边缘密度

定理: (X,Y)是二维 连续型随机变量 是二维连续型 随机变量， 定理 : 设 (X,Y) 是二维 连续型 随机变量 ， X 与 Y 独立 的充分必要条件是 的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理. (X,Y)是二维 离散型随机变量 是二维离散型随机变量， 定理 . 设 (X,Y) 是二维 离散型 随机变量 ， 其分布律 },i,j=1 ...， 为 Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,... ， 则 X 与 Y 独立的充分 必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi•.P•j 。 必要条件是对任意i,j， 是对任意i,j
维随机变量(X 定义 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为 FX(x1,x2,...xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的 维随机变量(Y Y 分布函数为F 分布函数为FY(y1,y2,…ym), X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym y Y 组成的n+m维随机变量（ 组成的n+m维随机变量（X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym) n+m维随机变量 Y 的分布函数为F 的分布函数为F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym). y 如果 F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym) y = FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym) y 则称n维随机变量(X 则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机 变量(Y 变量(Y1,Y2,…Ym)独立。 Y 独立。
i ,k :g ( x i , y j )= z k
∑
p ij
＝pk , …
…
(xi,yj) pij g(xi,yj)
g(x1,y1) g(x1,y2)
设随机变量X 独立，且均服从0 EX 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分 布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
的分布律; (1) 求W＝X＋Y的分布律; Y)的分布律 的分布律； (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； Y)的分布律 的分布律。 (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求 的联合分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
2.7(续) 两个随机变量函数的分布 续 一、二维离散型随机变量函数的分布律
设二维离散型随机变量（ ， ）， 设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yj)＝pij ，i, j＝1, 2, … ～ ＝ ＝ ＝ ＝ 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zk}＝ ＝ ～ ＝ ＝ k＝1, 2, … ＝ 或 (X,Y) pij Z=g(X,Y) (x1,y1) p11 (x1,y2) p12
SG 1 P{ X − Y < 15} = ∫∫ 2 dxdy = 2 60 60 G
1 SG = 60 − 2 × × 452 = 1575 2
2
1575 ∴ P{ X − Y < 15} = = 0.4375 2 60
五．n维随机变量的边缘分布与独立性 维随机变量的边缘分布与独立性 定义. 维随机变量(X 定义 设n维随机变量 1,X2,...,Xn)的分布函数为 维随机变量 的分布函数为 F(x1,x2,...,xn), (X1,X2,...,Xn)的k（1≤k<n)维边缘 的 （ ≤ 维边缘 分布函数就随之确定，如关于(X 分布函数就随之确定，如关于 1, X2）的 边缘分布函数是 FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2, ∞ ∞...∞) ∞,∞ ∞ 的边缘分布函数为F 若Xk 的边缘分布函数为 Xk(xk),k=1,2,…,n,
x 6 ydy = 3 x 2 ∫ f X ( x) = 0 0 0 < x <1 others
1 ∫ 6 ydx = 6 y (1 − y ) 0 < y < 1 fY ( y ) = y 0 others
四、随机变量的相互独立性
定义 称随机变量X 与 Y 独立， 如果对任意实数 称随机变量 X 独立 ， a<b,c<d， a<b,c<d，有 p{a<X≤b,c<Y≤d}=p{a<X≤b}p{c<Y≤ p{a<X≤b,c<Y≤d}=p{a<X≤b}p{c<Y≤d} 量X与Y独立。 独立。 定理：随机变量X 定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是 独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y) 即 事件{a<X≤b}与事件 {c<Y≤d} 独立 ， 则称随机变 {a<X 与事件{c<Y 独立， 事件 {a<X≤b} 与事件 {c<Y≤d}独立
1 − e − x − xe − y F ( x, y ) = 1 − e − y − ye − y 0
求FX(x)与FY(y)。 与
1 − e − x 解：FX(x)=F(x,∞)= 0 1 − e − y − ye − y FY(y)=F(∞,y)= 0 x≥0 x<0 y≥0 y<0
则x与y独立的充分必要条件是对任意ijp由上述定理可知要判断两个随机变量x与y的独立性只需求出它们各自的边缘分布再看是否对xy的每一对可能取值点边缘分布的乘积都等于联合分布即可12ex
概率与 概率与统计
第十一讲 边缘分布与独立性
开课系： 开课系：理学院 统计与金融数学系 e-mail:probstat@ 主页
2.5.边缘分布与独立性 边缘分布与独立性
一、边缘分布函数 FX(x)＝F (x, +∞)＝ ylim F ( x , y ) → +∞ ＝P{X≤x}
称为二维随机变量(X, Y)关于 的边缘分布函数； 关于X的边缘分布函数 称为二维随机变量 关于 的边缘分布函数； FY(y)＝F (+∞, y)＝
0.15 + 0.15 + a + b = 1 ⇒ a + b = 0.7
由独立性
0.15 = (a + 0.15) × 0.3
⇒ a = 0.35, ⇒ b = 0.35
甲乙约定8:00 9:00在某地 8:00∼ 例5.甲乙约定8:00∼9:00在某地 会面。 会面。设两人都随机地在这期 间的任一时刻到达，先到者最 间的任一时刻到达， 多等待15分钟过时不候。 15分钟过时不候 多等待15分钟过时不候。求两 人能见面的概率。 解:
故关于X和 的分布律分别为 的分布律分别为： 故关于 和Y的分布律分别为： X 1 0 Y 1 P 2/5 3/5 P 2/5
三、边缘密度函数 设(X, Y)～f (x, y), (x, y)∈R2, 则称 ～ ∈
f X ( x) = ∫ f ( x, y )dy
−∞
∞
关于X的边缘密度函数； 为(X, Y)关于 的边缘密度函数； 关于 同理，称 同理，
3.设(X,Y)的概率密度为 例3.设(X,Y)的概率密度为
c x 2 ≤ y < x f ( x, y ) = others 0
求常数c;(2)求关于X c;(2)求关于 （1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度 解:(1)由归一性 由归一性
∞
∫ dx ∫ cdy = 1 ⇒ c = 6
1 ∫ dy − 1 < x < 0 − x 1 f X ( x ) = ∫ dy 0 ≤ x < 1 x others 0
x=-y
x=y
y ∫ dx 0 < y < 1 fY ( y ) = − y 0 others
(X,Y)的概率密度为 设(X,Y)的概率密度为 cy 0 < x < 1, 0 < y < x f ( x, y ) = others 0 (1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度. (1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度. 求常数c.(2)求关于 答：c = 6
定理 设(X1,,X2, …, Xn )与(Y1, Y2,…， Ym )相互 , ， 独立， 独立，则Xi (i=1, 2, …, n))与Yi (i=1, 2, …, , n))与 , m)相互独立 又若h, g是连续函数 相互独立； 是连续函数， m)相互独立；又若h, g是连续函数，则 h(X1,,X2, …, Xn) , 相互独立. 与g(Y1, Y2,…， Ym )相互独立. ，
xi1 ,xi2 ,...,xin
有
P{X i1 = x i1 ,...,X in = x in } = P { X i1 = x i1 }...P { X in = x in }
则称离散型随机变量X1, X2, …, Xn相互独立。 则称离散型随机变量 个连续型随机变量， 设X1，X2，…，Xn为n 个连续型随机变量，若 ， 对任意的(x 对任意的 1, x2, …, xn)∈Rn， ∈ f (x1, x2, …, xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn) ＝ 几乎处处成立，则称 几乎处处成立，则称X1，X2，…，Xn相互独立。 ， 相互独立。
0 x2
1
x
0 x < 0 or x > 1 ( 2) f X ( x ) = ∫ f ( x , y )dy = x −∞
∫ 6dy = 6( x − x
2
) 0≤ x≤1
x2
(X,Y)服从如图区域 服从如图区域D 设(X,Y)服从如图区域D上 的均匀分布， 的均匀分布， 求关于X的和关于Y 求关于X的和关于Y的边缘 概率密度
F ( x1 ,... x n ) = FX 1 ( x1 )FX 2 ( x 2 )....FX n ( x n )
则称X 相互独立，或称(X 则称 1,X2,...Xn 相互独立，或称 1,X2,...Xn)是独立的 是独立的 。
对于离散型随机变量的情形， 对于离散型随机变量的情形，若对任意整数 i1, i2, …, in及实数
fY ( y ) = ∫ f ( x, y )dx
−∞
∞
关于Y的边缘密度函数。 为(X, Y)关于 的边缘密度函数。 关于 易知N(µ 的边缘密度函数f 易知 µ1, µ2, σ12, σ22, ρ)的边缘密度函数 X(x)是N(µ1, 的边缘密度函数 是 µ 的密度函数， 的密度函数， σ12)的密度函数，而fY(y)是N(µ2, σ22)的密度函数，故 的密度函数 是 µ 的密度函数 二维正态分布的边缘分布也是正态分布。 二维正态分布的边缘分布也是正态分布。
0≤ x≤ y 0≤ y≤ x 其它
二、边缘分布律 若随机变量X与 的联合分布 的联合分布律为 若随机变量 与Y的联合分布律为 (p80) (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … ～ ＝ ＝ ＝ ＝ 则称 P{X＝xi}＝pi.＝ ∑ p ij ，i＝1, 2, … ＝ ＝ ＝ 为(X, Y)关于 的边缘分布律 关于X的边缘分布律； 关于 P{Y＝ yj}＝p.j＝ ∑ p ij ，j＝1, 2, … ＝ ＝ ＝
x → +∞
lim F ( x , y ) ＝P{Y≤y} 称为二
维随机变量(X, Y)关于 的边缘分布函数 关于Y的边缘分布函数 维随机变量 关于 的边缘分布函数. 边缘分布实际上是高维随机变量的某个 (某些 低维分量的分布 某些)低维分量的分布 某些 低维分量的分布。
已知(X,Y)的分布函数为 例1.已知 已知 的分布函数为
ห้องสมุดไป่ตู้i≥1
j≥ 1
关于Y的边缘分布律 为(X, Y)关于 的边缘分布律。 关于 的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。
已知(X,Y)的分布律如下, (X,Y)的分布律如下 的边缘分布律。 例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 解： x\y 1 0 p.j 1 0 pi. 1/10 3/10 2/5 3/10 3/10 3/5 2/5 3/5 0 3/5
由上述定理可知，要判断两个随机变量X 由上述定理可知，要判断两个随机变量X 的独立性， 与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘 分布，再看是否对(X,Y) (X,Y)的每一对可能取值 分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值 点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可
EX：判断例1、例2、例3中的X与Y是否相互独立 EX：判断例1 中的X 已知随机变量(X,Y)的分布律为 例4.已知随机变量 已知随机变量 的分布律为 x 1 2 0 0.15 0.15 1 a b 且知X与 独立 独立， 的值。 且知 与Y独立，求a、b的值。 、 的值 解:由归一性 由归一性