四川省德阳市2020年初二下期末综合测试数学试题含解析

四川省德阳市2020年初二下期末综合测试数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．对角线相等且互相平分的四边形是（ ） A ．一般四边形
B ．平行四边形
C ．矩形
D ．菱形
2．如图，直线(0)y kx b k =+≠的图象如图所示．下列结论中，正确的是（ ）
A ．0k >
B ．方程0kx b +=的解为1x =；
C ．0b <
D ．若点A （1，m ）、B （3，n ）在该直线图象上，则m n <．
3．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别是3cm 、4cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ）
A ．
6
5
cm B ．
125
cm C ．
24
5
cm D ．23 cm
4．如图，菱形ABCD 的周长为28，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 的中点，则OE 的长等于（ ）
A ．2
B ．3.5
C ．7
D ．14
5．要使二次根式x 有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
6．已知不等式组12212
3x a x x -≥⎧⎪
+-⎨>⎪⎩的解集如图所示（原点未标出，数轴的单位长度为1），则 a 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．函数2x -x 的取值范围为（ ）
A ．x≥0
B ．x≥﹣2
C ．x≥2
D ．x≤﹣2
8．下列式子中，a 取任何实数都有意义的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．如果a 为任意实数, 下列各式中一定有意义的是（ ） A ．a
B ．2a -
C ．21a +
D ．21a -
10．用配方法解方程x 2﹣2x ﹣1=0，原方程应变形为（ ） A ．（x ﹣1）2=2 B ．（x+1）2=2 C ．（x ﹣1）2=1 D ．（x+1）2=1 二、填空题
11．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y 单位：L )与时间x (单位min )之间的关系如图所示：则8min 时容器内的水量为__________．
12．如图，在菱形ABCD 中，∠C ＝60º，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF ＝5，则菱形ABCD 的周长为____________．
13．如图，在平行四边形ABCD 中，10AB =，6AD =，AC BC ⊥，则BD =______.
14．在平面直角坐标系中，将点P(﹣2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P'的坐标是_____．
15．对于实数x ，我们[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[4
10
x +]＝5，则x 的取值范围是______．
16．如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝2，∠ADB ＝30°，沿对角线BD 折叠（使△ABD 和△EBD 落在同一平面内），
A 、E 两点间的距离为______▲_____.
17． “暑期乒乓球夏令营”开始在学校报名了，已知甲、乙、丙三个夏令营组人数相等，且每组学生的平均年龄都是14岁，三个组学生年龄的方差分别是2
17S =甲，2
14.6S =乙，2
19S =丙 如果今年暑假你也准备报名参加夏令营活动，但喜欢和年龄相近的同伴相处，那么你应选择是________. 三、解答题
18．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，D 是AB 的中点．若在AC 上存在一点E ，使得△ADE 与原三角形相似．
（1）确定E 的位置，并画出简图： （2）求AE 的长．
19．（6分）先化简，再求值()22219
1691
a a a a a a --÷+⨯
++-，其中a=-2 20．（6分）用适当的方法解下列方程: （1）()()2 518x x +-= （2）()()2
2
21 92x x -=-
21．（6分）已知y －2和x 成正比例，且当x ＝1时，当y ＝4。

（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若点P （3，m ）在这个函数图象上，求m 的值。

22．（8分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图所示．
①当0≤x≤3时，求y 与x 之间的函数关系． ②3＜x≤12时，求y 与x 之间的函数关系．
③当容器内的水量大于5升时，求时间x 的取值范围．
23．（8分）如图，一次函数y=k1x﹣1的图象经过A（0，﹣1）、B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为1．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）x轴上是否存在点Q，使△QBM∽△OAM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．24．（10分）如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证：≌.
（2）若DEB=90，求证四边形DEBF是矩形.
25．（10分）为了解上一次八年级数学测验成绩情况，随机抽取了40名学生的成绩进行统计分析，这40名学生的成绩数据如下：
55 62 67 53 58 83 87 64 68 85
60 94 81 98 51 83 78 77 66 71
91 72 63 75 88 73 52 71 79 63
74 67 78 61 97 76 72 77 79 71
（1）将样本数据适当分组，制作频数分布表：
分组
频数
（2）根据频数分布表，绘制频数直方图：
（3）从图可以看出，这40名学生的成绩都分布在什么范围内？分数在哪个范围的人数最多？
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．C
【解析】
【分析】
由对角线互相平分，可得此四边形是平行四边形；又由对角线相等，可得是矩形；
【详解】
∵四边形的对角线互相平分，
∴此四边形是平行四边形；
又∵对角线相等，
∴此四边形是矩形；
故选B.
【点睛】
考查矩形的判定，常见的判定方法有：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
2．B
【解析】
【分析】
根据函数图象可直接确定k、b的符号判断A、C，根据图象与x轴的交点坐标判断选项B，根据函数性质判断选项D.
【详解】
由图象得：k<0，b>0，∴A 、C 都错误；
∵图象与x 轴交于点（1,0），∴方程0kx b +=的解为1x =，故B 正确； ∵k<0，∴y 随着x 的增大而减小，由1<3得m>n ，故D 错误， 故选：B. 【点睛】
此题考查一次函数的图象，一次函数的性质，正确理解图象得到对应的信息是解题的关键. 3．B 【解析】 【分析】
根据菱形的性质得出BO 、CO 的长，在RT △BOC 中求出BC ，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE ，可得出AE 的长度． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴CO ＝
12AC ＝3
2cm ，BO ＝12
BD ＝2cm ，AO ⊥BO ，
∴BC 5
2
=
cm ， ∴S 菱形ABCD ＝
1
22
AC BD ⨯=×3×4＝6cm 2， ∵S 菱形ABCD ＝BC×AE ， ∴BC×AE ＝6， ∴AE ＝
612
5
BC =cm ． 故选：B ． 【点睛】
此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分． 4．B 【解析】 【分析】
由菱形的周长可求得AB 的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0 【详解】
∵四边形ABCD 为菱形，∴AB 1
4
=
⨯28=7，且O 为BD 的中点．
∵E 为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE 1
2
=AB=3.1． 故选B ． 【点睛】
本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE 为△ABD 的中位线是解题的关键． 5．B 【解析】 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得出x 的取值范围进而得出答案． 【详解】
解：要使二次根式x 有意义， 则x≥0，
则x 的取值范围在数轴上表示为：．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 6．A 【解析】 【分析】
首先解不等式组，然后即可判定a 的值. 【详解】
1x a -≥，解得1x a ≥+
221
23
x x +->，解得8x ＜ 由数轴，得4a = 故选：A. 【点睛】
此题主要考查根据不等式组的解集求参数的值，熟练掌握，即可解题. 7．C 【解析】
∵函数y 2x -有意义， ∴x -2≥0, ∴x≥2; 故选C 。

8．A
【解析】
【分析】
直接利用分式和二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
A、，无论a为何值，a2+1都大于零，故a取任何实数都有意义，符合题意；
B、，a2-1有可能小于零，故此选项不合题意；
C、，a-1有可能小于零，故此选项不合题意；
D、，当a=0时，分式无意义，故此选项错误；
故选A．
【点睛】
此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
9．C
【解析】
【分析】
【详解】
解：选项A、B、D中的被开方数都有可能是负数，
a ，一定有意义．故选C．
选项C的被开方数210
10．A
【解析】分析：先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全公式表示即可．详解：x1﹣1x=1，
x1﹣1x +1=1，
（x﹣1）1=1．
故选A．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）1=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
二、填空题
11．1
【解析】
【分析】
利用待定系数法求后8分钟的解析式，再求函数值． 【详解】
解：根据题意知：后8分钟水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系满足一次函数关系，设y=kx+b 当x=4，y=20 当x=12，y=30
∴2043012k b k b =+⎧⎨=+⎩
∴ 1.25
15
k b =⎧⎨
=⎩
∴后8分钟水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系满足一次函数关系y=1.1x+15 当x=8时，y=1． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查利用待定系数法求一次函数解析式，并根据自变量取值，再求函数值．求出解析式是解题关键． 12．1 【解析】 【分析】
先根据菱形的性质可得,60AB AD A C =∠==∠︒，再根据线段中点的定义可得AE AF =，然后根据等边三角形的判定与性质可得5AE EF ==，从而可得10AB =，最后根据菱形的周长公式即可得． 【详解】
四边形ABCD 是菱形，60C ∠=°
60,AB AD A C ∴=∠==∠︒
点E 、F 分别是AB 、AD 的中点
11
,22
AE AB AF AD ∴=
= AE AF ∴=
又60A ∠=︒
AEF ∴是等边三角形
5AE EF ∴== 210AB AE ∴==
则菱形ABCD 的周长为441040AB =⨯=
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
13．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可得AB=10，BC=AD=6，由BC⊥AC，根据勾股定理求得AC的长，即可求得OA 长，再由勾股定理求得OB的长，即可求得BD的长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，OB=OD，OA=OC，
∵AC⊥BC，
∴=8，
∴OC=4，
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质及勾股定理是解决本题的关键．14．（1，5）
【解析】
【分析】
根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求解即可．
【详解】
解：∵点P（-2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P'，
∴点P′的横坐标为-2+3=1，
纵坐标为1+4=5，
∴点P′的坐标是（1，5）．
故答案为（1，5）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下
移减．
15．46≤x<1
【解析】
分析：根据题意得出5≤410x +＜6，进而求出x 的取值范围，进而得出答案． 详解：∵[x ]表示不大于x 的最大整数，[410x +]=5，∴5≤410
x +＜6 解得：46≤x ＜1．
故答案为46≤x ＜1．
点睛：本题主要考查了不等式组的解法，得出x 的取值范围是解题的关键．
16．1
【解析】
根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
解答：解：如图，
矩形ABCD 的对角线交于点F ，连接EF ，AE ，则有AF=FC=EF=FD=BF ．
∵∠ADB=30°，
∴∠CFD=∠EFD=∠AFB=60°，
△AFE ，△AFB 都是等边三角形，
有AE=AF=AB=1．
17．乙组
【解析】
【分析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定解答即可．
【详解】
解：∵217S =甲，214.6S =乙，2
19S =丙，
∵2S 乙最小， ∴乙组学生年龄最相近，应选择乙组.
故答案为：乙组．
【点睛】
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越
大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
三、解答题
18．（1）画出简图见解析；（2）AE 的长为4或94． 【解析】
【分析】
(1)分别从△ADE ∽△ABC 与△ADE ∽△ACB 去求解，即可画出图形；
(2)分别从当
AD AE AB AC =时，△ADE ∽△ABC 与当AD AE AC AB
=时，△ADE ∽△ACB 去分析求解即可求得答案． 【详解】
画出简图如图所示：
当DE 1∥BC 时，△ADE ∽△ABC
当∠ADE 2=∠C 时，△ADE ∽△ACB (2)∵D 是AB 的中点，AB ＝6，
∴AD ＝3，
∵∠A 是公共角，
∴当
AD AE AB AC
=时，△ADE ∽△ABC ， ∴368AE =， 解得：AE 1＝4；
∴当
AD AE AC AB
=时，△ADE ∽△ACB ， ∴386
AE =， 解得AE 2＝94
， ∴AE 的长为4或94． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确地进行分类讨论，熟练运用相似三角形的相关知识是解题的关键.
19．33
a a -+,原式=-5； 【解析】
【分析】
先把除法运算转化为乘法运算，再把分子分母运用完全平方公式和平方差公式因式分解，约去公因式，化成最简形式，再把a 的值代入求值.
【详解】
原式()()()
()()211331113a a a a a a a +-+-=⋅⋅+-+ 33
a a -=+， 当2a =-时，原式5=-.
【点睛】
这道求代数式值的题目，不应考虑把a 的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，把除法转换为乘法，约去分子分母中的公因式，然后再代入求值.
20．（1）127,4x x ==-；（2）127,55
x x =
=. 【解析】
【分析】
（1）首先分解因式，再用十字相乘法计算；
（2）首先转化形式，然后直接采用平方差公式计算.
【详解】
1（）原方程可转化为： 23280x x --=
()()740x x -+=
127,4x x ==-
()2
原方程可转化为：
()()2
221 203x x ---=⎡⎤⎣⎦ ()()213621360x x x x -+---+=
127,55
x x == 【点睛】
此题主要考查一元二次方程的解法，熟练运用，即可解题.
21．（1）y ＝2x ＋2；（2）m=8
【解析】
【分析】
（1）设y-2=kx，把已知条件代入可求得k，则可求得其函数关系式，可知其函数类型；（2）把点的坐标代入可得到关于m的方程，可求得m的值．
【详解】
（1）设y－2＝kx，
把x＝1，y＝4代入求得k＝2，
∴函数解析式是y＝2x＋2；
（2）∵点P（3，m）在这个函数图象上，
∴m＝2×3＋2＝8.
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键．22．①当0≤x≤3时，y与x之间的函数关系式为y＝5x；
②
5
20
3
y x
=-+；
③1＜x＜1．
【解析】
【分析】
①当0≤x≤3时，设y＝mx（m≠0），根据图象当x=3时，y=15求出m即可；
②当3＜x≤12时，设y＝kx+b（k≠0），根据图象过点（3,15）和点（12,0），然后代入求出k和b即可；
③根据函数图象的增减性求出x的取值范围即可.
【详解】
解：①当0≤x≤3时，设y＝mx（m≠0），
则3m＝15，
解得m＝5，
∴当0≤x≤3时，y与x之间的函数关系式为y＝5x；
②当3＜x≤12时，设y＝kx+b（k≠0），
∵函数图象经过点（3，15），（12，0），
∴
315
120
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
5
3
20
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴当3＜x≤12时，y与x之间的函数关系式y＝﹣5
3
x+20；
③当y＝5时，由5x＝5得，x＝1；
由﹣5
3
x+20＝5得，x＝1．
∴由图象可知，当容器内的水量大于5升时，时间x的取值范围是1＜x＜1．【点睛】
一次函数的解析式及其性质是本题的考点，根据题意读懂图象是解题的关键.
23．（1）反比例函数解析式为：y=；（2）P（5，0）；（3）Q点坐标为：（，0）．
【解析】
试题分析：（1）利用已知点B坐标代入一次函数解析式得出答案，再利用△OBM的面积得出M点纵坐标，再利用相似三角形的判定与性质得出M点坐标即可得出反比例函数解析式；
（2）过点M作PM⊥AM，垂足为M，得出△AOB∽△PMB，进而得出BP的长即可得出答案；
（3）利用△QBM∽△OAM，得出=，进而得出OQ的长，即可得出答案．
解：（1）如图1，过点M作MN⊥x轴于点N，
∵一次函数y=k1x﹣1的图象经过A（0，﹣1）、B（1，0）两点，
∴0=k1﹣1，AO=BO=1，
解得：k1=1，
故一次函数解析式为：y=x﹣1，
∵△OBM的面积为1，BO=1，
∴M点纵坐标为：2，
∵∠OAB=∠MNB，∠OBA=∠NBM，
∴△AOB∽△MNB，
∴==，
则BN=2，
故M（3，2），
则xy=k2=6，
故反比例函数解析式为：y=；
（2）如图2，过点M作PM⊥AM，垂足为M，
∵∠AOB=∠PMB，∠OBA=∠MBP，
∴△AOB∽△PMB，
∴=，
由（1）得：AB==，BM==2，
故=，
解得：BP=4，
故P（5，0）；
（3）如图3，∵△QBM∽△OAM，
∴=，
由（2）可得AM=3，
故=，
解得：QB=，
则OQ=，
故Q点坐标为：（，0）．
考点：反比例函数综合题．
24．（1）利用SAS证明；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键．（1）由在□ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形DEBF是矩形．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，∴BE=DF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形．
故答案为（1）利用SAS证明；（2）证明见解析.
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
25．答案见解析
【解析】
试题分析：（1）根据题意制作频数分布表即可；
（2）根据题意绘制频数直方图即可；
（3）根据题意即可得到结论．
试题解析：
（1）将样本数据适当分组，制作频数分布表：
分组[50，59] [60，69] [70，79] [80，89] [90，100]
频数 5 10 15 6 4
故答案为：[50，59]，[60，69]，[70，79]，[80，89]，[90，100]，5，10，15，6，4；
（2）根据频数分布表，绘制频数直方图：
（3）从图可以看出，这40名学生的成绩都分布在50∽100分范围内，分数在70﹣80之间的人数最多．。