中考数学复习二次函数综合题面积问题 课件

第2题图
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点
M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形
的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)存在．点M的坐标为( 3 17 ，3 17 )或(2，－1).
2
2
∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
解：(1)将A(0，－3)，B(3，0)两点代入y＝kx＋b中，
得
b 3 3k b
0
,
解得
b 3
k
1
,
∴直线AB的解析式为y＝x－3；
将A(0，－3)，B(3，0)两点代入y＝ax2－2x＋c中，
第2题图
得
c 3 9a 6
c
0
,
解得
c 3 a 1 ,
∴此抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
二次函数综合题 面积问题
典例精析
例 如图，抛物线y＝2x2＋4x－6与x轴交于点A，B(点A在点B左侧 )，与y轴交于点D，点P是第三象限内拋物线上的一点，且横坐标 为t，连接PA，PD，AD.
例题图
一、求面积(1)△APD的面积为________，△ABD的面积为________，
四边形ABDP的面积为________；(用含t的代数式表示) 【解法提示】∵抛物线的解析式为y＝2x2＋4x－6， ∴点A(－3，0)，B(1，0)，D(0，－6)， ∴直线AD的解析式为y＝－2x－6.
∴C(1，－4)，
当x＝1时，y＝x－3＝1－3＝－2.
∴E(1，－2)，
∴CE＝2.
第2题图
设M(m，m－3)，则N(m，m2－2m－3)(m>1)，
∴MN＝|m2－2m－3－(m－3)|＝|m2－2m－3－m＋3|＝|m2－3m|，
当MN＝CE时，M，N，C，E是平行四边形的四个顶点，
∴|m2－3m|＝2.
2
(2)一般三角形面积的计算： 构造与坐标轴平行(共线)的线段作为底或高．
(3)四边形面积的计算： 通过分割法或补形法将四边形面积转化为几个三角形或三角形与特殊四 边形面积之间的和或差．
2．求面积最值 利用二次函数性质求最值：设动点P的横坐标为m，用含m的代数式表示 出三角形的面积，利用二次函数性质求解最值．
∴Q(－1＋ 2 ，－4)或(－1－ 2 ，－4).
综上所述，点Q的坐标为(－1＋ 6 ，4)或(－1－ 6 ，4)
或(－1＋ 2 ，－4)或(－1－ 2 ，－4).
存在点Q使S△PBA＝
1 2
S△QBA，理由如下：
∵S△PBA＝16，
例题图
∴S△QBA＝
1 2
×4×|yQ|＝32，
∴yQ＝±16，
2
4
例题图
三、面积定值或面积数量关系(4)若S四边形ABDP＝18， 求点P的坐标；
(4)∵S四边形ABDP＝－3t2－9t＋12， ∴当S四边形ABDP＝18时，－3t2－9t＋12＝18， 解得t1＝－1，t2＝－2， ∴点P的坐标为(－1，－8，)，(－2，－6)；
例题图
(5)若P为该抛物线的顶点，抛物线上是否存在一个异于点P的点Q，使得
2
∴点A的坐标为(－4，0)，
设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点B的
坐标(0，－4)，点A的坐标(－4，0)分别代入
第1题图
第1题解图
得
b 4 4k b
0
,
解得
k 1 b 4 ,
∴直线AB的函数解析式为y＝－x－4，
设点D的坐标为(x，1 x2＋x－4)(－4＜x＜0)，则点E的坐标为(x，－x－4)，
，
P 第2题图
①当m2－3m＝2时，解得m1＝ 3 2 17 ，m2＝ 3 2 17 (舍去).
此时，M1(
3 17 2
，3
2
17 )；
②当m2－3m＝－2时，解得m3＝1(舍去)，m4＝2.
此时，M2(2，－1).
第2题图
∴存在这样的点M使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点．点M的
坐标为( 3 17 ，3 17 )或(2，－1)；
2
可得DE＝－x－4－( 1 x2来自x－4)＝－ 1 x2－2x，
2
2
S△ABD＝
1 2
DE·OA＝1
2
×(－1
2
x2－2x)×4＝－x2－4x
＝－(x＋2)2＋4(－4＜x＜0)，
∵－1＜0，
∴当x＝－2时，S△ABD有最大值，此时D(－2，－4).
第1题解图
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2x＋c与直线y＝ kx＋b都经过A(0，－3)，B(3，0)两点，该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物 线和直线AB的解析式；
当yQ＝16时，x＝－1＋2 3 或x＝－1－2 3 ，
∴Q(－1＋2 3 ，16)或Q(－1－2 3 ，16)，
当yQ＝－16时，不符合题意．
综上所述，点Q的坐标为(－1＋2 3 ，16)
或(－1－2 3 ，16).
例题图
提分要点
二次函数中的面积问题 1．求面积(1)一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形面积的 计算：直接利用S＝1 AB·h.
2
PE·
(AF＋DG)＝1 (－2t2－6t)·3＝－3t2－9t；
2
S△ABD＝
1 2
AB·OD＝
1 2
×4×6＝12；
∟
∟
F E
G 例题图
S四边形ABDP＝S△APD＋S△ABD＝－3t2－9t＋12. 【答案】－3t2－9t，12，－3t2－9t＋12；
∟
∟
F E
G 例题图
二、面积最值 (2)当t＝___32___时，△APD的面积最大，最大面积为__24_7__；
随堂练习
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋m(a≠0)的图象与x轴 交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为(0，－4)，点C坐标为(2， 0).(1)求此抛物线的函数解析式；
解：(1)将点B的坐标(0，－4)，点C的坐标(2，0)代入
y＝ax2＋x＋m中，得
m 4a
4 2
例题图
思考：若点P为该抛物线的顶点，抛物线上是否存在一个异于点P的点Q，
使得S△PBA＝2S△QBA或S△PBA＝12 S△QBA？若存在，请求出点Q的坐标；若 不存在，请说明理由．
存在点Q使S△PBA＝2S△QBA，理由如下： ∵A(－3，0)，B(1，0)，P(－1，－8)，
∴AB＝4，
∴S△PBA＝
1 2
AB·|yP|＝
1 2
×4×8＝16，
∴S△QBA＝12 ×4×|yQ|＝8，
例题图
∴yQ＝±4，
当yQ＝4时，代入y＝2x2＋4x－6中，解得x＝－1＋ 6 或x＝－1－ 6 ，
∴Q(－1＋ 6 ，4)或Q(－1－ 6，4)；
当yQ＝－4时，代入y＝2x2＋4x－6中，解得x＝－1＋ 2 或x＝－1－ 2 ，
【解法提示】∵S△APD＝－3t2－9t＝－3(t＋
3 2
)2＋27
4
(－3＜t＜0)，
∵－3＜0，
∴当t＝－ 3 时，△APD的面积最大，最大面积为 27 .
2
4
例题图
(3)求四边形ABDP的最大面积；
(3)∵S四边形ABDP＝－3t2－9t＋12＝－3(t＋32
)2＋75
4
，
∵－3＜0，
∴当t＝－ 3 时，四边形ABDP面积取最大值，最大面积为 75；
S△PBA＝S△QBA？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(5)存在异于点P的一点Q，使得S△PBA＝S△QBA，理由如下： ∵P为抛物线的顶点，
∴P(－1，－8)，
∴点Q的纵坐标为8，
∴2x2＋4x－6＝8，
解得x＝－1＋2 2 或x＝－1－2 2 ， ∴点Q的坐标为(－1＋2 2 ，8)，(－1－2 2 ，8).
1 2
OB·|yp|－
1 2
OA·OB
＝
3 2
n＋
3 2
(－n2＋2n＋3)－
1 2
×3×3
P 第2题图
＝－ 3 n2＋ 9 n
22
＝－ 3 (n－ 3 )2＋27 .
228
∵0<n<3，－ 3 ＜0，
2
∴当n＝ 3 时，△PAB面积有最大值，最大值为
2
此时，点P的坐标为(
3 2
，－
15 4
).
27 8
2
2
第2题图
(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点
P的坐标，并求△PAB面积的最大值． (3)设P(n，n2－2n－3)，
∵OA＝3，OB＝3，
如图，连接AP，BP，OP.
则S△PAB＝S四边形OAPB－S△OAB
＝S△OAP＋S△OBP－S△OAB
＝
1 2
OA·|xp|＋
m
0
,
解得
∴抛物线的函数解析式为y＝ 1 x2＋x－4；
a 1 2 m 4
,
2
第1题图
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在 点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在， 请说明理由．
(2)存在．如解图，过D点作x轴的垂线交AB于点E， 令y＝0，则 1 x2＋x－4＝0，解得x＝2或x＝－4，
例题图
如图，过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点E，过点D作DG⊥PF，交FP
延长线于点G，
∵点P的横坐标为t，
∴P(t，2t2＋4t－6)，E(t，－2t－6)，F(t，0)，
∴PE＝－2t2－6t，AF＝3＋t，DG＝－t，
∵S△APD＝S△APE＋S△DPE＝12
PE·AF＋1
2
PE·DG＝1