§5子空间的交与和直和
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关于向量组生成的子空间，有 1) 设 W 是 V 的一个子空间, 且 W 包含1,2 , … ,r 则
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L ( 1 , 2 , … , r ) W . 2) 设 V 是一个有限维线性空间, W 是 V 的一个 子空间, 则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r是 W 的一组基，就有 W = L ( 1 , 2 , … , r ) .
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6
例5 在线性空间P n中，齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a s1 x1 a s 2 x2
次线性方程组的解空间.
a1n xn 0 , a2 n xn 0 , a sn xn 0
( A B) A B A B
所以A B W1 . 又设k P , 于是
( kA) kA kA
所以kA W1 . 故W1是P nn的子空间.
设A, B W2 , 则A A, B B, 于是
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( A B) A B A B ( A B)
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定理 4 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一 个 m 维子空间, 1 , 2 , … , m 是 W 的一组基 ,那么 这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是说在V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n , 使得 1 , 2 , … , n 是 V 的一组基 . 证 对维数差 n - m 作归纳法, 当 n - m = 0时, 定理显然成立，因为 1 , 2 , … , m 已经是 V的基. 现在假设 n - m = k 时定理成立, 我们考虑n - m = k + 1的情形. 既然 1 , 2 , … , m 还不是 V 的基，它又是线
18
例9 在 P 4 中, 求向量 i ( i = 1, 2, 3, 4 ) 生成的 子空间的基与维数.
1 (1,1, 0,1) , 2 (0,1, 2, 4) , 3 (2,1, 2, 2) , 4 (0,1,1,1) .
解 由定理3知 , 向量组1 , 2 , 3 , 4 的任一极 大无关组都是由它生成的子空间L(1 , 2 , 3 , 4 )的 基,而向量组1 , 2 , 3 , 4 的秩即为子空间的维数. 下面用矩阵的初等行变换,求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的秩和一个极大无关组.
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2
二、非空子集构成子空间的条件 设 W 是 V 的子集合. 因为 V 是线性空间. 所 以对于原有的运算，W 中的向量满足线性空间定 义中的八条规则中的规则 1) , 2) , 5) , 6) , 7) ,8)是显
然的. 为了使 W 自身构成一线性空间, 主要的条件 是要求 W 对于 V 中原来运算的封闭性, 以及规则 3) 与 4) 成立.即 1. W 对数量乘法运算封闭，即若 W, k P, 则 k W . 2. W 对加法运算封闭，即若 W, W，则 + W.
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性无关的， 那么在 V 中必定有一个向量m +1不能被
1 , 2 , … , m 线性表出， 把 m +1 添加进去1 ,2 ,
… , m , m +1 必定是线性无关的 ( 参看第 3 节中的
第三个结论.) 由定理3 , 子空间 L(1 , 2 , … , m , m +1 )
§5 子空间的交与和 直和
主要内容
子空间的定义 子空间的交与和 子空间的直和
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1
子空间的定义
定义 7 数域 P 上线性空间 V 的一个非空子 集合W 称为 V 的一个线性子空间(或简称子空间), 如果 W 对于 V 中所定义的加法和数量乘法两种运 算也构成数域 P 上的线性空间.
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例8 W {(1, a, 3a) | a P}不是P 3的子空间.
事实上有2(1, a, 3a ) (2, 2a, 6a) W .Biblioteka 首页上页下页
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11
三、生成子空间
设 1 , 2 , … , r 是线性空间 V 中一组向量， 这组向量所有可能的线性组合 k11 + k22 + … + krr 所成的集合是非空的, 而且对两种运算封闭, 因而是 V 的一个子空间，这个子空间叫做由1,2 , … , r 生成的子空间, 记为L(1 , 2 , … , r ).
V2 .
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k V1 , k V2 , 于是k V1
既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面 我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可 以应用到线性子空间上.
因为在线性子空间中不可能比在整个空间中有 更多数目的线性无关的向量.所以,
任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间 的维数.
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5
例1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的 子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间. 例2 线性空间 V 本身也是 V 的一个子空间. 在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两 个子空间有时候叫做平凡子空间，而其它的线性子 空间叫做非平凡子空间. 例3 在全体实函数组成的空间中, 所有的实系 数多项式组成一个子空间. 例4 P[ x ]n 是线性空间 P[ x ] 的子空间.
15
为 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s 等价，所以
L(1 , 2 , … , r ) = L(1 , 2 , … , s ). 由定理11 , 2 , … , s 就是 L(1 , 2 , … , r ) 的一 组基，因而 L (1 , 2 , … , r ) 的维数就是 s .
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14
同样每个向量 j ( j = 1 , 2, … , s ) 作为 L (1 , 2 ,
… , r ) 中的向量也都可以被1 , 2 , … , r 线性表 出，因而这两个向量组等价. 如果这两个向量组等价, 那么凡是可以被 1 ,
2 , … , r 线性表出的向量都可以被 1 , 2 , … , s
V2 , 所以
V1 V2 . 其次, 对，
V2 , 则 , V1 ,
, V2 , 因V1 ,V2是V的子空间, 所以有 V1 ,
V2 , 于是 V1 V2 .
又若 V1 V2 , k P，则 V1 , V2 , 有
是 m + 1 维的. 因为 n - ( m + 1 ) = ( n - m ) -1 = k ,
由归纳法假设， L(1 , 2 , … , m , m +1 ) 的基 1 , 2 , … , m , m +1 可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理, 定理得证.
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所以A B W2 . 又设k P , 于是
(kA) kA k ( A) ( kA)
所以kA W2 . 故W2是P nn的子空间.
例7 证明集合 W = { (0 , x2 , x3 , … , xn ) | x2 , x3 , … , xn R } 是 Rn 的子空间，并求它的一组基，确定它的维. 解 任取 1 = ( 0 , a2 , a3 , … , an ) W ,
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3
3. 0 W. 4. 若 W, 则 - W. 不难看出 3, 4 两个条件是多余的, 它们已经包 含在条件 1 中, 作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形. 因此, 我们得到 定理 2 如果线性空间 V 的非空子集合 W 对 于 V 的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么 W就是一个子空间. 即：设W是线性空间V的一个非空子集. 如果
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13
定理3 1) 两个向量组生成相同子空间的充分 必要条件是这两个向量组等价. 2) L(1 , 2 , … , r )的维数等于向量组1, 2 , … , r 的秩. 证 1) 设 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s是两 个向量组. 如果 L ( 1 , 2 , … , r ) = L ( 1 , 2 , … , s ) , 那么每个向量 i ( i = 1 , 2, … , r ) 作为 L (1 , 2 , … , s )中的向量都可以被 1 , 2 , … , s 线性表出;
解空间的基就是方程组
的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐 的基础解系，它的维数等于 n - r , 其中 r 为系数矩 阵的秩.
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7
例6 数域P 上全体n级对称矩阵所成之集W1 和全体n级反对称矩阵所成之集W2 都作成P nn的 子空间.
证 设A, B W1 , 则A A, B B, 于是
所以子空间 L(1 , 2 , 3 , 4 ) 的基为1 , 2 , 4 , 维数为 3 .
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子空间的交
定理5 如果V1 ,V2是线性空间V的两个子空间, 则它们的交V1 V2 也是V的子空间.
证 首先由0 V1 ,0 V2 , 可知0 V1 V1
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1 1 令 A (1 , 2 , 3 , 4 ) 0 1
0 2 1 1 2 2 4 2
0 1 1 1
行变换
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 . 0 0 1 0 0 0
1 = ( 0 , b2 , b 3 , … , bn ) W ,
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k R 为任意实数. 因为
1 + 1 = ( 0 , a2 + b2, a3 + b3, … , an + bn) W ,
k1 = ( 0 , ka2 , ka3 , … , kan ) W , 即 W 对加法和数量乘法都是封闭的，所以W 是 Rn 的子空间. 取 e2 = (0 , 1 , 0 , … , 0 ) , e3 = (0 , 0 , 1 , … , 0 ) , ………….. en = (0 , 0 , 0 , … , 1 ) .
线性表出，反过来也一样，因而 L ( 1 , 2 , … , r ) = L ( 1 , 2 , … , s ) . 2) 设向量组 1 , 2 , … , r 的秩是 s , 而 1 ,
2 , … , s ( s r ) 是它的一个极大线性无关组. 因
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显然 e2 , e3 , …, en W, 且线性无关，又因为 W 中 任一向量 = ( 0 , a2 , a3 , … , an ) ，有
= a2 e2 + a3 e3 + … + an en ，
所以e2 , e3 , …, en 即为 W 的一组基, W 的维是n – 1.
1) (W对加法封闭) 设 , W , 则 W ; 2) (W对数量乘积封闭) 设 W , k P , 则k W . 则W是V的一个子空间. 4
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定理2可改写成:
线性空间V 的一个非空子集W 作成V 的子空间 , W , k , l P , 都有k l W .
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L ( 1 , 2 , … , r ) W . 2) 设 V 是一个有限维线性空间, W 是 V 的一个 子空间, 则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r是 W 的一组基，就有 W = L ( 1 , 2 , … , r ) .
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例5 在线性空间P n中，齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a s1 x1 a s 2 x2
次线性方程组的解空间.
a1n xn 0 , a2 n xn 0 , a sn xn 0
( A B) A B A B
所以A B W1 . 又设k P , 于是
( kA) kA kA
所以kA W1 . 故W1是P nn的子空间.
设A, B W2 , 则A A, B B, 于是
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( A B) A B A B ( A B)
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定理 4 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一 个 m 维子空间, 1 , 2 , … , m 是 W 的一组基 ,那么 这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是说在V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n , 使得 1 , 2 , … , n 是 V 的一组基 . 证 对维数差 n - m 作归纳法, 当 n - m = 0时, 定理显然成立，因为 1 , 2 , … , m 已经是 V的基. 现在假设 n - m = k 时定理成立, 我们考虑n - m = k + 1的情形. 既然 1 , 2 , … , m 还不是 V 的基，它又是线
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例9 在 P 4 中, 求向量 i ( i = 1, 2, 3, 4 ) 生成的 子空间的基与维数.
1 (1,1, 0,1) , 2 (0,1, 2, 4) , 3 (2,1, 2, 2) , 4 (0,1,1,1) .
解 由定理3知 , 向量组1 , 2 , 3 , 4 的任一极 大无关组都是由它生成的子空间L(1 , 2 , 3 , 4 )的 基,而向量组1 , 2 , 3 , 4 的秩即为子空间的维数. 下面用矩阵的初等行变换,求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的秩和一个极大无关组.
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二、非空子集构成子空间的条件 设 W 是 V 的子集合. 因为 V 是线性空间. 所 以对于原有的运算，W 中的向量满足线性空间定 义中的八条规则中的规则 1) , 2) , 5) , 6) , 7) ,8)是显
然的. 为了使 W 自身构成一线性空间, 主要的条件 是要求 W 对于 V 中原来运算的封闭性, 以及规则 3) 与 4) 成立.即 1. W 对数量乘法运算封闭，即若 W, k P, 则 k W . 2. W 对加法运算封闭，即若 W, W，则 + W.
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性无关的， 那么在 V 中必定有一个向量m +1不能被
1 , 2 , … , m 线性表出， 把 m +1 添加进去1 ,2 ,
… , m , m +1 必定是线性无关的 ( 参看第 3 节中的
第三个结论.) 由定理3 , 子空间 L(1 , 2 , … , m , m +1 )
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子空间的定义 子空间的交与和 子空间的直和
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子空间的定义
定义 7 数域 P 上线性空间 V 的一个非空子 集合W 称为 V 的一个线性子空间(或简称子空间), 如果 W 对于 V 中所定义的加法和数量乘法两种运 算也构成数域 P 上的线性空间.
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三、生成子空间
设 1 , 2 , … , r 是线性空间 V 中一组向量， 这组向量所有可能的线性组合 k11 + k22 + … + krr 所成的集合是非空的, 而且对两种运算封闭, 因而是 V 的一个子空间，这个子空间叫做由1,2 , … , r 生成的子空间, 记为L(1 , 2 , … , r ).
V2 .
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k V1 , k V2 , 于是k V1
既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面 我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可 以应用到线性子空间上.
因为在线性子空间中不可能比在整个空间中有 更多数目的线性无关的向量.所以,
任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间 的维数.
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例1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的 子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间. 例2 线性空间 V 本身也是 V 的一个子空间. 在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两 个子空间有时候叫做平凡子空间，而其它的线性子 空间叫做非平凡子空间. 例3 在全体实函数组成的空间中, 所有的实系 数多项式组成一个子空间. 例4 P[ x ]n 是线性空间 P[ x ] 的子空间.
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为 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s 等价，所以
L(1 , 2 , … , r ) = L(1 , 2 , … , s ). 由定理11 , 2 , … , s 就是 L(1 , 2 , … , r ) 的一 组基，因而 L (1 , 2 , … , r ) 的维数就是 s .
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同样每个向量 j ( j = 1 , 2, … , s ) 作为 L (1 , 2 ,
… , r ) 中的向量也都可以被1 , 2 , … , r 线性表 出，因而这两个向量组等价. 如果这两个向量组等价, 那么凡是可以被 1 ,
2 , … , r 线性表出的向量都可以被 1 , 2 , … , s
V2 , 所以
V1 V2 . 其次, 对，
V2 , 则 , V1 ,
, V2 , 因V1 ,V2是V的子空间, 所以有 V1 ,
V2 , 于是 V1 V2 .
又若 V1 V2 , k P，则 V1 , V2 , 有
是 m + 1 维的. 因为 n - ( m + 1 ) = ( n - m ) -1 = k ,
由归纳法假设， L(1 , 2 , … , m , m +1 ) 的基 1 , 2 , … , m , m +1 可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理, 定理得证.
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所以A B W2 . 又设k P , 于是
(kA) kA k ( A) ( kA)
所以kA W2 . 故W2是P nn的子空间.
例7 证明集合 W = { (0 , x2 , x3 , … , xn ) | x2 , x3 , … , xn R } 是 Rn 的子空间，并求它的一组基，确定它的维. 解 任取 1 = ( 0 , a2 , a3 , … , an ) W ,
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3. 0 W. 4. 若 W, 则 - W. 不难看出 3, 4 两个条件是多余的, 它们已经包 含在条件 1 中, 作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形. 因此, 我们得到 定理 2 如果线性空间 V 的非空子集合 W 对 于 V 的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么 W就是一个子空间. 即：设W是线性空间V的一个非空子集. 如果
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定理3 1) 两个向量组生成相同子空间的充分 必要条件是这两个向量组等价. 2) L(1 , 2 , … , r )的维数等于向量组1, 2 , … , r 的秩. 证 1) 设 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s是两 个向量组. 如果 L ( 1 , 2 , … , r ) = L ( 1 , 2 , … , s ) , 那么每个向量 i ( i = 1 , 2, … , r ) 作为 L (1 , 2 , … , s )中的向量都可以被 1 , 2 , … , s 线性表出;
解空间的基就是方程组
的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐 的基础解系，它的维数等于 n - r , 其中 r 为系数矩 阵的秩.
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例6 数域P 上全体n级对称矩阵所成之集W1 和全体n级反对称矩阵所成之集W2 都作成P nn的 子空间.
证 设A, B W1 , 则A A, B B, 于是
所以子空间 L(1 , 2 , 3 , 4 ) 的基为1 , 2 , 4 , 维数为 3 .
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子空间的交
定理5 如果V1 ,V2是线性空间V的两个子空间, 则它们的交V1 V2 也是V的子空间.
证 首先由0 V1 ,0 V2 , 可知0 V1 V1
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1 1 令 A (1 , 2 , 3 , 4 ) 0 1
0 2 1 1 2 2 4 2
0 1 1 1
行变换
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 . 0 0 1 0 0 0
1 = ( 0 , b2 , b 3 , … , bn ) W ,
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k R 为任意实数. 因为
1 + 1 = ( 0 , a2 + b2, a3 + b3, … , an + bn) W ,
k1 = ( 0 , ka2 , ka3 , … , kan ) W , 即 W 对加法和数量乘法都是封闭的，所以W 是 Rn 的子空间. 取 e2 = (0 , 1 , 0 , … , 0 ) , e3 = (0 , 0 , 1 , … , 0 ) , ………….. en = (0 , 0 , 0 , … , 1 ) .
线性表出，反过来也一样，因而 L ( 1 , 2 , … , r ) = L ( 1 , 2 , … , s ) . 2) 设向量组 1 , 2 , … , r 的秩是 s , 而 1 ,
2 , … , s ( s r ) 是它的一个极大线性无关组. 因
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显然 e2 , e3 , …, en W, 且线性无关，又因为 W 中 任一向量 = ( 0 , a2 , a3 , … , an ) ，有
= a2 e2 + a3 e3 + … + an en ，
所以e2 , e3 , …, en 即为 W 的一组基, W 的维是n – 1.
1) (W对加法封闭) 设 , W , 则 W ; 2) (W对数量乘积封闭) 设 W , k P , 则k W . 则W是V的一个子空间. 4
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线性空间V 的一个非空子集W 作成V 的子空间 , W , k , l P , 都有k l W .