上海市七年级数学 图形变换之折叠问题强化解析
初中几何翻折变换问题题型梳理
翻折问题题型梳理折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
我们一起来探这类题目如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。
类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x +3 ＝（9﹣x），解得x＝4．即BN＝4．故选：A．变式1．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．25/4 B．22/3 C．7/4 D．5/3解：由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），∵∠C＝90°，∴AD﹣CD＝AC ,（8﹣x）﹣x＝36，解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．变式2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EH G，且F落在线段E G上，当G F＝G H时，则BE的长为_____．解：由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE +EH2 ＝AH，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝E G，再根据勾股定理，即可得到方程x +4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．策略：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。
初中数学难点突破几何变换之图形折叠问题
初中几何变换知折叠问题模块一 正方形的折叠1、如图，将一张正方形纸片ABCD 对折，使CD 与AB 重合，得到折痕MN 后展开，E 为CN 上一点，将△CDE 沿DE 所在的直线折叠，使得点C 落在折痕MN 上的点F 处，连接AF ，BF ，BD .则下列结论中：△△ADF 是等边三角形；△t an △EBF ＝2－√3；△S △ADF ＝13S 正方形ABCD ；△BF 2＝DF ·EF .其中正确的是( )A. △△△ B ．△△△ C ．△△△ D ．△△△【解析】△四边形ABCD 是正方形，△AB =CD =AD ，△C =△BAD =△ADC =90°，△ABD =△ADB =45°，由折叠性质：MN 垂直平分AD ，FD =CD ，BN =CN ，△FDE =△CDE ，△DFE =△C =90°，DEF =△DEC ，△FD =F A ，△AD =FD =F A ，即△ADF 是等边三角形，△正确；设AB =AD =BC =4a ，则MN =4a ，BN =AM =2a ，△△ADF 是等边三角形，△△DAF =△AFD =△ADF =60°，F A =AD =4a ，M =√3AM =2√3a ， △FN =MN -FM =（4-2√3）a ，△t an △EBF =FN BN =4−2√32=2-√3，△正确； △△ADF 的面积=12AD •FM =12×4a ×2√3a =4√3a 2，正方形ABCD 的面积=（4a ）2=16a 2，△S ΔADFS 正方形ABCD =4√316=√34，△错误；△AF =AB ，△BAF =90°-60°=30°，△△AFB =△ABF =75°， △△DBF =75°-45°=30°，△BFE =360°-90°-60°-75°=135°=△DFB ，△△BEF =180°-75°-75°=30°=△DBF ，△△BEF △△DBF ，△BF DF ＝EF BF ，△BF 2=DF •EF ，△正确；选B ．【小结】本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．2、如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 是BC 上一点，BE Q 是CD 上一动点，将△CEQ 沿直线EQ 折叠后，点C 落在点P 处，连接P A ．点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动，当P A 的长度最小时，CQ 的长为（ ）A ．3B ．3C ．32D ．3【解析】：如图所示：在R t△ABE 中，AE =．△BC =3，BE =，△EC =3-．由翻折的性质可知：PE =CE =3-．△AP +PE ≥AE ，△AP ≥AE -PE ．△当点A 、P 、E 一条直线上时，AP 有最小值．△AP =AE -PE =2-（3-）=3-3．故选A ．3、如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，3AE =，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF ∆沿EF 折叠，点B 落在'B 处，若'CDB ∆恰为等腰三角形，则'DB 的长为______.【解析】需分三种情况讨论：（1）若'DB DC =，则'16DB =（易知此时点F 在BC 上且不与点C 、B重合）；（2）若'CB CD =，因为'EB EB =，'CB CB =，所以点E 、C 在'BB 的垂直平分线上，则EC 垂直平分'BB ，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，则这种情况不成立；（3）如图，若''CB DB =，作'B G AB ⊥与AB 交于点G ，交CD 于点H .因为AB CD ∥，所以'B H CD ⊥.因为''CB DB =，所以182DH CD ==，所以8AG DH ==，则5GE AG AE =-=，因为'13B E BE ==.在'Rt B EG ∆中，由勾股定理求得'12B G =，所以''4B H GH B G =-=.在'Rt B DH ∆中，由勾股定理求得'DB =综上，'16DB =或【小结】本题考查折叠性质和勾股定理，本题关键在于能够对等腰三角形的情况进行分类讨论4、如图，将边长为6的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N（1）若CM =x ，则CH = （用含x 的代数式表示）；（2）求折痕GH 的长．解析（1）△CM =x ，BC =6，△设HC =y ，则BH =HM =6﹣y ，故y 2+x 2=（6﹣y ）2，整理得：y =﹣x 2+3，△△HMC +△MHC =90°，△△EMD =△MHC ， △△EDM △△MCH ，△=，△=，得：HC =﹣x 2+2x ，答案：﹣x 2+3或﹣x 2+2x ；（2）△四边形ABCD 为正方形，△△B =△C =△D =90°， 设CM =x ，由题意可得：ED =3，DM =6﹣x ，△EMH =△B =90°，故△HMC +△EMD =90°，△△HMC +△MHC =90°，△△EMD =△MHC ，△△EDM △△MCH ，△=，即=，解得：x 1=2，x 2=6，当x =2时，△CM =2，△DM =4，△在R t△DEM 中，由勾股定理得：EM =5，△NE =MN ﹣EM =6﹣5=1，△△NEG =△DEM ，△N =△D ，△△NEG △△DEM ，△=，△=，解得：NG =，由翻折变换的性质，得AG =NG =，过点G 作GP △BC ，垂足为P ，则BP =AG =，GP =AB =6， 当x =2时，CH =﹣x 2+3=，△PH =BC ﹣HC ﹣BP =6﹣﹣=2，在R t△GPH中，GH===2．当x=6时，则CM=6，点H和点C重合，点G和点A重合，点M在点D处，点N在点A处．MN同样经过点E，折痕GH的长就是AC的长．所以，GH长为6．5、在正方形ABCD中，（1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且△AOF=90°．求证：AE=BF．（2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC=5，CM=2，求EF的长．【解析】（1）如图1，△四边形ABCD是正方形，△AB=BC，△ABE=△BCF=90°，△△AOF=90°，△△BAE+△OBA=90°，又△△FBC+△OBA=90°，△△BAE=△CBF，在△ABE和△BCF中△，△△ABE△△BCF（ASA）．△AE=BF．（2）由折叠的性质得EF△AM，过点F作FH△AD于H，交AM于O，则△ADM=△FHE=90°，△△HAO+△AOH=90°、△HAO+△AMD=90°，△△POF=△AOH=△AMD，又△EF△AM，△△POF+△OFP=90°、△HFE+△FEH=90°，△△POF=△FEH，△△FEH=△AMD，△四边形ABCD是正方形，△AD=CD=FH=5，在△ADM和△FHE中，△，△△ADM△△FHE（AAS），△EF=AM===6、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，∠BFC=90°，求的值．【解析】如图，延长EF交CB于M，连接CM，△四边形ABCD是正方形，△AD=DC，△A=△BCD=90°，△将△ADE沿直线DE对折得到△DEF，△△DFE=△DFM=90°，在R t△DFM与R t△DCM中，，△R t△DFM△R t△DCM，△MF=MC，△△MFC=△MCF，△△MFC+△BFM=90°，△MCF+△FBM=90°，△△MFB=△MBF，△MB=MC，设MF=MC=BM=a，AE=EF=x，∵BE2+BM2=EM2，即（2a﹣x）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，∴AE=a，∴==3．理由；（2）他将正方形O DEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．【分析】（1）根据正方形的性质可得A O=C O，O D=O F，△A O C=△D O F=90°，然后求出△A O D=△C O F，再利用“边角边”证明△A O D 和△C O F 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；【解析】（1）AD =CF ．理由如下：在正方形ABC O 和正方形O DEF 中，A O=C O ，O D =O F ，A O C =△D O F =90°，△△A O C +△C O D =△D O F +△C O D ，即△A O D =△C O F ，在△A O D 和△C O F 中，AO CO AOD COF OD OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△A O D △△C O F （S A S ），△AD =CF ；8、在一个边长为a （单位：cm ）的正方形ABCD 中，点E 、M 分别是线段AC ，CD 上的动点，连结DE 并延长交正方形的边于点F ，过点M 作MN △DF 于H ，交AD 于N ．（1）如图1，当点M 与点C 重合，求证：DF =MN ；（2）如图2，假设点M 从点C 出发，以1cm /s 的速度沿CD 向点D 运动，点E 同时从点A 出发，以速度沿AC 向点C 运动，运动时间为t （t ＞0）；△判断命题“当点F 是边AB 中点时，则点M 是边CD 的三等分点”的真假，并说明理由．△连结FM 、FN ，△MNF 能否为等腰三角形？若能，请写出a ，t 之间的关系；若不能，请说明理由．【分析】（1）证明△ADF △△DNC ，即可得到DF =MN ；（2）△首先证明△AFE △△CDE ，【解析】（1）证明：△△DNC+△ADF=90°，△DNC+△DCN=90°，△△ADF=△DCN．（II）若FN=FM，由MN△DF，H N=H M，△DN=DM=MC，△t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC△△NMD，△FC=DM=a-t；又由△NDM△△DCF，△DN DCDM FC=，即t aa t FC=-，△FC=()a a tt-．△()a a tt-=a-t，△t=a，此时点F与点C重合．9、如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥A G，垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段A G上取点H，使得A G=DE+HG，连接B H．求证：∠AB H=∠CDE．证明：如图，在正方形ABCD中，AB=AD，△AB G=△DAF=90°，△DE△A G，△△2+△EAD=90°，又△△1+△EAD=90°，△△1=△2，在△AB G和△DAF中，1 290AB ADABG DAF=⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，△△AB G△△DAF（A S A），△AF=B G，A G=DF，△AFD=△B G A，△A G=DE+HG，A G=DE+EF，△EF=HG，在△AEF和△B HG中，AF BGAFD BGAEF HG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEF△△B HG（S A S），△△1=△3，△△2=△3，△△2+△CDE=△ADC=90°，△3+△AB H=△ABC=90°，△△AB H=△CDE．10、如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME△CD交BC于点E，作MF△BC交CD于点F．求证：AM=EF．证明：过M点作MQ△AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，∵四边形ABCD是正方形，∴四边形MFDQ和PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，∵在△APM和△FME中，AP MFAPM FMEPM ME=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APM≌△FME（S A S），∴AM=EF．专题二 矩形的折叠中的距离或线段长度问题【典例】在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A’处，折痕为PQ ，当点A’在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动. 若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A’在BC 边上可移动的最大距离为 .图例1-1 图例1-2 图例1-3【解析】 ①当点Q 与点D 重合时，A '的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A '的位置方法：因为在折叠过程中，A 'Q =AQ ，所以以点Q 为圆心，以AQ 长为半径画弧， BC 的交点即为点A '. 再作出∠A 'QA 的角平分线，与AB 的交点即为点P .由折叠性质可知，AD = A 'D =5，在Rt △A 'CD 中，由勾股定理得，'4A C ===②当点P 与点B 重合时，点A '的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A '的位置方法：因为在折叠过程中，A 'P =AP ，所以以点P 为圆心，以AP 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '. 再作出∠A 'P A 的角平分线，与AD 的交点即为点Q . 由折叠性质可知，AB = A 'B =3，所以四边形AB A 'Q 为正方形. 所以A 'C =BC －A 'B =5－3=2.综上所述，点A 移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.1、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A ′处，当△A ′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或3【分析】根据△A ′DC 为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A 'D =A 'C ，②A 'D =DC ，③CA '=CD ，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．【解析】①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB∴A'A=A'B，由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP，∴△ABA'是等边三角形，∴∠ABP=30°，∴AP=23333 ==；②如图，当A'D=DC时，A'D=2由折叠得，A'B=AB=2，∴A'B+A'D=2+2=4连接BD，则R t△ABD中，BD=22222425AB AD+=+=，∴A'B+A'D＜BD（不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD=CA'时，CA'=2由折叠得，A'B=AB=2，∴A'B+A'C=2+2=4，∴点A'落在BC上的中点处此时，∠ABP=12∠ABA'=45°，∴AP=AB=2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为233或2．故选C.【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3 B．32C．2或3 D．3或32【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，点B落在AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在R t△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是( )A ．PG CG =13B ．△PBC 是等边三角形 C ．AC ＝2APD ．S △B G C ＝3S △A G P 【解析】如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°；由勾股定理得：AC 2＝AB 2+BC 2，而AB ＝√3，BC ＝3，∴AC ＝2√3，AB ＝12AC ， ∴∠ACB ＝30°；由翻折变换的性质得：BP ⊥AC ，∠ACB ＝∠ACP ＝30°，BC ＝PC ，AB ＝AP ，B G ＝P G ，∴G C ＝√3B G ＝√3P G ，∠BCP ＝60°，AC ＝2AP ，∴△BCP 为等边三角形，故选项B 、C 成立，选项A 不成立；由射影定理得：B G 2＝C G •A G ，∴A G ＝√33B G ，C G ＝3A G ，∴S △BC G ＝3S △AB G ； 由题意得：S △AB G ＝S △A G P ，∴S △B G C ＝3S △A G P ，故选项D 正确；故选：A ．4、如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．【解析】四边形ABCD 是矩形, ∴ 5CD AB ==,3AD BC ==,90B C A ︒∠=∠=∠= DEP ∆是由CDP ∆沿DP 折叠而来的，∴5DE CD ==,EP CP = ,90E C ︒∠=∠=B E ∴∠=∠，又,FOE POB OP OF ∠=∠= ，∴OEF OBP ∆≅∆（AA S ）,EF BP OE OB ∴==，BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==设=EF BP x =,则5,3DF x BF CP x =-==- ，5(3)2AF AB BF x x ∴=-=--=+在Rt ADF ∆中，根据勾股定理得：222AD AF DF += ,即2223(2)(5)x x ++=- 解得67x = 620277AF ∴=+= 故答案为：207【小结】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解题的关键.5、如图，在矩形ABCD 中， AB =3，BC =2，点E 为线段AB 上的动点，将△CBE 沿 CE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，则AF 的最小值为__．【分析】通过观察可以发现，当∠AFE =90°时 ，AF 最小；然后设BE =x ，则：EF =x ，AE =3-x ，然后多次使用勾股定理即可解答；【解析】设BE =x ，则：EF =x ，AE =3-x ，在R t △ABC 中，由勾股定理得：AC在R t △EBC 中，由勾股定理得:EC由折叠可知CF =CB =2，所以：AF =AC -CF6、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【解析】如图，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA ′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠AEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在R t △BCE 中，EC，∴CF ＝CE ＝，∵AB ＝CD ＝6，∴DF ＝CD﹣CF ＝6﹣，当点F 在DC 的延长线上时，易知EF ⊥EF ′，CF ＝CF ′＝，==∴DF＝CD+CF′＝，故答案为6﹣或．7、如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，在R t△A′CD与R t△DBA中，，∴R t△A′CD≌R t△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，【小结】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【解析】连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．9、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在R t△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5，故答案为：510、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在R t△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在R t△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC 延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中，∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在R t△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在R t△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．13、长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠F AE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠性质：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在R t△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在R t△CEG和△FEG中，，∴R t△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在R t △ABG 中，由勾股定理得：62+（10﹣y ）2=（10+y ）2，解得：y =，即CG 的长为．模块三 矩形折叠问题中的类比问题 【典例】如图例2-1，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△G BE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将B G 延长交DC 于点F ，认为G F =DF ，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求AD AB的值； （3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求AD AB的值．图例2-1 图例2-2【解析】（1）同意，理由如下：如图例2-2，连接EF ，∵E 是AD 的中点，∴AE =ED由折叠及矩形性质得：AE =E G ，∠E G F =∠D =90°，所以，E G =DE在R t △EF G 和R t △EFD 中，∵EF =EF E G =DE ，∴R t △EF G ≌R t △EFD （HL ），∴DF =F G（2）根据DC =2DF ，设DF =FC =x ，AE =ED =y ，由折叠性质及（1）知BF =B G +G F =AB +G F =3x在R t △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2 ，(3x )2=(2y )2+x 2 ，即：2y x ，∴（3）设AE =ED =y ，DF =x ，根据DC =nDF ，得CD =nx ，FC =(n －1)x ；由折叠性质及矩形性质知：BF =B G +G F =AB +G F =(n +1)x在R t △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2A EB C FG[(n +1)x ]2=(2y )2+[(n -1)x ]2 ，即：，∴1、如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且O P =O F ，则AD DF的值为A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719【解析】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△O EF 和△O BP 中，∵90EOF BOP B E OP OF ∠∠∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩，∴△O EF ≌△O BP （AA S ），∴O E =O B ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．又∵BF =O B +O F =O E +O P =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，∴AF =AB ﹣BF =1+x ．在R t △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2，解得：x =0.6， ∴DF =4﹣x =3.4，∴1517AD DF =．故选C ． 2、如图，以矩形AB O D 的两边O D 、O B 为坐标轴建立直角坐标系，若E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△G BE ，延长B G 交O D 于F 点．若O F ＝1，FD ＝2，则G 点的坐标为【解析】连结EF ，作GH ⊥x 轴于H ，如图，∵四边形AB O D 为矩形，∴AB =O D =O F +FD =1+2=3．∵△ABE 沿BE 折叠后得到△G BE ，∴BA =B G =3，EA =E G ，∠B G E =∠A =90°．∵点E 为AD 的中点，∴AE =DE ，∴G E =DE ．在R t △DEF 和R t △G EF 中，∵ED EG EF EF =⎧⎨=⎩，∴R t △DEF ≌R t △G EF （HL ），∴FD =F G =2∴BF =B G +G F =3+2=5．在R t △O BF 中，O F =1，BF =5，∴O B =∵GH ∥O B ，∴△F GH ∽△FB O ，∴GH FH FG OB OF FB==，215FH ==，∴GH =F H 25=，∴OH =O F ﹣H F =12355-=，∴G 点坐标为（35） 3、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是边AB 上一点，且AE =2EB ，点P 是边BC 上一点，连接EP ，过点P 作PQ ⊥PE 交射线CD 于点Q ．若点C 关于直线PQ 的对称点正好落在边AD 上，求BP 的值．【解析】过点P 作PE ⊥AD 于点E ，∴∠PEC '=90°∵矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，∴∠EAB =∠B =∠C =∠QDC '=90°，CD =AB =3，∴四边形CPED 是矩形，∴DE =PC ，PE =CD =3∵AE =2EB ，∴AE =2，EB =1，设BP =x ，则DE =PC =4﹣x∵点C 与C '关于直线PQ 对称，∴△PC 'Q ≌△PCQ ，∴PC '=PC =4﹣x ，C 'Q =CQ ，∠PC 'Q =∠C =90°∵PE ⊥PQ ，∴∠BPE +∠CPQ =90°，又∵∠BEP +∠BPE =90°，∴∠BEP =∠CPQ ，∴△BEP ∽△CPQ，同理可证：△PEC'∽△C'DQ，∴，，∴CQ==x（4﹣x）∴C'Q=x（4﹣x），DQ=3﹣x（4﹣x）=x2﹣4x+3∴，∴C'D=3x，EC'=∵EC'+C'D=DE，∴，解得：x1=1，x2=∴BP的值为1或4、已知一个矩形纸片O ACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕O P．设BP=t．（1）如图①，当∠B O P=30°时，求点P的坐标；（2）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，求m（用含有t的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边O A上时，求点P的坐标（直接写出结果）．【解析】（1）根据题意，∠O BP=90°，O B=6，在R t△O BP中，由∠B O P=30°，BP=t，得O P=2t．∵O P2=O B2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△O B′P、△QC′P分别是由△O BP、△QCP折叠得到的，∴△O B′P≌△O BP，△QC′P≌△QCP，∴∠O PB′=∠O PB，∠QPC′=∠QPC，∵∠O PB′+∠O PB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠O PB+∠QPC=90°，∵∠B O P+∠O PB=90°，∴∠B O P=∠CPQ，又∵∠O BP=∠C=90°，∴△O BP∽△PCQ，∴=，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m．∴=，∴m=t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥O A于E，如图3，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴=，在△PC′E和△O C′B′中，，∴△PC′E≌△O C′B′（AA S），∴PC'=O C'=PC，∴BP=AC'，∵AC′=PB=t，PE=O B=6，AQ=m，EC′=11﹣2t，∴=，∵m=t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36=0，解得：t1=，t2=故点P的坐标为（，6）或（，6）．5、如图，在矩形ABCD中，AB=6，点E在边AD上且AE=4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A1、B1与点C在同一直线上，A1B1与边AD交于点G，如果D G=3，那么BF的长为．【解析】∵△CD G∽△A'E G，A'E=4，∴A'G=2，∴B'G=4，由勾股定理可知C G'=则CB'=由△CD G∽△CFB'设BF=x，，∴，解得x=6、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，∠BFC=90°，求的值．【解析】如图，延长EF交CB于M，连接CM，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠A=∠BCD=90°，∵将△ADE沿直线DE对折得到△DEF，∴∠DFE=∠DFM=90°，在R t△DFM与R t△DCM中，，∴R t△DFM≌R t△DCM，∴MF=MC，∴∠MFC=∠MCF，∵∠MFC+∠BFM=90°，∠MCF+∠FBM=90°，∴∠MFB=∠MBF，∴MB=MC，设MF=MC=BM=a，AE=EF=x，∵BE2+BM2=EM2，即（2a﹣x）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，∴AE=a，∴==3．7、（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为．（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为G F，点A，B分别落在点A′，B′处，若A G=，求B′D的长；【验一验】如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI ，点A ，B 分别落在点A ′，B ′处，小明认为B ′I 所在直线恰好经过点D ，他的判断是否正确，请说明理由．模块四 图形折叠中的直角三角形存在性问题【典例1】如图例3-1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为图例3-1图例3-2 图例3-3【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知∠BED =∠DEF =60°，所以∠AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点.分两种情况考虑：①当∠EAF =90°时，如图例3-2所示.∵∠B =30°，BC =3，∴30AC tan BC =︒⨯=，2AB AC =，∵∠EAF =90°∴∠AFC =60°，∠CAF =30°在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷，24BF AF == 由折叠性质可得：∠B =∠DFE =30°，122BD DF BF === ②当∠AFE =90°时，如图例3-3所示.由折叠性质得：∠B =∠DFE =30°，122BD DF BF ===∴∠AFC =60°，∠F AC =30°∴tan 1CF FAC AC =∠⨯==，所以，BF =2，112BD DF BF ===，综上所述，BD 的长为2或1.【小结】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；②解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.【典例2】如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ．图例4-1 图例4-2图例4-3 【解析】此题以“当△CEB ′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B ′及点E 分别为直角顶点.分两种情况考虑：①当∠CEB ′=90°时，如图例4-2所示.由折叠性质得：AB =AB ′，四边形ABE B ′是矩形.所以四边形ABE B ′是正方形.此时，BE =AB =3.②当∠CB ′E =90°时，如图例4-3所示.由折叠性质知，∠AB ′C =90°，所以∠AB ′C+∠CB ′E =180°.∴点A 、B ′、C 共线在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC =5，由折叠得：AB = AB ′=3，所以B ′C =2设BE =x ，则B ′E =x ，EC =4－x ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：EC 2=B ′E 2+B ′C 2即：（4-x ）2=x 2+22 解得：x =1.5.综上所述，BE 的值为3或1.5.【典例3】如图例5-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．图例5-1 图例5-2 图例5-3 【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.①当∠CM B ′=90°时，如图例5-2所示.由折叠知：∠BMN =∠B ′MB =45°，又因为∠B =45°，所以∠BNM =90°，∠MNB ′=90°即∠BNM +∠MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合. 所以，12BM BC == ①当∠CB ′M =90°时，如图例5-3所示.由折叠知∠B =∠B ′=45°，因为∠C =45°，可得∠B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形，设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC = x ，因为BC +1，所以x +1，解得：x =1，即BM =1.综上所述，BM 或1. 【典例4】如图例6-1，在∠MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A’BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称. D 、E 分别为AC 、BC 的中点，连接DE 并延长交A’B 所在直线于点F ，连接A’E . 当△A’EF 为直角三角形时，AB 的长为 .图例6-1图例6-2 图例6-3 【解析】分两种情况讨论.①当∠A’FE=90°时，如图例6-2所示.∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是三角形ABC的中位线，即DE∥BA∴∠A’BA=90°，∴四边形AB A’C为矩形由折叠得AC=A’C，∴四边形AB A’C为正方形，即AB=AC=4.②当∠A’EF=90°时，如图例6-3所示.∵∠A’EF=∠CDE=90°，∴A’E∥CD，∴∠DCE=∠CEA’由折叠知：∠DCE=∠A’CE，∴∠CEA’=∠A’CE，∴A’C=A’E=4又∵E是BC中点，即A’E是Rt△A’BC的中线，∴BC=2A’E=8在Rt△A’BC中，由勾股定理得，A’B=由折叠性质得：AB= A’B=综上所述，AB的长为4或.【小结】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解.1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB ′E =∠B =90°，当△CEB ′为直角三角形时，只能得到∠EB ′C =90°，∴点A 、B ′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，∴EB =EB ′，AB =AB ′=3，∴CB ′=5-3=2，设BE =x ，则EB ′=x ，CE =4-x ，在R t △CEB ′中，∵EB ′2+CB ′2=CE 2，∴x 2+22=（4-x ）2，解得x =32，∴BE =32； ②当点B ′落在AD 边上时，如图2所示．此时ABEB ′为正方形，∴BE =AB =3．综上BE 长为32或3 2、如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP =OF ，则AD DF的值为A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719【解析】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∵90EOF BOP B E OP OF ∠∠∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩，∴△OEF ≌△OBP （AA S ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，∴AF =AB ﹣BF =1+x ．在R t △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2，解得：x =0.6，∴DF =4﹣x =3.4，∴1517AD DF =．故选C ．3、如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 是BC 上一点，BE Q 是CD 上一动点，将△CEQ 沿直线EQ 折叠后，点C 落在点P 处，连接P A ．点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动，当P A 的长度最小时，CQ 的长为（ ）A ．3B ．3C ．32D ．3【解析】如图所示：在R t △ABE 中，AE =．∵BC =3，BE =，∴EC =3-．由翻折的性质可知：PE =CE =3-．∵AP +PE ≥AE ，∴AP ≥AE -PE ．∴当点A 、P 、E 一条直线上时，AP 有最小值．∴AP =AE -PE =2-（3-）=3-3．故选A ．4、如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把矩形沿AE 折叠，使点B 落在点B '处．当CEB '∆为直角三角形时，BE 的长为____________．【解析】由题意知，需分两种情况讨论：①当90CB E ︒'∠=时，如图1，由折叠得，90AB E B ︒'∠=∠=，AB AB '=，∴180AB C ︒'∠=，∴,,A B C '三点共线．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，∴5AC =．∵AB AB 3'==，∴2B C AC AB ''=-=．设BE x =，则4CE BC BE x =-=-，B E x '=，在Rt B CE '∆中，222B E B C CE ''+=，即2222(4)x x +=-，解得32x =． ②当90B EC ︒'∠=时，如图2，由折叠可知ABE AB E '∆∆≌，∴BE B E '=，90B AB E ︒'∠=∠=，∴四边形ABEB '是正方形，∴3BE AB ==．综上，当CEB '∆为直角三角形时，BE 的长为32或3．5、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【解析】如图，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA ′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠AEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在R t △BCE 中，EC = =，∴CF ＝CE ＝AB ＝CD ＝6，∴DF ＝CD ﹣CF ＝6﹣，当点F 在DC 的延长线上时，易知EF ⊥EF ′，CF ＝CF ′＝，∴DF ＝CD +CF ′＝6、如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =45°，AB =4，点P 为线段AB 上一动点，过点P 作PE ⊥AB 交直线AD 于点E ，将∠A 沿PE 折叠，点A 落在F 处，连接DF ，CF ，当△CDF 为直角三角形时，线段AP 的长为__________．【分析】分两种情形讨论：①如图1，当DF ⊥AB 时，△CDF 是直角三角形；②如图2，当CF ⊥AB 时，△DCF 是直角三角形，分别求出即可．【解析】分两种情况讨论：①如图1，当DF ⊥AB 时，△CDF 是直角三角形．∵在菱形ABCD 中，AB =4，∴CD =AD =AB =4．在R t △ADF 中，∵AD =4，∠DAB =45，DF =AF AP 12=AF = ②如图2，当CF ⊥AB 时，△DCF 是直角三角形．在R t △CBF 中，∵∠CFB =90°，∠CBF =∠A =45°，BC =4，∴BF =CF ，∴AF ，∴AP 12=AF =2．综上所述：线段AP 2 【小结】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，正确画出图象，注意分类讨论的思想，属于中考常考题型．模块五 图形折叠中的等腰三角形存在性问题【精典讲解】1、如图例7-1，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 .图例7-1 【解析】根据△CDB ′为等腰三角形，以CD 为腰或底分三种情况讨论，①DB ′=DC ；②CB ′=CD ；③CB ′=DB ′. 对于①DB ′=DC ，作图方法以E 为圆心BE 长为半径作弧，以D 为圆心CD 长为半径作弧，两弧交点即为B ′. 对于②CB ′=CD ，作图方法以E 为圆心BE 长为半径作弧，以C 为圆心CD 长为半径作弧，两弧交点即为B ′. 对于③CB ′=DB ′，作图方法以E 为圆心BE 长为半径作弧，弧与CD 垂直平分线的交点为B ′.图例7-2 图例7-3 图例7-4详解：①DB ′=DC ， 如图例7-2所示.易知：DB ′=DC =16.②CB ′=CD ，如图例7-3所示.由折叠性质可知：BF = B ′F =CD =16，此时F 点与C 点重合，不符题意. ③CB ′=DB ′，如图例7-4所示.由题意得，DN =CN =8，因为AE =3，所以EM =5. B ′E =BE =13.在Rt △EB ′M 中，由勾股定理得，B ′M =12. 所以B ′N =4.在Rt △DB ′N 中，由勾股定理得，B ′D =54. 综上所述，B ′D 的长为16或54.【小结】以CD 为腰或底分三种情况讨论，排除其中一种，利用勾股定理求解.【针对训练】2、如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长【分析】作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．【解析】作CH AB ⊥于H ，如图，菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠=，ABC ∆∴为等边三角形，CH AB ∴==4AH BH ==，3PB =，1HP ∴=，在Rt CHP ∆中，7CP ==，梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，APQ CPQ ∴∠=∠，而//CD AB ，APQ CQP ∴∠=∠，CQP CPQ ∴∠=∠，7CQ CP ∴==.【小结】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A ′在PC 上时。
七年级折叠问题解题技巧
七年级折叠问题解题技巧一、折叠问题中的基本性质与关系1. 折叠性质在折叠过程中，折叠前后的图形全等。
这意味着对应边相等，对应角相等。
例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，折叠后的三角形与原三角形的对应边长度不变，对应角的大小也不变。
折痕是对应点连线的垂直平分线。
比如将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A与点C重合，那么EF就是AC的垂直平分线。
2. 常见的几何图形中的折叠三角形折叠例1：在△ABC中，∠C = 90°，将△ABC沿着直线DE折叠，使点A与点B 重合，若AC = 6，BC = 8，求折痕DE的长。
解析：因为点A与点B重合，所以DE是AB的垂直平分线。
先根据勾股定理求出AB=公式。
设AB中点为F，则AF=公式。
由于△ADE和△BDE全等，所以AD = BD。
设BD = x，则AD = x，CD = 8 x。
在Rt△ACD中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。
再根据相似三角形，△ADE∽△ABC，公式，即公式，解得DE=公式。
矩形折叠例2：矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将矩形沿对角线AC折叠，求重叠部分（△AEC）的面积。
解析：因为矩形沿对角线AC折叠，所以△ADC≌△AEC。
设AE = x，则BE = 4 x。
在Rt△ABE中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。
所以公式。
二、解题步骤与技巧1. 步骤第一步：根据折叠性质确定相等的边和角。
这是解决折叠问题的基础，只有明确了这些关系，才能进一步进行计算。
第二步：设未知数。
通常根据所求的量或者与所求量相关的线段设未知数，然后利用勾股定理、相似三角形等知识建立方程。
第三步：求解方程。
通过解方程得到未知数的值，从而求出最终答案。
2. 技巧利用勾股定理在直角三角形中，折叠后常常会形成新的直角三角形，此时可以利用勾股定理建立方程求解。
如上述矩形折叠的例子中，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度。
利用相似三角形当折叠后的图形与原图形存在相似关系时，利用相似三角形的对应边成比例来求解。
数学折叠问题初一
数学折叠问题初一数学折叠问题是一种典型的几何问题，它涉及到图形在空间中的变换和计算。
在初中阶段，数学折叠问题不仅能帮助学生巩固几何知识，还能提高他们的空间想象力和逻辑思维能力。
本文将从数学折叠问题的概念、应用场景、解决方法以及在初中的教学意义等方面进行详细阐述。
一、数学折叠问题的概念与基本原理数学折叠问题是指在平面或空间几何中，通过对一个图形进行折叠，使其变为另一个图形的问题。
在这个过程中，图形的形状、大小和位置可能会发生变化。
解决数学折叠问题需要掌握图形的折叠原理，了解图形的各个部分之间的关系。
二、数学折叠问题的应用场景数学折叠问题在日常生活和学术研究中具有广泛的应用。
例如，在建筑、设计和制造领域，数学折叠问题可以帮助我们更好地理解和分析空间结构；在数学和物理研究中，数学折叠问题有助于探究图形的变换和性质。
三、解决数学折叠问题的方法与技巧解决数学折叠问题有以下几种方法：1.观察法：通过观察图形的特征，找到图形之间的联系和规律。
2.折叠法：将图形按照折叠线进行折叠，分析折叠前后的图形关系。
3.方程法：建立数学模型，利用方程求解图形折叠问题。
4.几何变换法：利用平移、旋转等几何变换，将问题转化为已知图形的性质。
四、数学折叠问题在初中的教学意义数学折叠问题在初中阶段的教学具有重要意义。
通过解决数学折叠问题，学生可以：1.加深对几何图形的理解和掌握；2.提高空间想象力和逻辑思维能力；3.培养观察、分析和解决问题的能力；4.巩固和拓展数学知识，为高中阶段的学习打下基础。
五、提高初中生数学折叠问题能力的建议1.多做练习：通过大量练习，熟练掌握数学折叠问题的解题技巧；2.培养空间想象力：通过观察和折叠实物，提高空间想象力；3.学会分类和归纳：将数学折叠问题进行分类，总结规律；4.及时请教老师：在遇到难题时，及时向老师请教，确保掌握数学折叠问题的解题方法。
七年级数学折叠问题
七年级数学折叠问题一、折叠问题知识点1. 折叠性质折叠前后图形全等，对应边相等，对应角相等。
例如，将一个三角形纸片折叠，折叠线两侧的部分是全等的，那么折叠前后的边长和角度关系不变。
折叠问题常常与轴对称图形相关联，折叠线就是对称轴。
2. 在坐标平面中的折叠如果是在平面直角坐标系中的图形折叠，我们可以利用坐标的性质来解决问题。
例如，已知一个点公式关于某条直线（如公式）折叠后的坐标变化规律。
点公式关于公式对称的点的坐标为公式。
3. 在多边形中的折叠在多边形（如三角形、四边形等）的折叠中，常常会涉及到角度的计算、边长的计算以及面积的计算等。
比如在四边形公式中，将公式沿着公式折叠，如果公式，那么折叠后公式，因为折叠前后对应角相等。
对于边长计算，如果公式，折叠后公式点与公式点重合，且公式是折痕，那么公式（折叠前后对应边相等）。
二、典型题目及解析1. 题目如图，将长方形公式沿公式折叠，使点公式落在公式边上的公式点处，如果公式，求公式的度数。
解析因为四边形公式是长方形，所以公式。
已知公式，那么公式。
由于公式与公式关于公式折叠，所以公式，则公式。
所以公式。
2. 题目有一张矩形纸片公式，公式，公式，将纸片沿公式折叠，使点公式与点公式重合，求公式的长。
解析连接公式，因为四边形公式是矩形，根据勾股定理可得公式。
因为点公式与点公式重合，公式是折痕，所以公式垂直平分公式，设公式与公式相交于点公式。
则公式。
因为公式（公式，公式）。
所以公式，即公式，解得公式。
所以公式。
七年级折叠问题知识点总结
七年级折叠问题知识点总结折叠问题是初中数学中一个相对难度不高但却高频出现的考点，对于七年级学生来说，掌握折叠问题的知识点是非常重要的。
下面将就这一考点进行全面总结。
一、定义折叠问题是指在一个平面图形上通过把它按照一定的方式、方向折叠，最终使得不同的部分重叠在一起或被盖住，要求求出被盖住部分的面积或者所剩下的形状等问题。
其涉及的图形种类繁多，但基本操作类似，具有很高的抽象性和富有思维性，是一种综合运用几何知识的问题。
二、关键思维折叠问题的解题关键在于灵活运用图形之间的等价性质，相关的思维方法主要包括以下几点：1. 分析图形的对称性：折叠通常涉及到“翻折”、“对称”等概念，因此，我们在解题中首先需要分析图形的对称性质，找出各对称轴，这样才能找到正确的折叠方式，避免漏解或者重解。
2. 利用图形不变性：在进行折叠的过程中，需要注意图形的一些不变性质，如面积、周长、角度、比例等，这些特征是可以被运用的，例如，在解决一道求面积的问题时，可能只需找到一个图形特征，便能够得出答案。
3. 选择适当的剖法：在有些情况下，通过简单的折叠很难求解，因此需要选择适当的剖法，如通过切割、旋转、投影等方法，将图形分割成子图形或更容易操作的形状，这样可以更方便地分析和计算。
三、常见的折叠问题1. 棱镜类问题棱镜折叠问题是指给定一个长方形，将其沿着边界折叠成一个四面体，求四面体的表面积或者体积等问题。
这种情况下需要考虑对称和镜像点等概念，利用图形不变性求解。
2. 圆柱类问题圆柱折叠问题是指给定一个长方形或者正方形，将其围绕着一定的轴旋转，并折叠起来，求形成的圆柱的表面积或者体积等问题。
这种情况下需要运用如旋转、映射等数学方法，求解时同样需要考虑对称、面积不变等特征。
3. 复杂图形问题复杂图形折叠问题是指给定一个复杂的图形（如饼干、卡片、飞机等），将其沿着特定的折叠线折叠后，求被覆盖部分的面积，或者被剖开后所得到的不同的图形等问题。
折叠变换模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．例题精讲考点一：三角形中的折叠问题【例1】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，则折叠后所得到的四边形AEDF 的周长为．➢变式训练【变式1-1】．如图，等边△ABC中，D是BC边上的一点，把△ABC折叠，使点A落在BC 边上的点D处，折痕与边AB、AC分别交于点M、N，若AM＝2，AN＝3，那么边BC 长为．【变式1-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC 折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则AF：CF＝（）A．2：1B．3：2C．5：3D．7：5【变式1-3】．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝6，DC＝4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD＝x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．考点二：矩形中的折叠问题【例2】．如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y 轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cos∠COD的值是______➢变式训练【变式2-1】．如图（1）是一段长方形纸带，∠DEF＝a，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数为（）A．180°﹣3a B．180°﹣2a C．90°﹣a D．90°+a【变式2-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）B．6C．D．A．【变式2-3】．如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕FG的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB＝6，BC＝10．则AE的最大值是，最小值是．考点三：菱形中的折叠问题【例3】．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠B＝60°，那么EF＝cm．➢变式训练【变式3-1】．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E为AB的中点，将△AED沿DE翻折得到△GED，射线DG交BC于点F，若AD＝2，则BF＝．【变式3-2】．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝6，点E在边CD上，且DE＝4，F是边AD上一动点，将△DEF沿直线EF折叠，点D落在点N处，当点N在四边形ABCD内部（含边界）时，DF的长度的取值范围是．考点四：正方形中的折叠问题【例4】．如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把∠C沿直线EF折叠，使点C落在点C′处．当△ADC′为等腰三角形时，FC的长为．➢变式训练【变式4-1】．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：①△ABG ≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE，其中正确的是__________.1．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE恰好过BC边中点，若AB＝3，BC＝6，则∠B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若，则CE＝（）A．B．C．D．3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则图形中重叠部分△AEF的面积为．4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE的长为．5．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶点A、C、D都落在点O处，且点B、O、G在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值为．6．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是边AD的中点，N是AB上一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'B，则A'B的取值范围．7．如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，若AB＝5，BC＝10．（1）求DF的长；（2）求△DBF和△DEF的面积；（3）求△DBF中F点到BD边上的距离．8．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）求证：EG2＝AF•GF；（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长．9．如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB＝OD，OC＝OA+AB，AD＝m，BC＝n，∠ABD+∠ADB＝∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD＝，求PC的长．10．如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再将点B折叠在边AC 上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．已知BC＝4．（1）若M为AC的中点，求CF的长；（2）随着点M在边AC上取不同的位置，①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；②求△PFM的周长的取值范围．11．已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．（1）特例感知如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；（2）变式求异如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求AH和AP的长；（3）化归探究如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．12．[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为；[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．①求线段AC的长；②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．13．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD、BE（如图①），点O为其交点．（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；②如图③，若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN+NP+PD的最小值＝．14．如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段，；S矩形AEFG：S▱ABCD＝．（2）▱ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长；（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．15．如图，矩形OABC的边长OA＝8，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E、F，且tan ∠BOA＝．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式及F点坐标；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折叠分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．16．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．17．将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A 的对应点A'．（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；（3）当∠BP A'＝30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．18．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ ＝OP，点O的对应点为O'，设OP＝t．①如图②，若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．。
解析版初中数学中的折叠问题讲解
初中数学中的折叠问题监利县第一初级中学刘光杰折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 12AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ，∠EBF=∠CBF ，据此即可求出∠FBC 的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． ∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称∴∠2 = ∠3 = 64°321F E D C B A1G D‘FC‘DAGA'CA B D∴∠4 = 180°- 2 ×64°= 52°∵AD∥BC∴∠1 = ∠4 = 52°∠2 = ∠5又∵∠2 = ∠3∴∠3 = ∠5∴GE = GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= 12，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积设AE = x，则BE = GE = 4 - x，在Rt△AEG中，根据勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5，BE = EG = 4 – 1.5 = 2.5∵∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3又∵∠A = ∠D = 90°∴△AEG ∽△DGP∴AEDG=EGGP，则1.52=2.5GP，解得GP =103PH = GH – GP = 4 - 103=23∵∠3 = ∠4，tan∠3 = tan∠1 = 3 4∴tan∠4 = 34，FHPH=34，FH =34×PH =34×23=12∴CF = FH = 1 2∴S梯形BCFE = 12(12+52)×4 = 6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D 重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．(1)BB’ = MN过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’≌△HNM(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x在Rt△ABB’中BB’ = AB2 + AB'2= 1 + x2因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，则BQ = 12 1 + x2由△BMQ∽△BB’A得BM×BA = BQ×BB’∴y = 12 1 + x2× 1 + x2=12(1 + x2)(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等PC'NB CA DMB'QPA DMB'由(1)可知，HM = AB’ = x，BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x ∴梯形MNCB的面积为：12(y – x + y) ×1 = 12(2y - x)= 12(2×12(1 + x2) – x)= 12(x -12)2 +38当x = 12时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是38二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）∵∠α= ∠1，∠2 = ∠1∴∠α= ∠2∴2∠α+∠ABE=180°，即2∠α+30°=180°，解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为作CD⊥AB，∵CE∥AB，∴∠1=∠2，根据翻折不变性，∠1=∠BCA，故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°，∴在Rt△ADC中，AC = 2 2 ，AB = 2 2S△ＡＢＣ＝12AB×CD = 2 2a2130°BEFACD在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是如图，作QH ⊥PA ，垂足为H ，则QH=2cm ， 由平行线的性质，得∠DPA=∠PAQ=60° 由折叠的性质，得∠DPA =∠PAQ ， ∴∠APQ=60°，又∵∠PAQ=∠APQ=60°， ∴△APQ 为等边三角形， 在Rt △PQH 中，sin ∠HPQ = HQPQ∴32 = 2PQ ，则PQ = 433注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEBB∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b 中，GE = GF ，∠GFC=180°-2∠EFG=140°， 在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）设AB=xcm ．右图中，AF = CE = 35，EF = x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x （cm ）． 则有2（35-x ）+x=60， x=10．16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm ， 下底等于纸条宽的2倍，即6cm ， 两个三角形都为等腰直角三角形， 斜边为纸条宽的2倍，即6cm ，故超出点P 的长度为（30-15）÷2=7.5， AM=7.5+6=13.5GEFD AE FD B C A B C 60cm三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14 ．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）． (1)∵CD = 12 AB∴∠ACB = 90°∵AB = 2a ，BC = a ，∴AC = 3a ∴S △ABC = 12 ×AC ×BC = 32a 2∴重叠部分的面积为：14×32a 2 = 38a 2(2)若AC = a ，如右图∵AD = a ，∴∠2 = 180°- 30°2 = 75°∠BDC = 180°- 75°= 105° ∴∠B'DC = 105°∴∠3 = 105°- 75°= 30° ∴∠1 = ∠3 ∴AC ∥B'D∴四边形AB'DC 是平行四边形∴重叠部分△CDE 的面积等于△ＡＢＣ的面积的14若折叠前△ABC 的面积等于32a 2 过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则 12 ×AB ×CH = 32a 2 B'CDAB231EB'CDBACH =32a 又tan ∠1 =CH AH∴AH = 32a∴BH = 12a则tan ∠B =CHBH，得∠B = 60° ∴△CBD 是等边三角形 ∴∠2 = ∠4∴∠3 = ∠4，AD ∥CB 2又CB 2 = BC = BD = a ，∴CB 2 = AD ∴四边形ADCB 2是平行四边形则重叠部分△CDE 的面积是△ABC 面积的14(3)如右图，由对称的性质得，∠3 = ∠4，DA = DB 3 ∴∠1 = ∠2又∵∠3 + ∠4 = ∠1 +∠2 ∴∠4 = ∠1 ∴AB 3∥CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；3241EHB 2DABC3412B 3DA BC（3）将∠2看作180°-2∠CED ，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理来求． 解：（1）如图(1)∠1+∠2=180°- 2∠CDE +180°- 2∠CED =360°- 2（∠CDE+∠CED ） =360°-2（180°- ∠C ） =2∠C =60°；（2）如图(2) 连接DG ，∠1+∠2=180°- ∠C ′-（∠ADG +∠AGD ） =180°-30°-（180°-80°） =50°；（3）如图(3)∠2-∠1=180°- 2∠CED -（2∠CDE - 180°） =360°- 2（∠CDE + ∠CED ） =360°- 2（180°- ∠C ） =2∠C所以：∠2 - ∠1=2∠C ．由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20．观察与发现：将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图②）．小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． 实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D ’处，折痕为EG （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．21图(1)C'ACBD E12图(3)C'ABCDE21图(2)GC'A BCDE在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
(完整版)七年级数学折叠问题总结(最新整理)
的长是 G
A
D
E
A
DD
FF
C
M F
D′
N
B
FC
C′
A
E
B
B
E
C
10．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线 BD 折叠，点 A 恰好落在 DC 边上的点 A´处，若
∠A´BC＝20°，则∠A´BD 的度数为
．
11．如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将△AED 以 DE 为折痕向
沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点 M 处，折痕为 EG（如图②）；再展平纸片（如图
③）．则图③中∠1=
A
．
E
DA
E
DA
E D
M 1
B
CB F
FCB GC FG Nhomakorabea图①
图②
图③
2
右折叠，AE 与 BC 交于点 F，则△CEF 的面积为
12．已知边长为 5 的等边三角形 ABC 纸片，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，沿着 EF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D
的位置，且 ED BC ，则 CE 的长是
。
A
A
D
F
A
B
C
E
B
DC
13．将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图①）；再
．
1
认 真 自 信 ！ ！ ！ ________________________________________________________________________________________________学 员 专 用 试题
图形变换模型之翻折(折叠)模型(解析版)
图形变换模型之翻折(折叠)模型几何变换中的翻折(折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。
无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。
本专题以各类几个图形(三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等)为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略：1)利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；2)结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3)运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的翻折模型【模型解读】1(2023·辽宁鞍山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处．若OA=8，OB=10，则点D的坐标是．【答案】10,3【分析】根据折叠的性质得出AE =AC =10，在Rt △AOE 中，勾股定理求得OE =6，进而得出BE =4，在Rt △DBE 中，勾股定理建立方程，求得BD 的长，即可求解．【详解】解：∵四边形AOBC 是矩形，∴AC =OB =10，∵折叠，∴AE =AC =10，在Rt △AOE 中，OE =AE 2-AO 2=102-82=6∴EB =OB -OE =10-6=4，∴设DB =m ，则CD =8-m ，∵折叠，∴DE =CD =8-m ，在Rt △DEB 中，DE 2=EB 2+BD 2，∴8-m 2=m 2+42，解得：m =3，∴DB =3，∴D 的坐标为10,3 ，故答案为：10,3 ．【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．2(2023春·江苏泰州·八年级统考期中)如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =8，E 是BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 翻折，点落B 在点F 处，连结CF ，则CF 的长为()A.6B.325C.35D.254【答案】B【分析】连接BF 交AE 于点H ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC =90°，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接BF 交AE 于点H ，∵将△ABE 沿直线AE 翻折，点落B 在点F 处，∴点B 、F 关于AE 对称，∴BH =FH ，BF ⊥AE ，∵BC =8，点E 为BC 的中点，∴BE =4，又∵AB =3，∴AE =AB 2+BE 2=32+42=5，∴BH =3×45=125，则BF =245，∵FE =BE =EC ，∴∠BFC =90°，∴CF =BC 2-BF 2=82-245 2=325．故选：B ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．3(2023·湖北·统考中考真题)如图，将边长为3的正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 落在边AD 上(点M 不与点A ,D 重合)，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，折痕分别与边AB ，CD 交于点E ,F ，连接BM ．(1)求证：∠AMB =∠BMP ；(2)若DP =1，求MD 的长．【答案】(1)证明见解析(2)MD =125【分析】(1)由折叠和正方形的性质得到∠EMP =∠EBC =90°，EM =EB ，则∠EMB =∠EBM ，进而证明∠BMP =∠MBC ，再由平行线的性质证明∠AMB =∠MBC 即可证明∠AMB =∠BMP ；(2)如图，延长MN ,BC 交于点Q ．证明△DMP ∽△CQP 得到QC =2MD ，QP =2MP ，设MD =x ，则QC =2x ，BQ =3+2x ．由∠BMQ =∠MBQ ，得到MQ =BQ =3+2x ．则MP =13MQ =3+2x 3．由勾股定理建立方程x 2+12=3+2x 3 2，解方程即可得到MD =125．【详解】(1)证明：由翻折和正方形的性质可得，∠EMP =∠EBC =90°，EM =EB ．∴∠EMB =∠EBM ．∴∠EMP -∠EMB =∠EBC -∠EBM ，即∠BMP =∠MBC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ．∴∠AMB =∠MBC ．∴∠AMB =∠BMP ．(2)解：如图，延长MN ,BC 交于点Q ．∵AD ∥BC ，∴△DMP ∽△CQP ．又∵DP =1，正方形ABCD 边长为3，∴CP =2∴MD QC =MP QP =DP CP=12，∴QC =2MD ，QP =2MP ，设MD =x ，则QC =2x ，∴BQ =3+2x ．∵∠BMP =∠MBC ，即∠BMQ =∠MBQ ，∴MQ =BQ =3+2x ．∴MP =13MQ =3+2x 3．在Rt △DMP 中，MD 2+DP 2=MP 2，∴x 2+12=3+2x 3 2．解得：x 1=0(舍)，x 2=125．∴MD =125．【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．4(2023春·江苏宿迁·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8．点O 为矩形ABCD 的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A EFD ，边A E交边BC于点G，连接OG、OC，则△OGC的面积的最小值为()A.18-3B.92+37 C.12-372D.6+372【答案】D【分析】在EA上截取EM=EG，连接OM，证明△MOE≌△GOE，所以OM=OG，即可得OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，且OM=4=OG，再过点O作OH⊥BC，得OH=3，又因为OC=5，就可以根据勾股定理计算GH、HC的长，从而计算出最小面积．【详解】解：在EA上截取EM=EG，连接OM，由折叠得：∠MEO=∠GEO，又∵EO=EO，∴△MOE≌△GOE SAS，∴OM=OG，∴OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，此时，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴OM=12BC=4=OG，即OG的最小值是4，在△OGC中，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴OC长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，∠BCO度数也不变，是定值，∴当OG=4最小值时，ΔOGC面积最小．过点O作OH⊥BC，∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴OH=12AB=3，∴Rt△OGH中，GH=OG2-OH2=42-32=7，Rt△OHC中，HC=OC2-OH2=52-32=4，∴GC=GH+HC=7+4，∴△OGC面积的最小值是12×GC×OH=12×(7+4)×3=327+6．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及垂线段最短等知识，解题关键是找到OG最小值．5(2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中)如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E、G分别在BC、AB上，将△DCE、△BEG分别沿DE、EG翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段GP长为()A.832 B.83C.53D.532【答案】B【分析】据矩形的性质得到CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=∠C=90°，据折叠的性质得到DF=CD =6，EF=CE，∠DFE=∠C=∠DFA=90°，根据勾股定理得到AF=8，设EF=CE=x，由勾股定理列方程得到AE=10，BE=8，由折叠的性质得到PG=BG，∠APG=∠EPG=∠B=90°，PE=BE=8，求得AP=AE-PE=2，设PG=BG=y，则AG=6-y，据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，∴CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=∠C=90°，∵将△DCE沿DE翻折，翻折后点C与点F重合，∴DF=CD=6，EF=CE，∠DFE=∠C=∠DFA=90°，∴AF=AD2-DF2=102-62=8，设EF=CE=x，∴BE=10-x，AE=8+x，∵AB2+BE2=AE2，∴62+(10-x)2=(8+x)2，解得：x=2，∴AE=10，BE=8，∵将△BEG沿EG翻折，翻折后点B与点P重合，∴PG=BG，∠APG=∠EPG=∠B=90°，PE=BE=8，∴AP=AE-PE=2，设PG=BG=y，则AG=6-y，∵AG2=AP2+PG2，∴(6-y)2=22+y2，∴y=83，∴线段GP长为83，故选：B．【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题关键．6(2023·江苏盐城·统考中考真题)综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD 上，点B的对应点记为B ，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.【活动猜想】(1)如图2，当点B 与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：.【问题解决】(2)如图3，当AB=4，AD=8，BF=3时，求证：点A ，B ，C在同一条直线上.【深入探究】(3)如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A B 与对角线AC平行？请说明理由. (4)在(3)的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B D，EF之间满足的等量关系，并说明理由.【答案】(1)菱形；(2)证明见解答；(3)BC=3AB，证明见解析；(4)3EF=2(AP+B D)，理由见解析【分析】(1)由折叠可得：EF⊥BD，OB=OD，再证得△BFO≌△DEO(ASA)，可得OE=OF，利用菱形的判定定理即可得出答案；(2)设EF 与BD 交于点M ，过点B 作B K ⊥BC 于K ，利用勾股定理可得BD=45，再证明△BFM ∽△BDC ，可求得BM =655，进而可得BB =1255，再由△BB K ∽△BDC ，可求得B K =125，BK =245，CK =BC -BK =8-245=165，运用勾股定理可得B C =4，运用勾股定理逆定理可得∠CB F =90°，进而可得∠A B F +∠CB F =90°+90°=180°，即可证得结论；(3)设∠OAB =∠OBA =α，则∠OBC =90°-α，利用折叠的性质和平行线性质可得：∠AB ′B =∠AOB =α，再运用三角形内角和定理即可求得α=60°，利用解直角三角形即可求得答案；(4)过点E 作EG ⊥BC 于G ，设EF 交BD 于H ，设AE =m ，EF =n ，利用解直角三角形可得B D =BD-BB =3n -3m +12n =32n -3m ，AP =2AE ⋅cos30°=3m ，即可得出结论．【详解】解：(1)当点B 与点D 重合时，四边形BEDF 是菱形．理由：设EF 与BD 交于点O ，如图，由折叠得：EF ⊥BD ，OB =OD ，∴∠BOF =∠DOE =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠OBF =∠ODE ，∴△BFO ≌△DEO (ASA )，∴OE =OF ，∴四边形BEDF 是菱形．故答案为：菱形．(2)证明：∵四边形ABCD 是矩形，AB =4，AD =8，BF =3，∴BC =AD =8，CD =AB =4，∠BCD =90°，∴CF =BC -BF =8-3=5，∴BD =BC 2+CD 2=82+42=45，如图，设EF 与BD 交于点M ，过点B ′作B K ⊥BC 于K ，由折叠得：∠A B F =∠ABF =∠BMF =∠B MF =90°，B F =BF =3，BB =2BM ，∴∠BMF =∠BCD ，∵∠FBM =∠DBC ，∴△BFM ∽△BDC ，∴BM BC =BF BD ，即BM 8=345，∴BM =655，∴BB =1255，∵∠BKB =∠BCD ，∠B BK =∠DBC ，∴△BB K ∽△BDC ，∴B K CD =BK BC=BB BD ，即B K 4=BK 8=125545，∴B K =125，BK =245，∴CK =BC -BK =8-245=165，∴B C =B K 2+CK 2=125 2+165 2=4，∵B F 2+B C 2=32+42=25，CF 2=52=25，∴B F 2+B C 2=CF 2，∴∠CB F =90°，∴∠A B F +∠CB F =90°+90°=180°，∴点A ′，B ′，C 在同一条直线上．(3)当BC =3AB 时，始终有A B 与对角线AC 平行．理由：如图，设AC 、BD 交于点O ，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∠OBA+∠OBC=90°，∴∠OAB=∠OBA，设∠OAB=∠OBA=α，则∠OBC=90°-α，由折叠得：∠A B F=∠ABC=90°，B F=BF，∴∠BB F+∠A B B=90°，∠BB F=∠OBC=90°-α，∴∠AB B=∠OBA=α，∵A B∥AC，∴∠AB′B=∠AOB=α，∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∴α+α+α=180°，即3α=180°，∴α=60°，∴∠BAC=60°，∴BCAB=tan∠BAC=tan60°=3，∴BC= 3AB；(4)3EF=2(AP+B′D)，理由如下：如图，过点E作EG⊥BC于G，设EF交BD于H，由折叠得：EF⊥BD，B F=BF，∠BFE=∠B FE，设AE=m，EF=n，由(3)得：∠BAC=60°=∠ABD，∴∠BB F=∠DBC=30°，∴∠BFE=∠B FE=60°，∴EG=EF⋅sin60°=32n，FG=EF⋅cos60°=12n，∵∠EAB=∠ABG=∠BGE=90°，∴四边形ABGE是矩形，∴AB=EG=32n，BG=AE=m，AD∥BC，∴BF=B F=m+12n，∴BH=BF⋅cos30°=32m+12n，∴BB =2BH=3m+12n，∵BD=2AB=3n，∴B D=BD-BB =3n-3m+12n=32n-3m，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=60°，∴∠APE=∠DEF-∠DAC=60°-30°=30°=∠DAC，∴AP=2AE⋅cos30°=3m，∴AP+B D=3m+32n-3m=32n，∴AP+B D=32EF，即3EF=2(AP+B D)．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大．模型2.正方形中的翻折模型【模型解读】7(2023·河南洛阳·统考二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点F为CD边的中点，点P是AD边上不与端点重合的一动点，连接BP．将△ABP沿BP翻折，点A的对应点为点E，则线段EF长的最小值为()A.27B.25-4C.34D.37-2【答案】B【分析】先确定线段EF的最小值的临界点，然后结合正方形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，即可求出答案．【详解】连接BF，则EF≥BF-BE，当点B、E、F在同一条直线上时，EF的长度有最小值，如图由翻折的性质，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°，∵点F为CD边的中点，∴CF=2，∴BF=42+22=25，∴EF=BF-BE=25-4；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键掌握所学的知识，正确找出线段最小值的临界点，从而进行解题．8(2023·广西玉林·统考模拟预测)如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE 翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE=2，则△CDF的面积是()A.1+324B.32+4 C.62+8 D.322【答案】B【分析】由折叠可得EF=BE=2，∠CFE=∠B=90°，且∠FAE=45°可得AF=2，AE=22，即可求对角线BD的长，则可求△CDF面积.【详解】如图连接BD交AC于O，∵ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，AC⊥BD，DO=BO，∠BAC=45°，∵△BCE沿CE翻折，∴BE=EF=2，BC=CF，∠EFC=90°，∵∠BAC=45°，∠EFC=90°，∴∠EAF=∠AEF=45°，∴AF=EF=2，∴AE=22，∴AB=22+2=BC=CF，∴BD=2AB=4+22，∴OD=2+2，∵S△CDF=12×CF×DO=32+4，故选B．【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题．9(2023·广东九年级课时练习)如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠AGB+∠AED=135°③GF=3；④AG⎳CF；其中正确的有(填序号)．【答案】①②③④【分析】根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判断①正确；根据∠DAE=∠EAF,∠BAG=∠FAG，进而可得∠GAE=45°，根据三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF=135°，得到∠AGB+∠AED=135°，进而判断②正确；设BG=GF=x，则CG=6-x，EG=x+2，CE=4，在Rt△EGC中，根据勾股定理建立方程(x+2)2= (6-x)2+42，解方程可得GF=3，即可判断③正确；根据BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出∠GCF=∠GFC，根据∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即可判断④正确【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ABC=∠DAB=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD=6，∵CD=3DE，∴DE=2，∴CE=4，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AFE=∠ADE=90°，AF=AD，EF=DE=2，∴∠AFG=∠ABG=90°，AF=AB，在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AF AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴①正确；∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠DAE=∠EAF，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠BAG=∠FAG，∵∠DAE+∠EAF+∠BAG+∠FAG=∠DAB=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠FAG=12∠DAB=45°，∴∠AEF+∠ADF=135°，∴∠AGB+∠AED=135°，∴②正确；设BG=GF=x，则CG=6-x，EG=x+2，∵CE=4，∴(x+2)2=(6-x)2+42，解得x=3，∴BG=GF=3，∴③正确；∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B 处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为．【答案】3 8【分析】连接BB ，过点F作FH⊥AD于点H，设CF=x，则DH=x，则BF=1-x，根据已知条件，分别表示出AE,EH,HD，证明△EHF≌△B CB ASA，得出EH=B C=54-2x，在Rt△B FC中，B F2=BC2+CF2，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接BB ，过点F作FH⊥AD于点H，∵正方形ABCD的边长为1，四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，∴S四边形ABFE =38×1=38，设CF=x，则DH=x，则BF=1-x∴S四边形ABFE =12AE+BF×AB=38即12AE+1-x×1=38∴AE=x-14∴DE=1-AE=54-x，∴EH=ED-HD=54-x-x=54-2x，∵折叠，∴BB ⊥EF，∴∠1+∠2=∠BGF=90°，∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又FH=BC=1,∠EHF=∠C∴△EHF≌△B CB ASA，∴EH=B C=54-2x在Rt△B FC中，B F2=B C2+CF2即1-x2=x2+54-2x2解得：x=38，故答案为：38．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．11(2023·江苏·统考中考真题)综合与实践定义：将宽与长的比值为22n+1-12n(n为正整数)的矩形称为n阶奇妙矩形．(1)概念理解：当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图(1)，这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽(AD)与长CD的比值是．(2)操作验证：用正方形纸片ABCD进行如下操作(如图(2))：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G 折叠纸片，使得点A 、B 分别落在边AD 、BC 上，展开，折痕为GK ．试说明：矩形GDCK 是1阶奇妙矩形．(3)方法迁移：用正方形纸片ABCD 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图(3)中画出折叠示意图并作简要标注．(4)探究发现：小明操作发现任一个n 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图(4)，点E 为正方形ABCD 边AB 上(不与端点重合)任意一点，连接CE ，继续(2)中操作的第二步、第三步，四边形AGHE 的周长与矩形GDCK 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．【答案】(1)5-12；(2)见解析；(3)12，理由见解析【分析】(1)将n =1代入22n +1-12n，即可求解．(2)设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得AE =EB =1，设DG =x ，则AG =2-x ，在Rt △AEG ,Rt △GHE 中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；(3)仿照(2)的方法得出2阶奇妙矩形．(4)根据(2)的方法，分别求得四边形AGHE 的周长与矩形GDCK 的周长，即可求解．【详解】解：(1)当n =1时，22n +1-12n=5-12，故答案为：5-12．(2)如图(2)，连接EG ，设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得AE =EB =1设DG =x ，则AG =2-x 根据折叠，可得GH =GD =x ，CH =CD =2，在Rt △BEC 中，EC =EB 2+BC 2=12+22=5，∴EH =5-2，在Rt △AEG ,Rt △GHE 中，AG 2+AE 2=GE 2,GH 2+EH 2=GE 2∴2-x 2+12=5-2 2+x 2解得：x =5-1∴GD DC=5-12∴矩形GDCK 是1阶奇妙矩形．(3)用正方形纸片ABCD 进行如下操作(如图)：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为MN ，再对折，折痕为EF ，连接CE ；第二步：折叠纸片使CD 落在CE 上，点D 的对应点为点H ，展开，折痕为CG ；第三步：过点G 折叠纸片，使得点A 、B 分别落在边AD 、BC 上，展开，折痕为GK ．矩形GDCK 是2阶奇妙矩形，理由如下，连接GE ，设正方形的边长为4，根据折叠可得EB =1，则AE =4-1=3，设DG =x ，则AG =4-x 根据折叠，可得GH =GD =x ，CH =CD =4，在Rt △BEC 中，EC =EB 2+BC 2=12+42=17，∴EH =17-4，在Rt △AEG ,Rt △GHE 中，AG 2+AE 2=GE 2,GH 2+EH 2=GE 2∴4-x 2+32=17-4 2+x 2解得：x =17-1∴GD DC=17-14当n =2时，22n +1-12n=17-14∴矩形GDCK 是2阶奇妙矩形．(4)如图(4)，连接诶GE ，设正方形的边长为1，设EB =m ，则AE =1-m ，设DG =x ，则AG =1-x 根据折叠，可得GH =GD =x ，CH =CD =1，在Rt △BEC 中，EC =EB 2+BC 2=1+m 2，∴EH =1+m 2-1，在Rt △AEG ,Rt △GHE 中，AG 2+AE 2=GE 2,GH 2+EH 2=GE 2∴1-x 2+1-m 2=1+m 2-1 2+x 2整理得，x =m 2+1-m ∴四边形AGHE 的边长为1-x +x +1+m 2-1+1-m =1+m 2-m +1=x +1矩形GDCK 的周长为2GD +DC =2x +1 ，∴四边形AGHE 的周长与矩形GDCK 的周长比值总是定值12【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．模型3.菱形中的翻折模型【模型解读】12(2023·四川成都·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合)，折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为．【答案】2.8【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG=EA，由题意得，BD=DG+BG=8，∠ABC=60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=8，设BE=x，则EG=AE=8-x，在Rt△EHB中，BH=12x，EH=32x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8-x)2=32x2+6-12x2，解得，x=2.8，即BE=2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．13(2023·安徽·统考一模)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连结A'C，则A'C长度的最小值是( ).A.7B.7-1C.3D.2【答案】B【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．【详解】如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=12MD=12，∴FM=DM×cos30°=32，∴MC=FM2+CF2=7，∴A′C=MC-MA′=7-1．故选B．14(2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习)如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为()A.72B.12C.74D.23【答案】A【分析】连接BE、BD，根据菱形的性质可知ΔBCD是等边三角形，由E是CD中点，可求得DE，BE，又因为CD∥AB，可得∠ABE=∠CEB=90°，利用勾股定理即可求解．【详解】解：连接BE、BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，∴ΔBCD是等边三角形，∵E是CD中点，∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，∴BE=3CE=23，∵CD∥AB，∴∠ABE=∠CEB=90°，由折叠可得AF=EF，∵EF2=BE2+BF2，∴EF2=12+(4-EF)2，∴EF=72．故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是根据题意作出辅助线得到等边三角形再由勾股定理求解．15(2023春·湖北十堰·八年级校联考期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF，FG与CD交于点H，有如下结论：①∠CFH=30°；②DE=33AE；③CH=GH；④S△ABF：S四边形AFCD=3：5，上述结论中，所有正确结论的序号是()A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④【答案】B【分析】连接AC，得到△ACD是等边三角形，根据三线合一的性质得到AG⊥CD，由折叠得∠G=∠B= 60°，求出∠C,∠CHF的度数即可判断①；利用30度角的性质求出DE，勾股定理求出AE，即可判断②；连接CG，由折叠得AG=AB=AC，根据等边对等角求出∠ACG=∠AGC，得到∠HCG=∠HGC，即可判断③；过点F作FM⊥AB于点M，先求出∠BAG=90°，由折叠得∠BAF=∠GAF=45°，MF=3BM，设BM=x，则AM=MF=3x，求出S△ABF，再得到AD=CD=AB=1+3x，根据S菱形ABCD-S△ABF 求出四边形AFCD的面积，即可判断④．【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠D=∠ABC=60°，∴△ACD是等边三角形，∵E是CD边的中点，∴AG⊥CD，∴∠AED=∠GEH=90°，由折叠得∠G=∠B=60°，∴∠CHF=∠EHG=30°，∵∠C=180°-∠B=120°，∴∠CFH=30°，故①正确；∵∠DAE=90°-∠D=30°，∴AD=2DE，∴AE=AD2-DE2=3DE，∴DE AE =DE3DE=33，即DE=33AE，故②正确；连接CG，由折叠得AG=AB=AC，∴∠ACG=∠AGC，∵∠ACD=∠AGF=60°，∴∠HCG=∠HGC，∴CH=GH，故③正确；过点F作FM⊥AB于点M，∵∠BAD=180°-∠B=120°,∠DAE=30°，∴∠BAG=90°，由折叠得∠BAF=∠GAF=45°，∴∠AFM=45°=∠BAF，∴AM=FM，∵∠BFM=90°-∠B=30°，∴MF=3BM，设BM=x，则AM=MF=3x，∴AB=1+3x，S△ABF=12×1+3x⋅3x=3+32x2，∵AD=CD=AB=1+3x，∴AE=3 21+3x=3+32x，∴S菱形ABCD=CD⋅AE=1+3x⋅3+32x=3+23x2，∴四边形AFCD的面积=S菱形ABCD -S△ABF=3+23x2-3+32x2=3+332x2，∴S△ABF：S四边形AFCD =3+32x2:3+332x2=33≠35，故④错误；故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，三线合一的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．16(2023·浙江·九年级期末)对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B 两点重合，MN是折痕．若B M=1，则CN的长为．【答案】4【分析】连接AC、BD，如图，利用菱形的性质得OC=12AC=3，OD=12BD=4，∠COD=90°，再利用勾股定理计算出CD =5，接着证明ΔOBM ≅ΔODN 得到DN =BM ，然后根据折叠的性质得BM =B M =1，从而有DN =1，于是计算CD -DN 即可．【详解】解：连接AC 、BD ，如图，∵点O 为菱形ABCD 的对角线的交点，∴OC =12AC =3，OD =12BD =4，∠COD =90°，在Rt ΔCOD 中，CD =32+42=5，∵AB ⎳CD ，∴∠MBO =∠NDO ，在ΔOBM 和ΔODN 中∠MBO =∠NDOOB =OD ∠BOM =∠DON，∴ΔOBM ≅ΔODN ，∴DN =BM ，∵过点O 折叠菱形，使B ，B ′两点重合，MN 是折痕，∴BM =B M =1，∴DN =1，∴CN =CD -DN =5-1=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．17(2023秋·重庆·九年级专题练习)如图，在菱形ABCD 中，BC =4，∠B =120°，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一点，以EF 为对称轴将△EAF 折叠得到△EGF ，以CE 为对称轴将△CDE 折叠得到△CHE ，使得点H落到EG 上，连接AG ．下列结论错误的是()A.∠CEF =90°B.CE ∥AGC.FG =1.6D.CF AB=145【答案】D【分析】A .由折叠的性质可以知道EF 和CE 分别是∠AEG 和∠DEG 的平分线，同时∠AED 是平角，所以可知∠CEF =90°，故选项A 正确；B .由题意和折叠的性质可以知道EF ⊥AG 、EF ⊥CE ，就可以得到CE ∥AG ，选项B 正确；C 和D .过点C 作CM ⊥AB 于点M ，∠CBA =120°，可得BM =2，CM =23．设BF =a ，可以得到FG =AF =4-a ，FM =BF +BM =a +2．根据折叠的性质可得CG =CD=4，根据勾股定理，求得a =2.4，即可得到FG =1.6，CF =5.6，所以CF AB=5.64=75．故选项C 正确，选项D 错误．【详解】解：A .由折叠可知EF 和CE 分别是∠AEG 和∠DEG 的平分线．又∵∠AED =180°，∴∠CEF =∠CEG +∠FEG =12∠AED =12×180°=90°，故选项A 正确．B .又∵点A 与点G 关于EF 对称，∴EF ⊥AG ，又∵EF ⊥CE ，∴CE ∥AG ，故选项B 正确．C 和D .如答图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ．∵∠CBA =120°，∴∠CBM =60°，∵BC =4，∴易知BM =2，CM =23，设BF =a ，∴FG =AF =4-a ，FM =BF +BM =a +2，∵点E 是AD 的中点，折叠后点H 落到EG 上，∴点G 与点H 重合，CG =CD =4．易知点C ,G ,F 共线，∴CF =FG +CG =4-a +4=8-a ．∵FM 2+CM 2=CF 2，∴a +2 2+23 2=8-a 2，解得a =2.4．∴FG =4-2.4=1.6，CF =8-a =8-2.4=5.6，∴CF AB=5.64=75，故选项C 正确，选项D 错误．综上，故选：D ．【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．模型4.三角形中的翻折模型【模型解读】18(2023·内江九年级期中)如图，在Rt △ABC 的纸片中，∠C =90°，AC =7，AB =25．点D 在边BC 上，以AD 为折痕将△ADB 折叠得到△ADB ，AB 与边BC 交于点E ．若△DEB 为直角三角形，则BD 的长是．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．【详解】解：在中，，(1)当时，如图1，过点作，交的延长线于点，由折叠得：，，设，则，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：(舍去)，，因此，．(2)当时，如图2，此时点与点C重合，由折叠得：，则，设，则，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．19(2023年四川省成都市数学中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若AGGE =73，则tan A=．【答案】377【分析】过点G 作GM ⊥DE 于M ，证明△DGE ∽△CGD ，得出DG 2=GE ×GC ，根据AD ∥GM ，得AGGE=73=DMME，设GE =3,AG =7，EM =3n ，则DM =7n ，则EC =DE =10n ，在Rt △DGM 中，GM 2=DG 2-DM 2，在Rt △GME 中，GM 2=GE 2-EM 2，则DG 2-DM 2=GE 2-EM 2，解方程求得n =34，则EM=94，GE =3，勾股定理求得GM ，根据正切的定义，即可求解．【详解】解：如图所示，过点G 作GM ⊥DE 于M ，∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ∥BC ∴∠1=∠2,∠2=∠3∴∠1=∠3∴ED =EC∵折叠，∴∠3=∠4，∴∠1=∠4,又∵∠DGE =∠CGD ∴△DGE ∽△CGD ∴DG CG =GEDG∴DG 2=GE ×GC∵∠ABC =90°，DE ∥BC ，则AD ⊥DE ，∴AD ∥GM ∴AG GE=DMME ，∠MGE =∠A ，∵AG GE=73=DM ME 设GE =3,AG =7，EM =3n ，则DM =7n ，则EC =DE =10n ，∵DG 2=GE ×GC ∴DG 2=3×3+10n =9+30n 在Rt △DGM 中，GM 2=DG 2-DM 2在Rt △GME 中，GM 2=GE 2-EM 2∴DG 2-DM 2=GE 2-EM 2即9+30n -7n 2=32-3n 2解得：n =34∴EM =94，GE =3则GM =GE 2-ME 2=32-942=374∴tan A =tan ∠EGM =ME MG=94374=377故答案为：377．【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．20(2023·湖北襄阳·统考中考真题)如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是AC 的中点，将BCD 沿BD 折叠得到△BED ，连接AE .若DE ⊥AB 于点F ，BC =10，则AF 的长为．【答案】210【分析】取BC 中点H ，连接AH ，取CH 中点G ，连接DG ，作DM ⊥BE 于点M ．设EF =a ，由折叠可知AD =CD =DE =x 则DF =x -a ，得到cos ∠ABC =cos ∠BED ，从而推导出a =25x，由三角形中位线定理得到BG =152，从而推导出△EMD ≌△CGD AAS ，得到四边形MBGD 是正方形，DG =152，AH =15，最后利用勾股定理解答即可．【详解】解：取BC 中点H ，连接AH ，取CH 中点G ，连接DG ，作DM ⊥BE 于点M ．∵AB =AC ，H 为BC 的中点，∴AH ⊥BC，AD =CD ，BH =HC =5．∵点D 是AC 的中点，∴DG 是△AHC 的中位线，∴DG ∥AH ，则DG ⊥BC 于点G ，设EF =a ，由折叠可知AD =CD =DE =x 则DF =x -a ，∵AB =AC ，∴AB =2x ，∠ABC =∠ACB ，又由折叠得∠ACB =∠BED ，BE =BC =10，∴∠ABC =∠BED ，∴cos ∠ABC =cos ∠BED ，即BH AB=EF EB ，∴52x =a 10，解得：a =25x ，∴DF =x -a =x -25x ，∵DG 是△AHC 的中位线，∴CG =12CH =52，AH =2DG ，∴BG =152，由折叠知∠DEM =∠DCG ，ED =CD ，在△EMD 和△CGD 中，∠DEM =∠DCG∠DME =∠DGC ED =CD，∴△EMD ≌△CGD AAS ，∴DG =MD ．∵DE ⊥AB ，∴∠EFB =90°，∴∠DEB +∠EBF =90°．又∵∠CAH +∠ACB =90°，且∠ACB =∠DEB ，∴∠EBF =∠CAH ，∴∠EBF +∠ABC =90°，∴∠DMB =∠MBG =∠BGD =90°，∴四边形MBGD 是正方形，∴DG =BG =152，∴AH =2DG =15．在Rt △AHC 中，AH 2+HC 2=AC 2，∴152+52=2x 2，解得：x =5102，∴a =10，x -a =3102，即AD =5102，DF =3102，在Rt △AFD 中，AF =AD 2-DF 2=210．故答案为：210．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．21(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点．若DG =m ,EH =n ，用含m ,n 的式子表示GH 的长是．【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°，从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ，再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG=EH GH 2=n 2GH 2，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°=∠A =∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ，∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ，又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1，∴GH 2=m 2+n 2，解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意，舍去)，故答案为：m 2+n 2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．模型5.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)如图，以圆O 的一条弦BC 为对称轴将弧BC 折叠后与弦AB 交于点D ，则CD =CA特别的，若将弧BC 折叠后过圆心，则CD =CA ，∠CAB =60°22(2022秋·浙江宁波·九年级校考期末)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB =BC =4，把弧AB 沿弦AB 向下折叠交BC 于点D ，若点D 为BC 中点，则AC 长为()A.1B.2C.22D.6【答案】C【分析】由等腰三角形的性质可得∠ACB =∠BAC ，由折叠的性质和圆周角定理可得∠ACB =∠ABD +∠BAD 可得∠ABD =∠CAD ，可证△ACD ∽△BCA ，可得CD AC=ACBC ，即可求解．【详解】解：如图，连接AD ，∵AB =BC =4，∴∠ACB =∠BAC ，∵点D 为BC 中点，∴BD =CD =2，∵弧AB 沿弦AB 向下折叠交BC 于点D ，∴AB=ADB，∴∠ACB =∠ABD +∠BAD ，∵∠BAC =∠BAD +∠CAD ，∴∠ABD =∠CAD ，又∵∠ACB =∠ACD ，∴△ACD ∽△BCA ，∴CD AC =AC BC ，∴2AC=AC 4，∴AC =8=22(负值舍去)，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．23(2023·广东广州·统考一模)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆上一点，∠BAC =20°，将劣弧AC 沿弦AC 所在的直线翻折，交AB 于点D ，则∠ACD 的度数等于( )．。
数学折叠问题初一
数学折叠问题初一摘要：一、数学折叠问题的基本概念二、数学折叠问题的应用场景三、解决数学折叠问题的方法与技巧四、数学折叠问题在初一数学教学中的重要性五、结论与建议正文：数学折叠问题，作为一种有趣的数学问题，一直以来都在各类教材和考试中占据一席之地。
它不仅能够锻炼学生的思维能力，还能培养学生的空间想象能力。
本文将从以下几个方面对数学折叠问题进行分析：一、数学折叠问题的基本概念数学折叠问题指的是在平面几何中，将一个平面图形通过折叠变换成为另一个平面图形的问题。
这些问题通常涉及到几何图形的折叠、展开以及图形的性质。
在解决这类问题时，我们需要充分利用图形的对称性、相似性等性质。
二、数学折叠问题的应用场景数学折叠问题在实际生活中有许多应用，如折纸艺术、建筑领域的空间设计、物理中的晶体结构等。
在教育领域，数学折叠问题更是成为培养学生空间想象能力的有力工具。
三、解决数学折叠问题的方法与技巧要解决数学折叠问题，首先需要熟练掌握几何图形的性质，如对称性、相似性、角度和边长关系等。
此外，还需要具备较强的逻辑思维能力，能通过对图形折叠与展开的观察，找出图形的内在联系。
在解决实际问题时，可以运用如下技巧：1.画图辅助：通过画出折叠前后的图形，直观地展示问题的变化过程。
2.逐步分析：将复杂问题分解为若干个简单问题，逐步解决。
3.寻找规律：观察图形折叠过程中的规律，如角度和边长的变化等。
4.灵活运用公式：熟练掌握几何图形的公式，如面积公式、周长公式等。
四、数学折叠问题在初一数学教学中的重要性数学折叠问题在初一数学教学中具有重要意义。
首先，它有助于学生巩固和拓展几何知识。
其次，通过解决数学折叠问题，学生的空间想象能力得到锻炼，为以后学习立体几何打下基础。
最后，数学折叠问题的解决过程培养了学生的逻辑思维能力和创新能力。
五、结论与建议总之，数学折叠问题具有很高的教育价值。
为了提高学生在初一阶段的数学素养，教师应关注数学折叠问题在教学中的导入，引导学生积极参与，培养他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
七年级折叠问题知识点
七年级折叠问题知识点折叠问题是数学中的一个经典问题。
在数学竞赛和考试中，被认为是一种基本函数，是考察数学运算能力和思维逻辑的基本题型之一。
而在七年级的数学课中，也会接触到一些折叠问题。
本文将介绍七年级折叠问题的知识点，供大家参考。
一、折纸图形的平移、旋转和对称在折叠问题中，图形的平移、旋转和对称是常见的变换方式。
因此，掌握这些变换的基本概念及性质是十分重要的。
1.平移变换平移变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形沿着某一方向移动一定距离后得到的新图形。
平移变换的性质是：对于平面上任意两点A和B，其平移后的位置A'和B'可以由向量AB和A'B'相等得到。
2.旋转变换旋转变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形绕给定的点（旋转中心）顺时针或逆时针旋转一定角度后得到的新图形。
旋转变换的性质是：任何平面上的图形旋转一周后均回到原来的位置。
3.对称变换对称变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形绕某条直线对称后得到的新图形。
对称变换的性质是：对称变换前后的图形具有相等的形状和大小。
二、折纸图形的叠合和重合折叠问题中，叠合和重合是两个核心概念。
只有掌握了这些概念，才能更好地解决折叠问题。
1.叠合叠合指的是将两个相同的图形重叠在一起，使它们完全重合的过程。
叠合要求两个图形的形状和大小完全相同。
2.重合重合指的是将两个不完全相同但有一定相似之处的图形重合在一起，使它们重合的程度最大。
重合要求两个图形的形状和大小不需要完全相同。
三、折纸图形的解析与构造折叠问题通常需要进行图形的解析和构造。
下面介绍两个基本的解析和构造方法。
1.解析方法解析方法指的是通过观察图形特征，确定图形各个部分的位置、大小和形状的方法。
解析方法的关键在于观察，要将图形各个部分的位置、大小和形状仔细观察、分析和比较，找出它们之间的关系，以便在后续的折叠中更好地处理图形。
2.构造方法构造方法指的是通过折叠纸张的方式，得到所需的图形的方法。
初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 12AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积 = 24根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE，∠EBF=∠CBF，据此即可求出∠FBC的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．∵点C与点E关于直线BD对称，∴∠1 = ∠2∵AD∥BC，∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3∴FB = FD设FD = x，则FB = x，FA = 8 – x在Rt△BAF中，BA2 + AF2 = BF2∴62 + (8 - x)2 = x2解得x = 25 4所以，阴影部分的面积S△FBD =12FD×AB =12×254×6 =754cm2（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）∵∠α = ∠1，∠2 = ∠1∴∠α = ∠2∴2∠α+∠ABE=180°，即2∠α+30°=180°，解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x （cm ）． 则有2（35-x ）+x=60， x=10．16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm ， 下底等于纸条宽的2倍，即6cm ， 两个三角形都为等腰直角三角形， 斜边为纸条宽的2倍，即6cm ，故超出点P 的长度为（30-15）÷2=7.5， AM=7.5+6=13.5三、三角形中的折叠叠前的△ABC 的面积可以等于?32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CDD重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．24．如图，矩形纸片ABCD中，AB= 6 ，BC=10 ．第一次将纸片折叠，使点B与点D折痕是对应点连线的垂直平分线四、圆中的折叠30．如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形的BC边沿EC折叠，点B落在圆上的F点，求BE的长连接OC、OF，则△OCF≌△OCD(SSS)，∴∠OFC = ∠ODC = 90°，。
沪教版 七年级数学 图形的翻折
C、为轴对称图形，是中心对称图形，
D、不是轴对称图形，为中心对称图形，故本选项错误
故选C
总结：本题主要考查对中心对称图形轴对称图形的定义的掌握。
【难度】3
【题目】题型1变式练习2
下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
. . . .
【答案】A
（图1） （图2） （图3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4中 的位置，其中点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）在图5中若∠GFD＝60°，则图3中的△ABF绕点F旋转度到图5的位置；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，试问：△AEH和△HB1D的面积大小关系。说明理由．
【解析】
根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称，不是中心对称图形，故本选项对，
B、不是轴对称图形，而是中心对称图形，故本选项错误，
C、是中心对称图形，故本选项错误，
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误
故选A
总结：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
四边形ABEH和四边形ECGF都是正方形
又∵图形是一个轴对称图形
∴当FH+FE时为轴对称图形
∵ECGF的边长为（b-a）
∴b=2（b-a）
即为2a=3b
总结：此题考查了图形的轴对称时，边长之间的数量关系，需要找出对称轴，再找出数量关系
【难度】4
【题目】兴趣篇2
正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．）
最新上海市七年级数学 图形变换之折叠问题强化
4．如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则 的值为_________．
20．在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失。已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（）
（A）顺时针旋转90°，向下平移；（B）逆时针旋转90°，向下平移；
（C）顺时针旋转90°，向右平移；（D）逆时针旋转90°，向右平移．
1.《图形变换》这一章的知识框架是怎么样的？
2.轴对称、平移、旋转与轴对称图形、中心对称图形关系或联系？
例1、 如图：梯形纸片ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，沿对角线BD将其折叠，点A落在DC上，
记为A′，AD=7，AB=13，则A′C=_________．
例2、如图，已知一张三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm，AB=6cm，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为______cm．
A．3B．4C．5D．6
11．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8cm，D是BC上一点，AD=DB，DE⊥AB，垂足为E，CD等于（ ）cm．
A． B． C． D．
12．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（ ）
深度剖析中考数学高频折叠图形问题规律，了解为什么这样考
深度剖析中考数学高频折叠图形问题规律，了解为什么这样考在上一篇文章中我通过归纳汇总了中考里一定会出现的五大类型题，但并不齐全，近年中考还有一种类型题经常出现，那就是图形折叠问题。
而至于这种类型题为啥会成为中考的高频题目，跟随我的思路来给你慢慢分析。
折叠型问题是近年中考的热点问题，通常题目是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
下面我们一起来探究这种题型的解法。
折叠的规律是：折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。
折叠图形问题常用知识点：全等三角形、相似三角形，勾股定理等性质。
由以上分析可见折叠型问题成为热点主要原因是：1、变化多，有新意，不重复。
2、可考察同学们对多个知识点的掌握情况。
3、可激发同学们的发散思维，不止一种解题思路。
下面通过一道简单例题和中考出现过得题目来分析，教会一般同学如何根据题目意思形成自己的解题思路。
案例一：利用三角形全等、勾股定理、方程思想解题解题分析：利用折叠造成的三角形全等补充已知条件，题目由△ADE≌△AFE可得AD=AF=10、DE=EF,题目的条件一下子就多了起来，再利用矩形直角用勾股定理解题就是轻而易举的事情。
案例二：两份折叠，一份思路，长度不变（选自惠州2017年中考数学16题）题目分析：此题目看起来虽长但是并复杂和难，但这样长的题目常常会让许多同学望而却步，被题目绕晕。
但这个题目同样是利用折叠的规律由△ADF≌△AEF、△FHG≌△FCG得AD=AE=3、FH=FC=5-3=2,EH=3-2=1,再利用勾股定理就能求出AH的长度。
折叠型的题目往往有很长的题目描述，因为题目需要严谨的描述图形的折叠过程，特别是多个折叠图形时更是。
并且得出的折叠的图形也会有好几个，但是我们往往只需要看折叠成型的图形，找到折叠相等的线段就会有更多的已知条件帮助解题，并且常常是用到勾股定理来求得最后的答案。
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不一班教育个别化教学方案学员姓名：年级：七年级辅导科目：数学学科教师：陈栋军授课日期：年月日授课时段：授课单元单元一图形变换-折叠问题复习成长目标：对学过的图形的变换这一章节进行综合复习，强化对于重点知识的理解，灵活的应对图形变换，解决学生图形折叠上的困难。
教学内容单元一图形变换-折叠问题复习1.《图形变换》这一章的知识框架是怎么样的？2.轴对称、平移、旋转与轴对称图形、中心对称图形关系或联系？例1、如图：梯形纸片ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，沿对角线BD将其折叠，点A落在DC上，记为A′，AD=7，AB=13，则A′C=_________．例2、如图，已知一张三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm，AB=6cm，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为______cm．一．填空题1．已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段_________ （不包括AB=CD和AD=BC）．2．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ= _________ ．3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED 以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为_________ ．4．如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为_________ ．5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB= _________ ．6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF= _____7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE= _________ cm，∠DCE=_________ ．8．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B= _________ 度．9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为___ ．二．选择题10．如图，明明折叠一张长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（）A．3 B．4 C．5 D．611．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8cm，D是BC上一点，AD=DB，DE⊥AB，垂足为E，CD等于（）cm．A．B．C．D．12．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A．1B．1 C．D．13．如图，一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，将∠ABC对折使BC落在AB上，点C落在AB上点F处，此时我们可得到△BCE≌△BFE，再将纸片沿AE对折，D点刚好也落在点F上，由此我们又可得到一些结论，下述结论你认为正确的有（）①AD=AF；②DE=EF=EC；③AD+BC=AB；④EF∥BC∥AD；⑤∠AEB=90°；⑥S=AE•BE四边形ABCDA．3个B．4个C．5个D．6个14．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，BC交AD于O．给出下列结论：①BC平分∠ABD；②△ABO≌△CDO；③∠AOC=120°；④△BOD是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．①③B．②④C．①②D．③④15．如图，一张平行四边形纸片，AB＞BC，点E是AB上一点，且EF∥BC，若沿EF剪开，能得到两张菱形纸片，则AB与BC间的数量关系为（）A．AB=2BC B．AB=3BC C．AB=4BC D．不能确定16．如图，把一张长方形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点F，有下列几个说法：①∠BED=∠BCD；②∠DBF=∠BDF；③BE=BC；④AB=DE．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则得到的四边形是（）A．只能是平行四边形B．只能为菱形C．只能为梯形D．可能是矩形18．如图，直角梯形纸片ABCD中，∠DCB=90°，AD∥BC，将纸片折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为CF．若AD=2，BC=5，则AF：FB的值为（）A．B．C．D．三．解答题19．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，试判断重叠部分的三角形BED的形状，并证明你的结论．20．矩形折叠问题：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由．（1）若AB=4，BC=8，求AF．（2）若对折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．21．一张长方形纸片宽AB=8 cm，长BC=10 cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC的长．22．如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．（1）求证：△CEG是等边三角形；（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．【专题练习】一、填空题1．计算：=32)(b a .2．计算：y x 22·()z y 23-＝ . 3．计算：3256n m n m ÷＝ .4．计算：()53663ax x a -÷()33ax -＝ .5．“5·12汶川大地震”发生后，中央电视台于2008年5月18日举办了《爱的奉献》晚会，共募集善款约1 514 000 000元，这个数用科学记数法表示是 元． 6．分解因式：=-+652a a . 7．分解因式：y xy y x ++22＝ . 8．已知10n ＝3，10m ＝4，则m n +10的值为 .9．从整式π、2、3+a 、3-a 中，任选两个构造一个．．分式 . 10．如果分式()()121---x x x 的值为零，那么x 的值为．11．将代数式12372--c b a 表示成只含有正整数指数幂的形式为________．12．分式方程3-x x ＋1＝33-x 解的情况是 ．13．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有 个．14．用四个长、宽分别为a 、b 的相同长方形纸片拼成一个“带孔”正方形，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式____ _____.15．将直角三角尺ABC （其中∠ABC=60°）绕点B 顺时针旋转一个角度到A 1BC 1的位置，使得点A 、B 、C 1在同一条直线上，那么这个转动的角度等于 .……图（1） 图（2） 图（3） 图（n ）16．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a ，b ，c 对应的密文1-a ，12+b ，23-c ．如果对方收到的密文为2，9，13，那么解密后得到的明文为 . 二、单项选择题17．小马虎在下面的计算中只做对．．了一道题，他做对的题目是（ ） (A ) 32-·()02-＝0 (B ) ()3322y x -＝6x 6y 9(C ) ()n m +3·()m n 3+-＝9m 2－n 2 (D ) 32()()a a a -÷-=- 18．下列图形中，中心对称图形是（ ）19．如果将分式yx y x ++22中的x 和y 都扩大到．原来的3倍，那么分式的值（ ） （A ）扩大到原来的3倍； （B ）扩大到原来的9倍；（C ）缩小到原来的31； （D ）不变．20．在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失。
已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（ ） （A ）顺时针旋转90°，向下平移； （B ）逆时针旋转90°，向下平移； （C ）顺时针旋转90°，向右平移；（D ）逆时针旋转90°，向右平移．三、计算题21．())2(1)21(2-+-+x x x22． x y x y x 2)31(3)(222÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-（A ） （B ） （C ） （D ）23．()()1111----+÷-yxyx24． 2111224x x x -⎛⎫+÷⎪--⎝⎭25．因式分解：361324-+-a a26．因式分解：xy y x 844122+--四、画图题27．如图是某设计师设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作： （1）画出四边形OACB 关于直线l 的轴对称图形OA 1C 1B 1；（2）将四边形OACB 绕点O 顺时针．．．旋转120，画出旋转后的图形OA 2C 2B 2。
五、解答题28．2008年上半年受各种因素的影响，猪肉市场价格不断上升．据调查5月份猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英妈妈用20元钱在5月份购得的猪肉比在1月份购得的猪肉少0.4斤，求2008年1月份的每斤猪肉的价格．lCBAO29．如图，已知等腰直角∆ACB 的边AC=BC=a ，等腰直角∆BED 的边BE=DE=b ，且b a <，点C 、B 、E 在一条直线上，联结AD ． （1）求ABD ∆的面积；（2）如果点P 是线段CE 的中点，联结AP 、DP 得到APD ∆，求APD ∆的面积．(以上结果先用含a 、b 代数式表示，后化简）30．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分。
（1）请把图①、图②补成既是．．轴对称图形，又是．．中心对称图形，并画出．．一条对称轴； （2）把图③补成只是．．中心对称图形，并把中心标上．．字母P ．图①图②图③A DBC E a abb11关注成绩，更关注成长不一班教育·教学部。