2017-2018学年高中数学(北师大版一)教师用书2018版第2章章末分层突破含答案

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章末分层突破
①对应关系
②函数的值域
③解析法
④简单的幂函数
⑤单调性的定义
⑥函数的奇偶性
⑦奇偶性的判定方法
函数的定
义域
1(分母不为零，偶次根式的被开方数非负等）的自变量的取值范围．2．已知函数f（x)的定义域为，求函数f的定义域，可解不等式a≤φ（x)≤b求得;如果已知函数f的定义域，可通过求函数φ（x）的值域，求得函数f（x)的定义域．
(1）若函数y＝错误!的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
(2）已知函数f（x)的定义域为，则函数f错误!的定义域为________．【精彩点拨】（1）对任意x∈R，都有ax2＋4ax＋3≠0成立，分a＝0，a≠0两种情况,a≠0时，Δ<0即可；
(2）由0≤错误!x－1≤1解出x的范围即为所求．
【规范解答】（1)依题意，x∈R,解析式有意义,即对任意x∈R,
都有ax2＋4ax＋3≠0成立，故方程ax2＋4ax＋3＝0无实根．
①当a＝0时，3≠0满足要求;
②当a≠0时，则有Δ＝16a2－12a＜0，即0＜a＜错误!时满足要求．综上可知a∈错误!.
(2）由题意知,0≤错误!x－1≤1，
解得2≤x≤4.
因此,函数f错误!的定义域为．
【答案】(1)错误!（2）
1．已知函数f（2x－1)的定义域为上的单调性，并加以证明．【精彩点拨】(1）利用奇函数定义和f(2）＝错误!，求a,b的值；
(2)根据单调性的定义证明．
【规范解答】（1）∵f（x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f（x）,
∴错误!＝－错误!,∴－3x＋b＝－3x－b，
因此b＝－b，即b＝0.
又f（2）＝错误!，∴错误!＝错误!，∴a＝2。

（2)由(1)知，f(x）＝错误!＝错误!错误!，
f（x)在（－∞，－1]上为增加的．
证明：设x1＜x2≤－1，
则f（x1）－f（x2）＝错误!(x1－x2)错误!
＝错误!(x1－x2）错误!,
∵x1＜x2≤－1，
∴x1－x2＜0，x1x2＞1,
x1x2－1〉0，因此，（x1－x2）错误!<0.
∴f(x1)－f(x2)＜0,即f（x1)＜f（x2)，
所以f（x）在（－∞，－1］上为增加的．
2．设f(x）是R上的偶函数,在区间（－∞，0)上是增加的，f（－2)＝0,若f（m－1）〈0，求m的取值范围．
【解】∵f(x）是R上的偶函数，在区间(－∞,0)上是增加的，∴f（x)在（0，＋∞)上是减少的，
∵f(－2）＝f(2)＝0，由f（m－1）<0，
∴|m－1|〉2，∴m－1〈－2或m－1>2，
∴m〈－1或m〉3。

函数图像及
其应用
过函数的图像能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质,有助于图像正确的画出．函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．对于函数f(x)＝x2－2|x|。

（1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性;
(2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值．
【精彩点拨】（1)按照奇、偶函数的定义对f(x）的奇偶性作出判断；(2）利用f(x）的对称性画出f（x)的图像，根据图像写出f （x)的单调区间和最小值．
【规范解答】（1）函数的定义域为R,关于原点对称，
f（－x）＝(－x)2－2｜－x｜＝x2－2|x|.
则f（－x）＝f（x），
∴f(x)是偶函数,
图像关于y轴对称．
（2)f（x）＝x2－2｜x|＝错误!
画出图像如图所示．
根据图像知，函数f(x）的最小值是－1。

单调增区间是，，．
3．对于任意x∈R,函数f(x)表示－x＋3，错误!x＋错误!，x2－4x＋3中的较大者，则f(x）的最小值是________．
【解析】如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A(0，3），B(1，2），C(5，8）．
从图像观察可得函数f（x)的表达式：
f(x）＝错误!
f(x)的图像是图中的实线部分,图像的最低点是点B(1,2),所以f(x)的最小值是2.
【答案】2
分类讨论
思想
分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时,常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标
准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为:二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等．
设函数f（x)＝x2－2x＋2，x∈，t∈R，求函数f（x)的最小值．
【精彩点拨】分抛物线的对称轴x＝1在区间的左侧、内部和右侧三种情况讨论．
【规范解答】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1）2＋1,x∈，t∈R,对称轴为x＝1.
当t＋1＜1，即t＜0时,函数图像如图（1)，函数f（x）在区间上为减函数,所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1,即0≤t≤1时，函数图像如图(2),最小值为f(1)＝1；
当t＞1时，函数图像如图(3)，函数f（x)在区间上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上所述,f（x)min＝错误!
4．已知函数f（x）＝ax2＋(2a－1）x－3在区间错误!上的最大值
为1，求实数a的值．
【解】当a＝0时，f(x）＝－x－3,f(x)在错误!上不能取得1，故a≠0。

f(x)＝ax2＋（2a－1）x－3（a≠0)的对称轴方程为x0＝错误!。

（1)令f错误!＝1，解得a＝－错误!，
此时x0＝－错误!∈错误!，
因为a＜0，f（x0）最大,所以f错误!＝1不合适．
（2)令f(2）＝1，解得a＝错误!,
此时x0＝－错误!∈错误!.
因为a＞0，x0＝－1
3
∈错误!，且距右端点2较远，
所以f（2)最大，合适．
（3）令f(x0）＝1，得a＝错误!（－3±2错误!)，
验证后知只有a＝错误!（－3－2错误!）才合适．
综上所述,a＝错误!或a＝－错误!（3＋2错误!)。

错误!
C。

错误!∪错误!D。

错误!∪错误!
【解析】由y＝log a（x＋1)＋1在
4. （2016·北京高考）设函数f（x）＝错误!
(1)若a＝0,则f(x)的最大值为________;
(2)若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是________．【解析】由当x≤a时,f′（x）＝3x2－3＝0，得x＝±1.
如图是函数y＝x3－3x与y＝－2x在没有限制条件时的图象．
①若a＝0，则f(x）max＝f(－1）＝2.
②当a≥－1时，f（x）有最大值；
当a〈－1时，y＝－2x在x〉a时无最大值，且－2a>(x3－3x）
，所以a<－1。

max
【答案】(1)2 （2)a〈－1
5．设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈，则a＋b ＝________.
【解析】当a〉1时，函数f（x）＝a x＋b在上为增函数，由题意得错误!无解．当0〈a〈1时，函数f(x)＝a x＋b在上为减函数，由题意得错误!解得错误!所以a＋b＝－错误!.
【答案】－错误!。