二次根式的混合运算(习题及答案)

思考小结
1. amn ， amn ， amn ， ambm 相加，不变 系数，系数，字母，字母 乘法分配律
（3） 47 1 3
（6） 2 3 4 2 3
（9） 2 6 （12） 11
2
ab（a ≥ 0 ，b ≥ 0）， a （a ≥ 0，b 0） b
最简二次根式，同类二次根式 (a b)(a b) a 2 b 2 ， (a b)2 a2 2ab b2
3. 估算 6 24 的值（ ） A．在 1 和 2 之间 C．在 3 和 4 之间
B．在 2 和 3 之间 D．在 4 和 5 之间
1
4. 满足 3 <x< 6 的整数 x 是__________________．
5. 11 的整数部分为_________，小数部分为________． 6. 已知 8 11 的整数部分为 x，小数部分为 y，则 2xy-y2=_____． 7. 如图，在数轴上 A，B 两点表示的数分别是 2 ， 3 ，若点
后来他又发现我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式ababab对比这两个公式小明发现海伦公式形式漂亮便于记忆但是如果一个三角形的三边长是无理数的时候还是秦九韶公式处理比较方便根据小明的发现选择适当的公式解决下面的问题
二次根式的混合运算（习题）
例题示范
例 1：计算 8 (1 2)2 (1 2)1 1．
（11）
(5)2
2 3 1
3 3
1
解：原式=
（12） 3 3 3
3 2
2 1
1 0.2
解：原式=
4
思考小结
1. 比较整式运算与二次根式运算的异同点
整式运算
二次根式运算
幂的运算法则
am an am an (am )n (ab)m
加减运算法则
合并同类项：
乘除运算法则：
系数_____，字母和字
5
形的三边长分别为 a，b，c，记 p a b c ，那么三角形的 2
面积为 S p( p a)( p b)( p c) ”，这一公式称为海伦公式；
后来他又发现我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形
的三边长求面积的秦九韶公式 S 1 [a2b2 ( a2 b2 c2 )2 ] ，
4
2
聪明的小明通过自己的推导发现，这两个公式实质是一致的：
1 [a2b2 ( a2 b2 c2 )2]
4
2
( 1 ab)2 ( a2 b2 c2 )2
2
4
(1 ab a2 b2 c2 )(1 ab a2 b2 c2 )
2
4
2
4
2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2
6
【参考答案】 巩固练习
1. B 2. 16 3. A 4. -1，0，1，2
5. 3， 11 3 6. 5 7. 2 2 3
8.
（1）
6 ；（2） 2 3
79. （1） 3 2 2 3（2）12（4） 2 3 2
（7） 6 3 2
（5） 5 6 （8） 8 4 3
（10） 31 2 5 （11）4
③每步推进一点点：比如 (1 2)2 化为 1 2 ，不跳步．
巩固练习
1. 下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；② a 一定不是
负数；③负数没有立方根；④平方根等于它本身的数是 0 或 1；
⑤ 16 的平方根是 4 ．其中正确的有（
A．0 个
B．1 个
C．2 个
） D．3 个
2. 若 a 的平方根是 2，则 a=______．
C 与点 B 关于点 A 对称，则点 C 表示的数是_________．
8. 化简 （1） 3 2 27 解：原式=
（2） 3 7 2
解：原式=
9. 计算 （1） 6 ÷( 2 3) 解：原式=
（2）
12
75 3
1 3
48
解：原式=
（3） 10
48 6
1 4 27
12 ÷
3
解：原式=
解：原式 2 2 1 2 1 1 1 2
2 2 ( 2 1) 1 2 1 (1 2)(1 2)
2 2 2 11 2 1 1 2
2 11 2 1 1
思路分析：
①观察结构划部分：按照加减共分为 4 部分；
1
1 2
②有序操作依法则：比如第一部分将
化为
，
1 2 (1 2)(1 2)
依据分数的基本性质进行分母有理化；
2. ① 6 6 ；② 26 2
7
运 母的指数_______． 乘除运算法则
算 法 单×单：
a b ______( a _________( b
) )
则 ______ 乘 以 ______ ， 加减运算法则：
______乘以______． ①化成_______________
单×多：
②合并_______________
根据___________，转
4
4
(a b)2 c2 c2 (a b)2
4
4
abcabcacbbca
2
2
2
2
p( p a)( p b)( p c)
对比这两个公式，小明发现海伦公式形式漂亮，便于记忆， 但是如果一个三角形的三边长是无理数的时候，还是秦九韶 公式处理比较方便，根据小明的发现，选择适当的公式解决 下面的问题： ①在△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7，求△ABC 的面积； ②在△ABC 中，AB= 5 ，BC= 6 ，AC= 7 ，求△ABC 的 面积．
2
（4） 3 2 4 3+1
解：原式=
（5） 3 3 2 5 5 2 3 1
解：原式=
（6） 2
1 8
1 2
18
2 2
1 3
解：原式=
（7） (3 2 8)( 3 3) 解：原式=
（8） ( 6 2)2 解：原式=
（9） ( 5 3 2)( 5 3 2) 解：原式=
3
（10） (7+2 3)(7 2 3) ( 5 1)2 解：原式=
化为单×单．
多×多：握手原则．
单 单：系数除以系
数，字母除以字母．
多 单：借用乘法分
配律．
公 ①平方差公式__________________________ 式 ②完全平方公式________________________
2. 我们知道如果一个三角形的三边长固定，那么这个三角形就 固定．若给出任意一个三角形三边长，你能求出它的面积吗？ 小明翻阅了各种资料后发现，古希腊的几何学家海伦（Heron， 约公元 50 年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在 他的著作《度量》一书中，给出了一个公式“如果一个三角