第二章MATLAB数学建模常用软件

第二章MATLAB数学建模常用软件
第三章复利计算的数学模型
复利计算在利率不变时用指数模型、这种数学模型在诺贝尔奖金基金增值，房屋贷款偿还，国内生产总值翻番的计算中均会用到。

下面我们通过两个实际问题来介绍这种模型。

§1诺贝尔奖金金额
诺贝尔是瑞典人，生于1833年10月21日，发明家、化学工程师，1896年12月10日病故于意大利的圣雷莫。

根据诺贝尔的遗嘱，把他留下的大部分财产投资于安全证券构成基金，其利息应以奖金方式奖给对人类作出了最有益的贡献的人。

现在诺贝尔奖分成6项：物理学、化学、文学、经济学、生理学和医学以及和平奖。

诺贝尔逝世时留作基金的总额为850万美元，随着物价的上涨，给受奖人的奖金金额正逐步提高。

1998年诺贝尔奖每项奖金金额为98.7万美元。

问诺贝尔奖基金的利率是多少？
分析诺贝尔基金会开始时资金总额为850万美元，为了增加资金总额必须以复利形式投资，才能支付日益增大的资金发放额。

为了简化问题，在没有更多的数据资料的情况下，我们作如下假设：
假设一每年平均复利率不变的L。

假设二每年发放奖金的总额是该年所获利息的一半，另一半利息用于增加资金总额。

假设三 1896年记作0年，1897起作为第一颁发年（实际上，1901年是第一颁发年，该假设可理解为1901年以前利率是L/2）。

以后每一年次无间断（实际上，世界大战期间有少数年间断，可认为在间断的那些年利率为L/2）。

建立模型 设k y 表示第k 年资金的总额。

由题意及假设得
1(1)2
k k k
L
y L y y +=+-
①
0850y =（万） ②
1011
98.76592.22
Ly =⨯=（万） ③
由③式可知1998年发放奖金总额。

由①得
1
01
(1)2y L y =+
01
(1)2
k k y L y =+ ④
由③和④可得
1011184.4(1) 1.3934
2850
L L +== ⑤ 由⑤用迭代法解得
0.0624L =
验证 利用求得的L 可算出下表。

这样的计算结果与实际情形基本相符合。

§2房屋贷款偿还问题
一、 问题提出
为了促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金利率和个人住房商品性贷款利率如下表所示。

王先生家要购买一套商品房，需要贷款25万，其中公积金贷款10万元，分12年还清，商业性贷款15万，分15年还清。

每种贷款按月等额偿还。

问
（1）王先生每月应还款多少？
（2）用列表方式给出每年年底王先生尚欠的款项。

（3）在第12年还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业性贷款一次还清，应还多少？
二、分析与假设
根据银行的规定，偿还款项以复利计息。

为了避免坏账，贷款者必须有稳定的经济收入，有足够的能力保证能按时偿还。

为使问题更加明确，特作如下假设：
假设一王先生每月都能按时支付房屋贷款所需的偿还款项。

假设二贷款期限确定之后，公积金贷款月利率
L和商业性贷款
1
月利率2L 均不变。

三、 建立模型
设0y 和0z 分别为初始时刻公积金贷款数和商业性贷款数，设B 、C 分别为每月应偿还公积金贷款和应偿还的商业性贷款数。

因每月偿还的数额相等，故B 、C 均为常数。

k y 和k z 分别为第k 个月尚欠公积金贷款和尚欠的商业性贷款。

下一个月尚欠的贷款数应该是上一个月尚欠贷款数加上应付利息减去该月的偿还款数，因此有
（1） 公积金贷款尚欠款数为
()111k k y L y B
+=+- ①
由于
()111k k y L y B -=+-
()()11211k L L y B B -=++--⎡⎤⎣⎦
()()
2
121111k L y L B
-=+-++⎡⎤⎣⎦ =··· ()()()1
1011
1111k
k L y L L B -⎡⎤=+-+++⋅⋅⋅++
⎣
⎦
()()110
1
11
1k
k
L L y B
L +-=+-
同理可得
（2） 商业性贷款尚欠款数为
()()220
2
11
1k
k
k L Z L z C L +-=+-
②
四、 模型的解
公积金贷款分12年还清，这就是说第1212k =⨯144=个月时还清，即
()
()144
144
114410
1
11
10
L y L y B L +-=+-
=
解得
()
10
144
111L y B L -=
-+
③
用
0100000
y =，10.004455L =代入③，计算得
942.34
B =
同理，利用模型②，算得每月偿还的商业性贷款数
()
20
180
211L z C L -=
-+ ④
这里面5年等于180个月。

把0150000z =，20.005025L =代入④，计算得
1268.20C =(元)。

从上面的计算结果可知，王先生每月应偿还的贷款数为+=+=（元）。

B C
942.341268.202210.54
在①和②中取12
=，1,2,15
k n
n=⋅⋅⋅，可以计算出王先生每年年底尚欠的贷款数，其结果列表如下：
由于数值计算误差本表中用5位有效数。

如果在还清公积金贷款后，王先生把余下的尚欠商业性贷款全部一次还清。

由表可知在第12年年底王先生还要还41670元。

五、 模型的证实
为了验证模型的正确性，作如下讨论： 由
①
可
得
⑤
()()1101
1
1k
k
L B
y L y B L L +=
-+
（ⅰ）当
10
B L y > （每月偿还数大于贷款
数的月息）时，lim k k y →∞
=-∞ 这表示对于足够大的k 能还清贷款、 （ⅱ）当10B L y =时，由⑤式可知01
k B
y y L =
=，即如果每月只付月息的话，所欠贷款数始终是初始贷款数。

（ⅲ）当10B L y <时，即每月支付少于月息，那么由⑤
lim k k y →∞
=∞
此时所欠款数将逐月无限增大。

可以看到这种模型与实际情况相符。

利用计算机可验证计算的正确性。

六、 应用范围
模型①、②适用各种金额，各种期限的房屋贷款的偿还计算。

③、④
是著名的分期偿还公式。