映射与函数

x0 x0 .
-1 x<0
此函数称为符号函数,
其定义域为D(-, +) ,
其值域为Rf {-1, 0, 1}.
例7 函数y[x].
此函数称为取整函数,
其定义域为D(-, +),
其值域为Rf Z.
注: 设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部 分, 记作[x].
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例例6.8 函数 y21xx
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•函数的有界性举例 f(x)sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1.
函数
f
(x)
1 x
在开区间(0,
1)内是无上界的.
这是因为, 对于任一 M>1, 总有x1
f
(x1)
1 x1
M
,
:
0< x1<
1 M
<1 ,
使
所以函数无上界.
函数
f
(x)
1 x
在(1,
2)内是有界的.
说明:
Rf 是在R的几一何个上真, 这子个集映. 射表示将平面上一个圆心在原点 的单位对圆于周Rf中上的的元点素投y影, 除到yx轴0外的,区它间的[原-1像, 1不]上是. 唯一的. 如y4的原像就有x2和x-2两个.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2.
f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY,
讨论: 下述三个映射各是什么映射？
(3) f :[- , ] [-1, 1], 对每个 x[- , ] , f(x)sin x .
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1.函数概念
三、函数
❖定义 称映射f : A B为定义在A上的函数, 若B为数集.通
常简记为
yf(x), x A, 其中x称为自变量, y称为因变量, A称为定义域,记为Df .
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二、映射
1.映射的概念 ❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
f : XY. •需要注意的问题
(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即 定义域DfX; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使 对每个xX, 有唯一确定的yf(x)与之对应.
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❖函数举例
例4 函数 y2. 这是一个常值函数, 其定义域为D(-, ), 其值域为Rf {2}.
例例6.5
函数
y
|
x| -
x x
x0 x<0
.
此函数称为绝对值函数,
其定义域为D(-, +),
其值域为Rf [0, + ).
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例例7.6
函数
y
sgn
x
1 0
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2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A−B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI−A{x|xA, xI}为称A的余集或补集, 其中I为
全集.
提示:
如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所
0 x1 . x 1
此函数的定义域为D[0, 1](0, )[0, ).
当 0 x 1 时, y 2 x 当 x>1 时, y1x.
例如 f (12) 2
1 2
2
f (1) 2 1 2 f(3)134.
❖分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对
应法则用不同式子来表示的函数称
为分段函数.
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•(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
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❖直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB}
称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
§1.1 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
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一、集合
1.集合 ❖集合
集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. ❖元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.
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❖函数的两要素
构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么
这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. ❖函数的定义域
函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际 意义确定. 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式 有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的 自然定义域.
讨论: 下述三个映射各是什么映射？
(1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2. (2)设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对 每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
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❖满射、单射和双射
设f是从集合X到集合Y的映射. •若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).
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二、映射
1.映射的概念
❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
f : XY. •需要注意的问题
(2)对每个xX, 元素x的像y是唯一的; 而对每个yRf, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域Rf是Y的一个 子集, 即Rf Y, 不一定RfY .
的集合, RR常记作R2.
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3.区间和邻域 ❖有限区间
数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}.
[a, b]{x|axb}——闭区间.
[a, b){x|ax<b}——半开区间, (a, b]{x|a<xb}——半开区间.
上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.
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❖满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射.
•若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).
f : XY.
• y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即yf(x),
•元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;
•集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即DfX. •X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为
Rf , 或f(X), 即
Rf f(X){f(x)|xX}.
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对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
例例33 设 f :[- , ] [-1, 1], 对每个 x[- , ] ,
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f(x)sin x .
f 是一个映射, 定义域 D f [- , ] , 值域 R f [-1, 1].
为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半
径.
❖去心邻域 。
U(a, ){x|0<|x-a|<}.
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二、映射
1.映射的概念
❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使
得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与
之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
有界函数的和、差、积都是有界函数.
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返回下页Biblioteka 结束铃(2)函数的单调性
设函数yf(x)在区间I上有定义, x1及x2为区间I上任意 两点, 且x1<x2.
如果恒有f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在I上是单调递增的. 如果恒有f(x1)≥f(x2), 则称f(x)在I上是单调递减的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
求函数的定义域举例>>>
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❖单值函数与多值函数 在函数的定义中, 对每个xD, 对应的函数值y总是唯
一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总
有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这 种法则确定了一个多值函数.
例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上等表的, 示此函与时数自函, 这变数时量就应x记对理作应解y的为g函(由x)数、它值所y.确F(定x)、的y函数(xf).等.
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❖几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.
❖子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子
集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB. 显然, NZ, ZQ, QR.
y r2 -x2 . 此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支
y y1(x) r 2 - x2 .
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❖函数的表示法 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解
析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平
面上的点集
{P(x, y)|yf(x), xD} 称为函数yf(x), xD的图形.
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3.区间和邻域 ❖无限区间
[a, ){ x|ax}, (-, b]{ x|xb}, (a, ){ x|a<x}, (-, b){ x|x<b}, (-, ){ x| |x|<}.
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❖邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).
设>0, 则称 U(a, )(a-, a){x| |x-a|<}
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2.函数的几种特性
(1)函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 如果存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x) 在X上有上界. 如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x)K2, 则称函数f(x) 在X上有下界. 如果存在正数M, 使对任一xX, 有|f(x)|M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x) 在X上无界.
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❖集合的表示 •列举法
把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. •描述法 若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}.
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研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本
集.
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❖集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA,
ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC),
(AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC),
(AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.