高中数学论文：浅析学习乘法公式注意的问题

浅析学习乘法公式注意的问题
乘法公式是《整式的乘除》一章的重要内容，也是今后学习数学的重要工具，要学好这部分知识，应注意以下七个方面。

部分知识，应注意以下七个方面。

一. 注意掌握公式的几何意义
1. 平方差公式：()()a b a b a b +-=-22
如右图所示：四边形ABCD 、EBFG 分别是边长为a 、b 的正方形，由面积可得：的正方形，由面积可得： a b a a b b a b 22-=-+-()()
即a b a b a b 22
-=+-()() 2. 完全平方公式：()a b a ab b ±=±+222
2
如右图所示：大正方形面积为()a b +2是两个小正方形的面积a b 22、之和，再加上两个长方形的面积2ab ，即得
()a b a ab b +=++222
2。

如图3所示：把()a b -2看作大正方形的面积a 2减去两个阴影的长方形面积之和2ab ，这样就多减去阴影重合部分的小正方形的
面积b 2，再把它补上。

即()a b a ab b -=-+2222
二. 注意掌握公式的结构特点 掌握公式的结构特点是正确使用公式的前提。

如平方差公式()()a b a b a b +-=-22的结构特点是：公式的左边是这两个二项式的积，公式的左边是这两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同，且这两个二项式有一项完全相同，且这两个二项式有一项完全相同，另一项互另一项互为相反数，公式的右边是这两项的平方差，且是左边的相同的一项的平方减去互为相反数的一项的平方。

掌握了这些特点，就能在各种情况下正确运用平方差公式进行计算了。

例1. 计算：①41212
422x x -æèçöø÷+æèçöø÷ ②2)32(y x -- 分析：①题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项42x ，另外一项
-12与12互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可用平方差公式进行计算。

②是一个二项式的乘方，且这个二项式的两项的符号相同故符合()a b a ab b +=++2222的形式特点，因此可用完全平方公式进行计算。

形式特点，因此可用完全平方公式进行计算。

解：①解：① 原式=-æèçöø÷=-()41216142224x x
② 原式22229124)3()3)(2(2)2(y xy x y y x x ++=-+--+-=
【点拨】：此类问题要求我们除注意公式的结构特点外，还要注意式子中符号的改变所引起的变化。

引起的变化。

三. 注意公式中字母的广泛意义
乘法公式中的字母既可以代表任意的数，又可以代表代数式，只有注意到字母所表示的意义的广泛性，就能扩大乘法公式的应用范围。

意义的广泛性，就能扩大乘法公式的应用范围。

例2. 计算：①)32)(32(c b a c b a +--+ ②()232x y +-。

分析：①本题是两个三项式相乘的形式，没有现成的乘法公式可直接运用，可这两个多项中的第一项的符号相同，项中的第一项的符号相同，后两项它们是符号相反，后两项它们是符号相反，后两项它们是符号相反，它符合平方差公式的特点形式，它符合平方差公式的特点形式，它符合平方差公式的特点形式，故我们故我们可把后两项看作为一项（一个整体）可把后两项看作为一项（一个整体），便可用平方差公式进行计算。

②本题是三项式的完全，便可用平方差公式进行计算。

②本题是三项式的完全平方，若把前两项（或后两项也可以）当作一项（一个整体），便可用二项式的完全平方公式计算。

式计算。

解：①原式)]32()][32([c b a c b a ---+=②原式[]=+-()232x y
22)32(c b a --= =+-++()()26292x y x y
)9124(222c bc b a +--= =++--+44126922
x xy y x y 2229124c bc b a -+-=
四. 注意合理使用乘法公式 有些题目可以使用不同的公式来解，要注意选择最佳解法。

有些题目可以使用不同的公式来解，要注意选择最佳解法。

例3、 计算：计算： ()()()()a a a a a a -+-+++1111222222
分析：此题若将四个因式都按完全平方公式展开再相乘，则运算相当繁琐，若先应用乘法的交换律和结合律再逆用积的乘方法则，然后利用立方和（差）公式来解，便可化繁为简。

解：原式[][]=-+++-+()()
()()a a a a a a 11112222
[]12)1()1)(1()1()1(6
12262332323+-=-=+-=+-=a a a a a a a 例4、计算：)101
1()411)(311)(211(2222----
解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏 而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解
原式=)10
11)(1011()411)(411)(311)(311)(211)(211(+-+-+-+- =20
111011211011109454334322321=´=´´´´´´´´ 五. 注意创造条件使用公式
有些题目，不能直接套用公式，不能直接套用公式，但是对原题目进行适当变形，但是对原题目进行适当变形，但是对原题目进行适当变形，使之具备公式的结构特点使之具备公式的结构特点后，便可利用公式来解。

后，便可利用公式来解。

例5、计算：22)111049()11150(-
解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将a 看作111
50
，将b 看作111049，逆用
平方差公式，则问题化繁为简，事半功倍平方差公式，则问题化繁为简，事半功倍 22)111049()11150(-=11200
112100)11104911150)(11104911150(=´=-+
例6、计算：1.1009.991002´-
解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将1.1009.99´变形为)1.0100)(1.0100(+-，再运用平方差公式，则问题迅速获解，再运用平方差公式，则问题迅速获解
1.1009.991002´-=01.0)1.0100(100)1.0100)(1.0100(1002
222=--=+-- 例7、 计算：()()231235x y x y ----+
分析：本题中的两个因式不符合乘法公式的特点，因而不能应用平方差公式来解。

但若将本题两个因式中的项分别进行拆项完形：将前一因式的“-1”拆成“-+32”，将后一因式的“5”拆成“3+2”，便可用平方差公式来计算。

”，便可用平方差公式来计算。

解：原式[][]
=-+----()()()()23232323y x y x =---=--+-()()232391241252222y x y y x x 六. 注意乘法公式的逆用
不仅要掌握乘法公式的正向应用，还要注意掌握公式的逆向应用，乘法公式均可逆用，乘法公式的逆用常用的是因式分解，另外还有完全平方公式的逆用就是配方，它是把一个二次三项式写成积的形式，即2222()a ab b a b ±+=±，其中二次三项式22
2a ab b ±+又叫完全平方式.由于平方式具有非负性,所以利用“配方法”,可以巧妙地解决许多非负数问题. 例8、计算：()()223232c b a c b a -+-+-
分析：本题为两个三项式的平方差，如果先去括号，再计算，则较繁.仔细观察可以发现
两个多项式，若逆用公式，则有的项相消，则可简化计算. 解：()()
223232c b a c b a -+-+-
＝()()[]()()[]c b a c b a c b a c b a 32323232-+-+--+++-
＝()c b a 624+-·
＝ac ab 248+-
例9、 设a b c d 、、、为四边形的四边长且a b c d abcd 44444+++=，试判别此四边形的形状。

边形的形状。

解： a b c d abcd 444440+++-=
配方得：a a b b c c d d a b c d abcd 422442242222222240-++-+++-=
即()()()a b c d ab cd 222222220-+-+-=
\-=-=-=\===\a b c d ab cd a b c d
a b c d 2222
000
，，以、、、为四边的四边形为菱形
【应用练习】：【应用练习】： 1、 若,x y 为有理数，且满足22312120x y y +-+=，求x y 的值．的值．
2 、已知2,5a b b c -=--=，求222a b c ab bc ac ++---的值．的值． 3、 试说明不论,x y 为何值时,代数式22
4614x y x y ++-+的值总是正数.
【应用解析】：【应用解析】：
1、分析：欲求x y 的值，须求出,x y 的值．由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达到解题目的．数的性质便可达到解题目的． 解：22312120x y y +-+=，22
3(44)0x y y +-+=，223(2)0x y +-=，
∵220,(2)0x y -≥≥，
∴220,(2)0x y =-=，即0,2x y ==，
∴x y =20=1．
2、分析：显然，本题若按一般方法，即先求出,,a b c 的值，再代入多项式求值，将十分困难．而我们发现，将求值式乘以2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式．因此，解决本题的关键是如何利用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解．
解：∵解：∵
2,5a b b c -=--=， ∴3a c -=， ∴222
a b c ab bc ac ++--- =2221(222222)2a b c ab bc ac ++---=()()()22212a b b c a c éù-+-+-ë
û =()22212532
éù-++ëû=19． 3、分析：本题实质就是证明2246140x y x y ++-+>.观察代数式不难发现，将14拆成4、9与1的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的．的． 解: 224614x y x y ++-+=2244691x x y y +++-++=22
(2)(3)1x y ++-+ ∵2(2)x +≥0,2
(3)y -≥0,
∴22(2)(3)1x y ++-+>0.即代数式224614x y x y ++-+的值总是正数.
七. 注意乘法公式的变形
根据题意，要善于对公式变形的应用，在解题中充分体现应用公式的思维灵活性和广泛性，常用的公式变形有：泛性，常用的公式变形有：
完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形：形：
(1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+
(2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+-
(3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+
(4) 22221[()()]2a b a b a b +=
++- (5) 221[()()]2ab a b a b =+-- (6) 222222
1[()()()]2
a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- 同学们在运用公式时，不应拘泥于公式的形式而要深刻理解、灵活运用。

同学们在运用公式时，不应拘泥于公式的形式而要深刻理解、灵活运用。

例10 、已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？形面积之和是多少？
解 设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75.
由公式(1)，有：，有：
α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略)
【应用练习】：【应用练习】：
1、 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积面积
2、 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.
【应用解析】：【应用解析】：
1、解 设长方形长为α，宽为b ，则12,4==-ab b a
由公式(2)，有：6412444)()(2
22=´+=+-=+ab b a b a
2、证明、证明
设整数为x ，则22b a x +=(α、b 都是整数). 由公式(3)，有2
222)()()(22b a b a b a x --+=+=得证得证
例11、已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.
解 设这两数分别为α、b ，则52,1022=+=+b a b a
由公式(5)，有：[]24)5210(21)()(21
2222=-=+-+=b a b a ab 【应用练习】：已知3,2,1+=+=+=x c x b x a 求：ac bc ab c b a ---++222的
值.
解析：由公式(6)有：有：
[]
[]3)411(212)1()1(21)()()(21
222222222=++´=+-+-=-+-+-=---++a c c b b a ac bc ab c b a 例12、 已知：a 、b 为自然数且a b +=40。

（1）求a b 22
+的最小值；（2）求ab 的最大值。

的最大值。

解：（1） a b a b a b 22222+=++-()()[]
22)(4021b a -+= 有最小值；
时，当222
0)(b a b a b a +=\³- 最小值为12408002´= （2） ab a b a b =+--141422()()22)(414041b a --´=2)(41400b a --= 。

有最大值，最大值为
时，当4000
)(2ab b a b a =\³- 【应用练习】：【应用练习】：
1、将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？积之和最小？
3、解、解
设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为S ，则由公式(4)，有：，有：
S=(x 4)2+(y 4)2=116(x 2+y 2) =132[(x+y)2+(x-y)2] =132
[642+(x-y)2]. ∵(x-y)2≥0，
∴当x=y 即(x-y)2
=0时，S 最小，其最小值为642
32=128(cm 2).
如应用不好会引起诸多方面的错误，下面就同学们在学习的运用的过程中出现的问题举
例说明。

例说明。

一、一、 平方差与完全平方公式混淆平方差与完全平方公式混淆 1、( x ( x –– 3y)2 = x 2 - 9y 2
2、( 2x + 3y)2 = 4x 2 + 9y 2
错因：这两个式子都是完全平方公式，应等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

倍。

正确解法：1、22222
(x-3y)23(3)69x x y y x xy y =-+=-+
2、22222(23)(2)223(3)4129x y x x y y x xy y +=++=-+
二、平方差公式结构特点模糊二、平方差公式结构特点模糊
( m + 3n ) ( -m - 3n ) = m 2 - 9n 2
错因：平方差公式左边必须是两式中一项相同，一项互为相反数。

m+ 3n 与-m - 3n 两
项都互为相反数，此题不能用平方差公式。

应用完全平方公式。

项都互为相反数，此题不能用平方差公式。

应用完全平方公式。

正确解法：正确解法：
2
2222( m + 3n ) ( -m - 3n ) =(m+3n)[-(m+3n)]=-(m+3n)[23(3)]69m m n n m mn n =-++=---
三、公式计算中项的概念不够明确，漏掉系数三、公式计算中项的概念不够明确，漏掉系数
( 2x + y ) ( 2x ( 2x + y ) ( 2x –– y ) = 2x 2 - y 2
错因：式子在计算中都没有明确“项”的概念，包括字母前面的系数，因此在平方时漏掉了系数。

应是2x 与y 这两项的平方差。

这两项的平方差。

正确解法：2222( 2x + y ) ( 2x - y ) =(2)4x y x y -=-
四、公式中的符号错误四、公式中的符号错误
1、( -a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
2、( -a ( -a –– b )2 = a 2 - 2ab - b 2
错因：公式中各项的符号特点及公式右边各项与公式左边两项的的关系理解模糊，出现了符号错误。

现了符号错误。

正确解法：1、22222( -a + b ) = (-a) + 2(-a)b + b 2b a ab =-+
2、22222( -a - b ) = (-a) - 2(-a)b + b 2b a ab =++
或22222( -a - b ) = (-a) + 2(-a)(b) +(- b)2b a ab -=++
例 1 已知下列计算:①(x-y)(-x-y);②(-x+y)(x-y);③(-x-y)(x+y);④(x-y)(y-x).其中能利用公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2计算的有_______.
【错】能利用公式计算的有:①②③.
【析】公式为:(a+b)(a-b)=a 2-b 2,即两个数的和与两个数的差的积,等于这两个数的平方差.如果两个多项式相乘能利用公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2,则必须符合公式的特征.已知①中的-y 相当公式中的a, x 相当于公式中的b,所以可以利用公式,而②、③都不符合公式的特征，即不是两个数的和与两个数的差的形式，所以不能利用公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2.
【正】填①.
例2 计算：(2x-3y)(2x+3y).
【错】【错】
(2x-3y)(2x+3y)=2x 2-3y 2. 【析】【析】
公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2中的a 、b 可以是一个具体的数字或字母，也可以是一个单项式或多项式.已知式子中的2x 和3y 都是单项式，相当于公式中的a 、b ，所以在计算时应用括号括起来.
【正】(2x-3y)(2x+3y)=(2x)2-(3y)2=2x 2-9y 2.
例3 运用公式计算: (-x-3y)(x-3y).
【错】【错】
(-x-3y)(x-3y)=(-x)2-(3y)2=x 2-9y 2. 【析】利用公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2计算一定要“对号入座”即找准公式中的a 、b ，这里的-3y 相当公式中的a ，而x 则相当于公式中的b.错解在把a 、b 的位置颠倒了.
【正】(-x-3y)(x-3y)=(-3y-x)(-3y+x)=(-3y)2-x 2=9y 2-x 2.
例4 计算:(3x+4)(3x-4)-(x+2)(x-2).
【错】【错】
(3x+4)(3x-4)-(x+2)(x-2)=9x 2-4-x 2-2=8x 2-6. 【析】【析】
在错解中有三处错误: (1)计算(3x+4)(3x-4)时,没能正确地使用公式,结果没有将4平方,(2)计算(x+2)(x-2)时也没有将数字2平方;(3)出现符号错误.
【正】【正】 (3x+4)(3x-4)-(x+2)(x-2)=(3x)2-42-(x 2-22) =9x 2-16-x 2+4=9x 2-12.
例5 计算计算
(-x 2+5y)(-x 2-5y). 【错】【错】
(-x 2+5y)(-x 2-5y)=-(x 2)2-(5y)2=-x 4-25y 2. 【析】【析】
错解在将x 2当成了公式中的a,实际上是-x 2相当于公式中的a. 【正】【正】 (-x 2+5y)(-x 2-5y)=(-x 2)2-(5y)2=x 4-25y 2.
例6 计算(2x+y+z)(2x-y-z).
【错】【错】
(2x+y+z)(2x-y-z)=[(2x+y)+z][(2x-y)-z] =(2x)2-y 2-z 2=4x 2-y 2-z 2. 【析】本题错解在分组中,将前两项分成一组,误认为可以利用公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2,而实际上
[(2x+y)+z][(2x-y)-z]并不满足公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2.所以这种分组是错误的.
【正】【正】
(2x+y+z)(2x-y-z)=[2x+(y+z)][2x-(y+z)] =(2x)2-(y+z)2=4x 2-(y 2+2yz+z 2)=4x 2-y 2-2yz-z 2.。