新疆高三高中数学月考试卷带答案解析

新疆高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.若“，”是真命题，则实数的范围是（）
A．B．
C．D．
3.点在函数的图象上，且角的终边所在直线过点，则（）
A．B．
C．-3D．
4.阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式
，若在两边同乘以，并令，则左边
.因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果.则（）
A．-2B．1
C．-1D．2
5.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）
A．B．
C．D．
6.设是的对角线的交点，为任一点，则（）
A．B．
C．D．
7.已知，则（）
A．或0B．或0
C．D．
8.若在处取得极大值10，则的值为（）
A．或B．或
C．D．
9.中，，，则（）
A．B．
C．D．或
10.已知定义在上的函数，当时，；当时，；当时，
，则（）
A．2B．0
C．-1D．-2
11.已知函数.若其导函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A．B．
C．D．
12.若函数在其定义域内有且只有一个零点，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
二、填空题
1.若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为____________.
2.中，若，，则____________.
3.设函数在内可导，且，则在点处的切线方程为____________.
4.______________.
三、解答题
1.某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡相应的位置，并求的解析式；
（2）将函数的图象上每一点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象.试求在区间上的最值.
2.已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足.
（1）求的大小；
（2）现给出三个条件①；②；③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择并以此为依据求的面积.（注：只能写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案计分）
3.已知函数.
（1）试求的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，试求面积的最大值.
4.已知函数.
（1）若，试求最小值；
（2）若都有恒成立，求的取值范围.
5.已知函数.
（1）如是函数的极值点，求实数的值并讨论的单调性；
（2）若是函数的极值点，且恒成立，求实数的取值范围（注：已知常数满足）.
6.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线，直线（为参数）.
（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（2）设，直线与曲线交点为，试求的值.
7.选修4-5：不等式选讲
已知定义在上的函数的最大值为.
（1）试求的值；
（2）若，且，求证：.
新疆高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，得，则，故；若得，
则，故不成立；故“”是“”的充分不必要条件，故选A.
【考点】充分、必要条件的判定.
2.若“，”是真命题，则实数的范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】若“，”是真命题，即，即，故选B.
【考点】真假命题的应用.
3.点在函数的图象上，且角的终边所在直线过点，则（）
A．B．
C．-3D．
【答案】C
【解析】因为在函数的图象上，即得，故，故选C.【考点】（1）对数函数的性质；（2）正切函数的定义.
4.阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式
，若在两边同乘以，并令，则左边
.因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果.则（）
A．-2B．1
C．-1D．2
【答案】D
【解析】，故选D.
【考点】定积分的计算.
5.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】横坐标伸长到原来的倍，则函数变为（系数变为原来的），函数的图象向右平移
个单位，则函数变为；考察选项不难发现就是函数的一个对称中心坐标.
故选D.
【考点】函数的图象变换.
6.设是的对角线的交点，为任一点，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由向量的加法法则可得：，，则,
故选A.
【考点】向量的加法.
7.已知，则（）
A．或0B．或0
C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴两边平方，整理可得：，∴解得：，或，∴
当时，得：；当时，有，，故选B.
【考点】同角三角函数的基本关系的运用.
8.若在处取得极大值10，则的值为（）
A．或B．或
C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴，又在处取得极大值，∴，，∴，∴，或，.当，时，，当时，，当时，
，∴在处取得极小值，与题意不符；当，时，，当时，，当时，，∴在处取得极大值，符合题意；，故选C.
【考点】利用导数研究函数的极值.
【方法点晴】本题考查函数在某点取得极值的条件求得，是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题.由于，依题意知函数在某点处有极值得导数值为，，极值为，
，即可求得，，从而可得答案.在该种类型的题目中，最容易遗漏的地方是对所求
结果进行检验.
9.中，，，则（）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【解析】由得，得；
故，
故，由得
，由知，故，故，故选C.
【考点】两角和的正切.
10.已知定义在上的函数，当时，；当时，；当时，
，则（）
A．2B．0
C．-1D．-2
【答案】A
【解析】当时，，得，故当时，是以为周期的周期函数，
，又因为当时，时，，故选A.
【考点】（1）函数的周期性；（2）函数的奇偶性.
11.已知函数.若其导函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由得，
，由导函数在上单调递增，
知恒成立，当时恒成立；当时，恒成立，即
；当时，恒成立，即；故的范围为，故选B.
【考点】利用导数研究函数单调性.
12.若函数在其定义域内有且只有一个零点，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵函数在其定义域内有且只有一个零点，∴有且只有一个解，∴
在上有且只有一个解，∵
，∴或，①当时，作函数与的图象如下，②时，的解为（成立），③当时，可化为，，且，，故有两个不同的正根；故实数的取值集合为，故选：D.
【考点】函数零点的判定定理.
二、填空题
1.若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为____________.
【答案】
【解析】如图，等边三角形是半径为的圆的内接三角形，则弧所对的圆心角，作，垂足为，在中，，，∴，，∴，由弧
长公式，得，.故答案为.
【考点】弧度制的应用.
【方法点晴】本题考查了圆的内接正三角形的边长与半径的关系及弧长公式，理解以上知识和计算方法是解决问题的关键，难度一般；等边三角形是半径为的圆的内接三角形，则线段所对的圆心角，在中求出的长度（用表示），即，就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数.
2.中，若，，则____________.
【答案】
【解析】由，得，由及正弦定理，大边对大角得到为锐角，则，故
，故答案为.
【考点】两角和与差的余弦函数.
【方法点晴】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及诱导公式化简求值，是一道中档题.学生容易在
求时考虑不周全而得到两种情况导致出错.由和的值利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求的式子利用诱导公式和两角和的余弦函数公式化简后，把和的值代入
即可求出值.
3.设函数在内可导，且，则在点处的切线方程为____________.
【答案】
【解析】令，∵，∴，∴，∴，∴，∵
，∴在处的切线方程为.故答案为：.
【考点】利用导数研究函数在某点处的切线.
【方法点晴】本小题主要考查函数解析式的求法、直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题.利用换元法求出函数解析式，先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率即可求出切线的斜率.从而问题解决.
4.______________.
【答案】
【解析】原式
，故答案为.
【考点】（1）降幂公式；（2）两角和与差的余弦公式.
三、解答题
1.某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据，如
下表：
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡相应的位置，并求的解析式；
（2）将函数的图象上每一点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象.试求在区间上的最值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）由表知，①，②，联立可求，，令，，可求相
应的；（2）根据图象变换易求，得利用正弦函数的单调性可求得的最值.
试题解析：（1）∵，，，联立解得，，
令，，得
∴.
（2）.
∵，，
，，
∴，.
【考点】（1）五点法作函数的图象；（2）函数的图象变换.
2.已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足.
（1）求的大小；
（2）现给出三个条件①；②；③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择并以此为依据求的面积.（注：只能写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案计分）
【答案】（1）；（2）选①②，.
【解析】（1）利用两角和公式对已知等式化简求得的值，进而求得；（2）选择①②利用正弦定理先求得的值，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积.
试题解析：（1），
∴.
（2）选①②：，，，，
∴.
.
选①③：，
∴，，
.
若选择②③，由得：，
不成立，这样的三角形不存在.
【考点】（1）正弦定理；（2）余弦定理.
3.已知函数.
（1）试求的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，试求面积的最大值.【答案】（1），，；（2）.
【解析】（1）利用三角恒等变换公式，化简得.再由三角函数的周期公式和单调区间的公式解不等式，可得的最小正周期和单调递减区间；（2）由函数的表达式，解出.利用余弦定理
的式子，结合基本不等式解出.由此利用三角形的面积公式，可得当且仅当
时的面积有最大值，并可求出这个最大值.
试题解析：（1）
.
∴.
，，
∴的单调递减区间为，.
（2）.
又∵，，
，∴.
.
当且仅当时取等号.
【考点】（1）三角函数的周期性及其求法；（2）余弦定理；（3）三角形中的面积计算.
【方法点晴】本题给出三角函数的表达式，求函数的周期与单调区间，并依此求三角形面积的最值.着重考查了三
角函数的图象与性质、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题.对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即
，然后利用三角函数的性质求解.
4.已知函数.
（1）若，试求最小值；
（2）若都有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；（2）对于恒成立的问题，分离参数，构造函数，求出
函数的最值即可.
试题解析：（1）当时，，
，在单调递减，在单调递增.
∴当时，.
（2）在时恒成立，
.
当时，恒成立，∴.
当时，.
令，，
.
令，，
∴在上单调递增，.
∴，在上单调递增，
.
由洛必达法则：.
∴，
∴，即.
【考点】（1）利用导数研究函数的单调性；（2）恒成立问题.
5.已知函数.
（1）如是函数的极值点，求实数的值并讨论的单调性；
（2）若是函数的极值点，且恒成立，求实数的取值范围（注：已知常数满足）.【答案】（1），在上单调递减，在上单调递增；（2）.
【解析】（1）由是函数的极值点，得可得得值，由导数和单调性的关系得其单调区间；（2）由题意知，设，知得单调递增，即是在上的唯一零点，得，，使得即可，结合，得参数范围.
试题解析：（1）∵是函数的极值点，∴.
∴，.
令，，
∴在上单调递增，，.
∴当，；当，.
∴在上单调递减，在上单调递增，
此时，当时，取极小值.
（2），设，
则.∴在上单调递增，
∴在上单调递增.
∵是函数的极值点，
∴是在上的唯一零点，
∴.
∵，，
，，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴有最小值.
∴.
∵恒成立，
∴，∴，
∴.∵，∴，
∴，
.
【考点】（1）利用导数研究函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）恒成立问题.
【方法点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立.考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
6.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线，直线（为参数）.
（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（2）设，直线与曲线交点为，试求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由代入消元法，可得直线的普通方程；由椭圆参数方程的定义，可得曲线C的参数方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，运用韦达定理，结合参数的几何意义，即可得到所求值.
试题解析：（1）参数方程（为参数）.
，
∴直线的方程为.
（2），
，
，
∴，，
.
【考点】（1）参数方程与普通方程之间的互化；（2）直线参数方程中参数的意义.
7.选修4-5：不等式选讲
已知定义在上的函数的最大值为.
（1）试求的值；
（2）若，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用绝对值不等式的几何意义可得，从而可得的值；（2）利用重要不等式，，，可得
，于是可证的结论.
试题解析：（1）.
∴.
（2）∵，∴
.
∴.
当且仅当时取等号.
【考点】（1）不等式的证明；（2）函数的最值及其几何意义.
【一题多解】本题考查绝对值不等式的性质及应用，着重考查重要不等式的应用，考查推理证明的能力，
考查转化思想.对于（1）还可采用：（1），当时，函数的最大值为；当时，函数单调递减，故；当时，；综上所述可得.。