数学_2006年北京市宣武区高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2006年北京市宣武区高考数学一模试卷（理科）
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集I是实数集R，M={x|x2>4}与N={x|x−3
x−1
≥0}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）
A {x|−2≤x<1}
B {x|−2≤x≤2}
C {x|1<x≤2}
D {x|x<2}
2. 已知函数f(x)=1−22006x
1+x
，那么f−1(1)的值等于（）
A 1−22006
2 B 1+22006
2
C 0
D −2
3. 若直线x+2y+m=0按向量a→=(−1, −2)平移后与圆C:x2+y2=5相切，则实数m的
值等于（）
A 8或−2
B 10或0
C −8或2
D −10或0
4. 函数f(x)=2sin x
4
，对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1−x2|的最小值为（）
A π
B 2π
C 3π
D 4π
5. 已知P1(x1, y1)是直线l:f(x, y)=0上的一点，P2(x2, y2)是直线l外的一点，由方程
f(x, y)+f(x1, y1)+f(x2, y2)=0表示的直线与直线l的位置关系是（）
A 互相重合
B 互相平行
C 互相垂直
D 互相斜交
6. 已知|p→|=2√2，|q→|=3，p→，q→夹角为π
4，则以a
→
=5p→+2q→，b
→
=p→−3q→为邻边的平行四
边形的一条对角线长为
（）
A 15
B √15
C 14
D 16
7. 正四面体A−BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得AE
EB =CF
FD
=λ(λ>0)，设f(λ)=
αλ+βλ，αλ与βλ分别表示EF与AC，BD所成的角，则（）
A f(λ)是(0, +∞)上的增函数
B f(λ)是(0, +∞)上的减函数
C f(λ)在(0, 1)上递增，在(1, +∞)上递减
D f(λ)是(0, +∞)上的常数函数
8. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a<b时，a⊕b=b2．则函数f(x)=(1⊕x)⋅x−(2⊕x)(x∈[−2, 2])（“⋅”和“−”仍为通常的乘法和减法）的最大值等于()
A −1
B 1
C 6
D 12
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案写在题中的横线上．
9. 已知复数z=t+i(t∈R)，且z满足z3∈R，则实数t的值为________．
10. 已知(2
x2−x
p
)6的展开式中，常数项是20
27
，则p的值是________．
11. △ABC中，若tanB⋅tanC=5，则cosA
cos(B−C)
的值为________．
12. 点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A(0, −1)的距离与点P到直线x=−1的距离
和的最小值是________．
13. 用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中A、B所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有________种．（用数字作答）
14. 编辑一个运算程序：1∗1=2，m∗n=k，(m+1)∗n=k−1，m∗(n+1)=k+2，则2006∗2006的输出结果为________．
三.解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知tan2θ=−2√2，π<2θ<2π．
(I)求tanθ的值；
(II)求2cos 2θ
2
−sinθ−1
√2sin(θ+π
4)
的值．
16. 这份模拟题出了8道选择题，每题5分，每道题有四个可供选择的答案，一个是正确的，三个是错误的，小伟只知道其中6道题的正确答案，其余两道题完全靠猜测回答．
（1）求小伟选择题正确答案不少于7个的概率；
（2）设小伟选择题得分为ξ，求ξ的概率分布及Eξ．
17. 下面的一组图形为某一四棱锥S−ABCD的侧面与底面．
（1）请画出四棱锥S−ABCD的示意图，是否存在一条侧棱SA垂直于底面ABCD？如果存在，请给出证明；
（2）若E为AB中点，求证：平面SEC⊥平面SCD；
（3）求二面角B−SC−D的大小．
18. 飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到
达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30∘，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B，C两地比A距P 远，因此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为
1km/s．
(1)求A、C两个救援中心的距离；
(2)求在A处发现P的方向角；
(3)若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论．
19. 设不等式组{x>0 y>0
y≤−nx+3n
所表示的平面区域为D n，记D n内的整点个数为a n(n∈
N∗)．（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记数列{a n}的前n项和为S n，且T n=S n
3⋅2n−1
，若对于一切的正整数n，总有T n≤m，求实数m的取值范围．
20. 已知函数f(x)的定义域为I，导数f n(x)满足0<fn(x)<2且fn(x)≠1，常数c1为方程f(x)−x=0的实数根，常数c2为方程f(x)−2x=0的实数根．
（1）若对任意[a, b]⊆I，存在x0∈(a, b)，使等式f(b)−f(a)=(b−a)f n(x0)成立．求证：方程f(x)−x=0不存在异于c1的实数根；
（2）求证：当x>c2时，总有f(x)<2x成立；
（3）对任意x1、x2，若满足|x1−c1|<1，|x2−c1|<1，求证：|f(x1)−f(x2)|<4．
2006年北京市宣武区高考数学一模试卷（理科）答案
1. A
2. C
3. D
4. D
5. B
6. A
7. D
8. C
9. ±√3
3
10. ±3
11. 2
3
12. √2
13. 216
14. 2007
15. 解：(1)∵ tan2θ=2tanθ
1−tan2θ
=−2√2，
∴ tanθ=−√2
2
或tanθ=√2，
∵ π<2θ<2π，π
2
<θ<π，
∴ tanθ=−√2
2
．
(2)原式=1+cosθ−sinθ−1sinθ+cosθ=1−tanθ1+tanθ=1−(−√22
)1+(−√22)=3+2√2．
16. 解：（1）“小伟选择题正确答案不少于7个”等价于“2道猜测的答案中正确答案至少有1个”，
∴ 所求事件的概率为1−(34)2=7
16．…
（2）由题意可得的ξ可能取值分别为30，35，40，
P(ξ=30)=(34)2=916P(ξ=35)=C 21⋅14⋅34=38P(ξ=40)=(14)2=116 ∴ ξ的概率分布为
∴ Eξ=30×916+35×38+40×116=32.5．…
17. 解：（1）存在一条侧棱SA ⊥面ABCD ，如图所示．
∵ 在△SAB 中，SA ⊥AB ，
在△SAD 中，SA ⊥AD
又∵ AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂面ABCD
∴ SA ⊥面ABCD…
（2）取SD 中点F ，SC 的中点G ，连结AF 、FG 、EG
∵ SA ⊥面ABCD ，∴ SA ⊥CD
又∵ CD ⊥AD 且SA ∩AD =A
∴ CD ⊥面SAD
∴ CD ⊥AF
∵ Rt △SAD 中，SA =AD ，
∴ AF ⊥SD
又∵ CD ∩SD =D ，
∴ AF ⊥面SCD
∵ FG // CD ，FG =12CD ，AE // CD ，AE =1
2CD ，
∴ FG // AE ，FG =AE
∴ 四边形AEGF 为平行四边形
∴ EG // AF
∴ EG ⊥面SCD
又∵ EG ⊂面SEC ，
∴ 平面SEC⊥平面SCD…
（3）过D作DH⊥SC于H，连结HB、BD ∵ △SBH≅△SDH
∴ ∠BHS=∠DHS=90∘
∴ BH⊥SC
∴ ∠BHD为二面角B−SC−D的平面角
Rt△SDC中，DH=SD⋅DC
SC =√2a⋅a
√3a
=√6
3
a
△BHD中，cos∠BHD=BH2+DH2−BD2
2⋅BH⋅DH =(
√6
3
a)2+(√6
3
a)2−(√2a)2
2⋅√6
3
a⋅√6
3
a
=−1
2
∴ ∠BHD=120∘
∴ 二面角B−SC−D的大小为120∘…
18. 解：(1)以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(−3,0)，B(3,0)，C(5,2√3)，
则|AC|=√(5+3)2+(2√3)2=2√19km，
即A、C两个救援中心的距离为2√19km.
(2)∵ |PC|=|PB|，
∴ P在BC线段的垂直平分线上.
又∵ |PB|−|PA|=4，
∴ P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|=6，
∴ 双曲线方程为x2
4−y2
5
=1(x<0).
BC的垂直平分线的方程为x+√3y−7=0，联立两方程解得：x=−8，
∴ P(−8,5√3)，k PA=tan∠PAB=−√3.
∴ ∠PAB=120∘，
∴ P点在A点的北偏西30∘处.
(3)如图，
设|PQ|=ℎ，|PB|=x，|PA|=y，
∵ |QB|−|QA|=√x2+ℎ2−√y2+ℎ2
=
22
√x2+ℎ2+√y2+ℎ2
=(x−y)⋅
√x2+ℎ2+√y2+ℎ2
.
又∵
√x2+ℎ2+√y2+ℎ2
<1，
∴ |QB|−|QA|<|PB|−|PA|，
∴ |QB|
1−|QA|
1
<|PB|
1
−|PA|
1
.
即A、B收到信号的时间差变小.
19. 解：（1）由x>0，y>0，3n−nx>0，得0<x<3，∴ x=1或x=2，
∴ D n内的整点在直线x=1和x=2上，记直线y=−nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y1、y2，
则y1=−n+3n=2n，y2=−2n+3n=n，
∴ a n=3n(n∈N∗)；
（2）∵ S n=3(1+2+3+⋯+n)=3n(n+1)
2
，
∴T n=n(n+1)
2n
∴T n+1−T n=(n+1)(n+2)
2n+1
−
n(n+1)
2n
=
(n+1)(2−n)
2n+1
∴ 当n≥3时，T n>T n+1，且T1=1<T2=T3=3
2
，
∴ T2，T3是数列{T n}中的最大项，故m≥T2=3
2
；
20. 证明：（1）假设方程f(x)−x=0有异于c1的实根m，即f(m)=m，
则有m−c1=f(m)−f(c1)=(m−c1)f n(x0)成立．
因为m≠c1，所以必有f n(x0)=1，这与f n(x)≠1矛盾，
因此方程f(x)−x=0不存在异于c1的实数根．…
（2）令ℎ(x)=f(x)−2x，
∵ ℎn(x)=f n(x)−2<0，∴ 函数ℎ(x)为减函数．
又∵ ℎ(c2)=f(c2)−2c2=0，∴ 当x>c2时，ℎ(x)<0，即f(x)<2x成立．…（3）不妨设x1≤x2，∵ f n(x)>0，∴ f(x)为增函数，即f(x1)≤f(x2)．
又∵ f n(x)<2，∴ 函数f(x)−2x为减函数，即f(x1)−2x1≥f(x2)−2x2．∴ 0≤f(x2)−f(x1)≤2(x2−x1)．
即|f(x2)−f(x1)|≤2|x2−x1|．
∵ |x2−x1|=|x2−c1+c1−x1|≤|x2−c1|+|x1−c1|<2，
∴ |f(x1)−f(x2)|<4．…。