2019-2020学年高中数学选修2-2第二章推理科与证明2.1合情推理科与演绎推理科2.1.1合情推理科讲义

2.1.1 合情推理
1．归纳推理
(1)概念：由某类事物的□
01部分对象具有某些特征，推出该类事物的□02全部对象都具有这些特征的推理，或由□
03个别事实概括出□04一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． (2)特征：归纳推理是由□
05部分到□06整体、由□07个别到□08一般的推理． (3)一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些□09相同性质；第二步，从已知的□10相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
2．类比推理
(1)概念：由两类对象具有某些□
11类似特征和其中一类对象的某些□12已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
(2)特征：类比推理是由□
13特殊到□14特殊的推理．
(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的□
15相似性或□16一致性；第二步，用一类事物的□
17性质去推测另一类事物的□18性质，得出一个明确的命题(猜想)． 3．合情推理 (1)含义
归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过□
19观察、□20分析、□21比较、□22联想，再进行□
23归纳、□24类比，然后提出□25猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． (2)合情推理的过程
从具体问题出发→观察、分析、
比较、联想
→归纳、类比→提出猜想
归纳推理与类比推理的区别与联系
区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )
(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用. ( )
(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )
答案(1)×(2)×(3)√
2．做一做
(1)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝
2a n
2＋a n
(n∈N*)，则可归纳猜想{a n}的通项公式为
__________________．
(2)数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．
(3)等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是__________．
答案(1)a n＝2
n＋1
(n∈N*) (2)65 (3)b2n＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N*)
探究1 数列中的归纳推理
例1 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＋1＝a n
1＋a n
(n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的
通项公式．
[解] 当n ＝1时，a 1＝1， 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝1
2，
当n ＝3时，a 3＝12
1＋
12＝1
3，
当n ＝4时，a 4＝131＋
13＝1
4，
…
通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列{a n }的通项公式是a n ＝1n
.
[解法探究] 此题有没有其他解法呢？
[解] 因为a n ＋1＝a n 1＋a n ，即1a n ＋1＝1
a n
＋1，
所以
1
a n ＋1－1
a n
＝1，
又a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1
a 1
＝1为首项，公差为1的等差数列．
所以1
a n
＝1＋(n －1)×1＝n ，
所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1
n
.
拓展提升
在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n 项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．
【跟踪训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2
a n (n ∈N *
)，可归纳猜想出S n 的表达式为________．
答案
2n n ＋1
解析 因为a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 2，所以a 2＝13，所以S 2＝13×4＝43，同理，可得S 3＝6
4，
S 4＝85，归纳可得，S n ＝2n
n ＋1
.
探究2 几何中的归纳推理
例2 定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中(1)，(2)，(3)，(4)，那么图中的(a )，(b)所对应的运算结果可能是( )
A ．
B *D ，A *D B ．B *D ，A *
C C ．B *C ，A *D
D ．C *D ，A *D
[解析] 从运算图形中，归纳出“*”表示什么运算，A ，B ，C ，D 分别表示什么图形，
即可研究(a )，(b)所对应的运算结果．
依题意，运算“*”表示图形叠加，由4个运算图形归纳得出：A 是一条竖直线段，B 是一个正方形，C 是一条水平线段，D 是一个圆．所以(a )中的图形应为B *D ，(b)中的图形应为
A *C .故选B.
[答案] B 拓展提升
归纳推理在几何中应用的关键
在几何中随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决该类问题的关键．
【跟踪训练2】 设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，
f (n )＝________(用含n 的数学表达式表示)．
答案 5 1
2
(n －2)(n ＋1)
解析 由图可知，f (4)＝5，当n >4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1.由f (n )－f (n －1)＝n －1，得f (n －1)－f (n －2)＝n －2，…，
f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12
(n ＋2)(n －3)．
又f (3)＝2，所以f (n )＝1
2
(n ＋2)(n －3)＋2，
化简、整理，得f (n )＝1
2(n －2)(n ＋1)．
探究3 数列中的类比推理
例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：
设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，
T 16
T 12
成等比数列． [解析] 等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：
设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16
T 12
成等比数列． [答案]
T 8T 4 T 12T 8
拓展提升
类比推理的一般模式为：A 类事物具有性质a ，b ，c ，d ，B 类事物具有性质a ′，b ′，c ′(a ，
b ，
c 分别与a ′，b ′，c ′相似或相同)，所以B 类事物可能具有性质d′(
d 与d′相似或相
同)．
【跟踪训练3】 若数列{a n }(n ∈N *
)是等差数列，则有通项满足b n ＝
a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n
n
(n
∈N *
)的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地有，若数列{c n }(n ∈N *
)是等比数列，且c n >0，则通项满足d n ＝________(n ∈N *
)的数列也是等比数列．
答案
n
c 1c 2c 3…c n
解析 由等差数列、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性，等差数列与等比数列类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n ＝n
c 1c 2c 3…c n .
探究4 几何中的类比推理
例4 平面几何里有“设直角三角形ABC 的两直角边分别为a ，b ，斜边上的高为h ，则
1
a 2
＋1b 2＝1
h
2”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：
“设三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两垂直，其长分别为a ，b ，c ，平面BCD 上的高为h ，则________”．
[解析] 如图所示，设A在底面的射影为O，连接BO并延长交CD于E.连接AE，由AB ⊥AC，AB⊥AD得AB⊥平面ACD.
∴AB⊥AE.设AE＝h1，
在Rt△ABE中，由已知可得1
a2
＋
1
h21
＝
1
h2
.
又易证CD⊥平面ABE，∴CD⊥AE.
在Rt△ACD中有1
h21
＝
1
b2
＋
1
c2
，∴
1
a2
＋
1
b2
＋
1
c2
＝
1
h2
.
[答案]1
a2
＋
1
b2
＋
1
c2
＝
1
h2
拓展提升
解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：
【跟踪训练4】类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2＋AC2＝BC2.若三棱锥A－BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为________．答案S2△BCD＝S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ADB
解析在直角三角形中，根据勾股定理，两个直角边的平方和是斜边的平方，类比到三
个侧面两两垂直的三棱锥中，有三个两两垂直的侧面面积的平方和等于第四个面的面积的平方．
合情推理主要包括归纳推理与类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．但是，归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.
1．如下图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )
A．白色B．黑色
C．白色可能性大D．黑色可能性大
答案 A
解析由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．
2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2
答案 C
解析观察可知，每多一条金鱼，需要多出6根火柴，而第一条金鱼用了6＋2＝8根火柴棒，所以金鱼火柴棒根数的通项公式为6n＋2.故选C.
3．请仔细观察，运用合情推理，写在下面横线上的数最可能的是1,1,2,3,5，________，
- 11 - 13.
答案 8
解析 从第三项起，每一项是它前两项的和，根据这个规律，应填写的数字是8.
4．在平面内与圆心距离相等的两弦的长相等，类似地，在空间内与________． 答案 球心距离相等的两截面的面积相等
解析 由圆可类比球，圆的弦可类比球的截面圆．
5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝
12－a n (n ∈N *)，a 1＝0，试通过计算a 2，a 3，a 4，a 5的值，猜测{a n }的通项公式．
解 由a n ＋1＝12－a n 和a 1＝0，得a 2＝12－0＝12，a 3＝12－12＝23，a 4＝12－23＝34，a 5＝12－34
＝45.观察以上5项，猜测{a n }的通项公式为a n ＝
n －1n
.。