不等式可得
+…+≥a1·+a2·+…+a100·=100,即+…+的最小值为100.
答案100
16.边长为a,b,c的三角形,其面积为,外接圆半径为1,假设s=,t=,那么s 与t的大小关系是.
解析三角形的面积S=,
即abc=1,所以t=ab+bc+ca,
t2=(ab+bc+ca)
≥()2=s2,
又a,b,c>0,所以s≤t.
答案s≤t
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题总分值10分)a>0,b>0,a+b=1,求证≤2.
证明由柯西不等式可得
()2=(·1+·1)2≤[()2+()2](12+12), 因此()2≤2(2a+2b+2)=8,
故≤2当且仅当a=b=时,等号成立.
18.(本小题总分值12分)a,b,c都是非零实数,求证≥a2+b2+c2.
证明由柯西不等式可得(b2+c2+a2)
=(b2+c2+a2)
≥=(a2+b2+c2)2,
又因为a2+b2+c2>0,
所以≥a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).
19.(本小题总分值12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.
解u=2x+y=2·x+·2y.
由柯西不等式可得[x2+(2y)2]
≥,
即(2x+y)2≤×1,
所以u2≤,故-≤u≤,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得
x=±,y=±.
所以u的最大值是,此时x=,y=;
u的最小值是-,此时x=-,y=-.
20.(本小题总分值12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b.
证明不妨设a≥b≥c>0,那么lg a≥lg b≥lg c,
由排序不等式可得a lg a+b lg b+c lg c≥b lg a+c lg b+a lg c,a lg a+b lg b+c lg c≥c lg a+a lg b+b lg c,
以上两式相加可得2a lg a+2b lg b+2c lg c≥(b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,
即lg a2a+lg b2b+lg c2c≥lg a b+c+lg b a+c+lg c a+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(a b+c·b a+c·c a+b),
故a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).
21.导学号26394061(本小题总分值12分)a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c
的最小值为4.
(1)求a+b+c的值;
(2)求a2+b2+c2的最小值.
解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c
≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,
当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,
所以f(x)的最小值为a+b+c.
又f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.
(2)由(1)知a+b+c=4,
由柯西不等式,得(4+9+1)
≥=(a+b+c)2=16,
即a2+b2+c2≥.
当且仅当,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值为.
22.导学号26394062(本小题总分值12分)
如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影局部),求这三个三角形的面积和的最小值,以及到达最小值时P的位置.
解分别取OA,OB所在的直线为x轴、y轴,建立如下图的平面直角坐标系.
那么AB的方程为x+y=1,记点P坐标为P(x P,y P),
那么以P为公共顶点的三个三角形的面积和S=(1-x P-y P)2,
所以2S=+(1-x P-y P)2.
由柯西不等式,得[+(1-x P-y P)2](12+12+12)≥(x P+y P+1-x P-y P)2,
即6S≥1,所以S≥,当且仅当,即x P=y P=时,等号成立.
故当x P=y P=时,面积和S最小,且最小值为,
此时点P坐标为.。