北京市海淀区高三数学下学期期末练习(海淀二模) 文

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）
2012.05
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的. （1）函数21,12y x x
=-+-?的值域是
（A ）(3,0]- （B ） (3,1]- （C ）[0,1] （D ）[1,5) （2）已知命题p ：1
,sin 2
x x x $?R . 则p Ø为 （A ）1
,sin 2x x x $?R （B ）1,sin 2x x x "?R （C ）1
,sin 2
x x
x $纬R （D ）1,sin 2
x x x "纬R （3）2
2
cos 15sin 15-的值为
（A ）
12 （B
）2 （C
（D
（4）执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为10，则输出的x
（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0
（5）已知平面,αβ和直线m ，且m Ì
α，则“α∥β”是“m ∥β”的
（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（6）为了得到函数21
log (1)2
y x =
-的图象，可将函数2log y x =的图象上所有的点的
（A ）纵坐标缩短到原来的
1
2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的1
2
倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 （D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 （A ）
20
3
（B ）
43
（C ）6 （D ）4
（8）点(
,)P x y 是曲线1
:(0)C y x x
=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的面积为
定值；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是
（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数3
1i
i z +=
，则z = . （10）已知双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程是2y x =?，那么此双曲线的离心率
为 . （11）在ABC ∆中，若120A
??，6c =，ABC ∆
的面积为，则a = .
（12）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于1
4
的概率是_________．
（13
）某同学为研究函数()1)f x x
=
＃的性质，构造了如图所
示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，
E
F
A B C D
P
左
俯视图
主视图
设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的极值点是 ；函数()f x 的值域是 .
（14）已知定点(0,2),(2,0)M N -，直线:220l kx y k --+=（k 为常数）. 若点,M N 到直线l 的距离相等，则实数k 的值是 ；对于l 上任意一点P ，MPN Ð恒为锐角，则实数k 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ¹，5346S a =+，且139,,a a a 成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1
{
}n
S 的前n 项和公式.
（16）（本小题满分13分）
在一次“知识竞赛”活动中，有12,,,A A B C 四道题，其中12,A A 为难度相同的容易题，
B 为中档题，
C 为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.
（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； （Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.
(17)（本小题满分14分）
在正方体''''ABCD A B C D 中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中
点分别是,,,E F G H , 如图所示． （Ⅰ）求证：'AD ∥平面EFG ； （Ⅱ）求证：'A C ^平面EFG ；
（Ⅲ）判断点,',,A D H F 是否共面? 并说明理由.
C'
C
(18)（本小题满分13分）
已知函数22
()3x a
f x x a
+=
+（0a ≠，a ∈R ）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.
（19）（本小题满分13分）
已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2
-在椭圆C 上.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知点5
(,0)4
Q ，动直线l 过点F ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，证明：QA QB ⋅为定值.
（20）（本小题满分14分）
将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p ++
+?N 的形式，其中*i a ÎN ，
1,2,
,i p =，且p a a a ≤≤≤ 21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，
4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(=f ）.
（Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由； （Ⅱ）证明：(1)()1f n f n +-?（1,2,
n =）；
（Ⅲ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([2
1++n f n f 的大小，并给出证明．
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学（文科）
参考答案及评分标准 2012．05
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9（11）
（12）1
2
（13）12；1] （14）1或13
；1
(,)(1,)7
-?+? 注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为5346S a =+，
所以115454(2)62
d
a a d 创+
=++. ①……………………………………3分 因为139,,a a a 成等比数列，
所以2111(8)(2)a a d a d +=+. ② ……………………………………5分 由①，②及0d ¹可得：12,2a d ==.
……………………………………6分 所以2n a n =. ……………………………………7分 （Ⅱ）由2n a n =可知：2(22)2
n n n
S n n +?=
=+.
……………………………………9分
所以
1111
(1)1n S n n n n ==-++. ……………………………………11分 所以
12
111
11
n n
S S S S -+++
+
11111111122311
n n n n =-+-++
-+--+
1111
n n n =-
=++. ……………………………………13分
所以 数列1
{
}n
S 的前n 项和为
1n n +. (16)（本小题满分13分）
解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：11(,)A A ，12(,)A A ，1(,)A B ，1(,)A C ，21(,)A A ，22(,)A A ，2(,)A B ，2(,)A C ，
1(,)B A ，2(,)B A ，(,)B B ，(,)B C ，1(,)C A ，2(,)C A ，(,)C B ，
(,)C C . ……………………………………3分
（Ⅰ）用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：
11(,)A A ，12(,)A A ，21(,)A A ，22(,)A A ，(,)B B ，(,)C C . 所以63
()=168
P M =
. ……………………………………8分 （Ⅱ）用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N 包含的基本事件有：
1(,)B A ，2(,)B A ，1(,)C A ，2(,)C A ，(,)C B . 所以5
()16
P N =
. ……………………………………13分
(17)（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接'BC .
在正方体''''ABCD A B C D -中，''AB C D =，AB ∥''C D . 所以 四边形''ABC D 是平行四边形. 所以 'AD ∥'BC .
因为 ,F G 分别是',''BB B C 的中点，
所以 FG ∥'BC .
所以 FG ∥
'AD . ……………………
………………2分
因为 ,'EF AD 是异面直线， 所以 'AD Ë平面EFG .
因为 FG Ì平面EFG ，
所以 'AD ∥平面EFG .
………………………………………4分
（Ⅱ）证明：连接'B C .
在正方体''''ABCD A B C D -中，''A B ^平面''BCC B ，'BC Ì平面''BCC B ， 所以 '''A B BC ⊥.
在正方形''BCC B 中，''B C BC ⊥，
因为 ''A B Ì平面''A B C ，'B C Ì平面''A B C ，
''''A B B C B =，
所
以
'BC ⊥
平面
''A B C . ……………………………………6分
因为 'A C Ì平面''A B C ， 所
以
''BC A C ⊥. ……………………………………7分
因为 FG ∥'BC ， 所以 'A C FG ⊥.
同理可证：'A C EF ⊥.
因为 EF Ì平面EFG ，FG Ì平面EFG ，EF
FG F =，
所以 'A C ^平面EFG . ……………………………………9分 （Ⅲ）点,',,A D H F 不共面. 理由如下： ……………………………………10分 假设,',,A D H F 共面. 连接',,C F AF HF . 由（Ⅰ）知，'AD ∥'BC ， 因为 'BC Ì平面''BCC B ，'AD Ë平面
''BCC B .
所以 'AD ∥平面''BCC B .
……………………………………12分 因为 ''C D H Î，
所以 平面'AD HF 平面'''BCC B C F =. 因为 'AD Ì平面'AD HF ， 所以 'AD ∥'C F .
所以 'C F ∥'BC ，而'C F 与'BC 相交，矛盾.
所以 点,',,A D H F 不共面. ……………………………………14分 (18)（本小题满分13分） 解：222
()(3)
'()(3)x a x a f x x a --+=
+.
令'()0f x =，解得x a =或3x a =-. ……………………………………2分 （Ⅰ）当0a >时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表
H
G F
E
D'
C'
B'
A'
D C B
A
H
G F
E
D'
C'
B'
A'
D C B
A
函数()f x 的单调递增区间是(3,)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,3)a -∞-，
(,)a +∞. ……………………………………4分
当0a <时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表
函数()f x 的单调递增区间是(,3)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,)a -∞，
(3,)a -+∞. ……………………………………6分
（Ⅱ）当1a =时，由（Ⅰ）得()f x 是(3,1)-上的增函数，是(1,)+∞上的减函数.
又当1x >时，21
()03
x f x x +=
>+. ……………………………………8分 所以 ()f x 在[3,)-+∞上的最小值为1(3)6f -=-，最大值为1
(1)2
f =.
……………………………………10分 所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，122
()()(1)(3)3
f x f x f f -≤--=
. 所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，使12()()f x f x m -≤恒成立的实数m 的最小值为
23
. ……………………………………13分
（19）（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由题意知：1c =.
根据椭圆的定义得：22
a =
a =
……………………………………3分 所以 2211b =-=.
所以 椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）证明：当直线l 的斜率为0
时，(A B . 则
557
(2,0)(,0)4416
QA QB ⋅=⋅=-. ……………………………………6分
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .
由2
21,21
x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.
1221222,2
1.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïí
ïï=-ïï+ïî
……………………………………9分 因为 111x ty =+，221x ty =+，
所以 112212125
511
(,)(,)()()4
444
x y x y ty ty y y -?=--+ 2
121211(1)()416
t y y t y y =+-++
2
22
1121
(1)
24216
t t t t t =-+++++ 2222217
2(2)1616
t t t --+=+=-+. 即 7
16
QA QB ⋅=-. ……………………………………13分
（20）（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．
因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，
所以7)5(=f ． ……………………………………3分 （Ⅱ）证明：因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个
n 的表示法；
反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，
所以 )()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数.
即 (1)()1f n f n +-?． ……………………………………8分 （Ⅲ）结论是)1(+n f )]2()([2
1
++≤
n f n f . 证明如下：由结论知，只需证 ).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f
由（Ⅱ）知：)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数，
)1()2(+-+n f n f 是2+n 的表示法中11a ¹的表示法数．
考虑到21≥+n ，把一个11a ¹的1+n 的表示法中的p a 加上1，就可变为一个11a ¹的
2+n 的表示法，这样就构造了从11a ¹的1+n 的表示法到11a ¹的2+n 的表示法的一个对
应，所以有
).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………14分。