2020_2021学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元评估卷习题含解析新人教A版选修1_2

第三章单元评估卷
限时：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i
D ．－1－i 3．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2i
D ．3－2i
4．设a 是实数，且a
1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )
A.1
2 B ．1 C.32
D ．2
5．若a 为实数，且(2＋a i)·(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2
6．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i
D ．－4－i
7．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i
8．复数z 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2
＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ
→对应的复数是( )
A.10
B ．－3－i
C ．1＋i
D ．3＋i
9．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
10．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2i
D ．－2－2i
11．若复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两个点
D ．两个圆
12．对于任意的复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，下列结论正确的是( ) A ．z －z ＝2a B ．z ·z ＝|z |2 C.z z
＝1
D ．z 2≥0
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上) 13．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 2
4的虚部等于________．
14．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.
15．i 是虚数单位，若复数(1－2i)·(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 16．下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是________．
答案
1．D 由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)，故选D.
2．D (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i ＝(1＋i )·2i －2i
＝－1－i.
3．A 因为z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ， 所以z ＝2－3i.
4．B
a 1＋i
＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i ，由题意可知1－a 2＝0，即a ＝1.
5．B ∵(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
4a ＝0，a 2－4＝－4，
解之得a ＝0. 6．A 由题意知z 2＝－2＋i.
所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.
7．B 设z ＝a ＋b i(a, b ∈R )，则z ＝a －b i.故2z ＋z ＝2(a ＋b i)＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3b ＝－2，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝1
b ＝－2，所以z ＝1－2i.故选B.
8．D ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ，∴PQ →
对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.故选D.
9．A m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分条件．由z 1＝z 2，得m 2＋m ＋1＝3，且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1.故选A.
10．A ∵b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0， ∴b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋4b ＋4＝0，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2.
∴z ＝2－2i. 11．A 由|z |2－2|z |－3＝0，得(|z |－3)(|z |
＋1)＝0.因为|z |＋1>0，所以|z |－3＝0，即|z |＝3，所以复数z 对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，故选A.
12．B 因为z ＝a ＋b i ，所以z ＝a －b i ，于是z －z ＝(a ＋b i)－(a －b i)＝2b i ，A 选项错
误；z ·z ＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝|z |2，B
选项正确；若z z
＝1，则z ＝z ，即a ＋b i ＝a －b i ，
所以b ＝0，于是z 为实数，与已知矛盾，C 选项错误；又z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，若ab ≠0，则z 2为虚数，不能与0比较大小，D 选项错误，故选B.
13.45
解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为4
5.
14．3
解析：因为复数a ＋b i 的模为3，所以a 2＋b 2＝3， 即a 2＋b 2＝3.
于是(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2＋b 2＝3.
15．－2
解析：(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i. ∵(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，
∴a ＋2＝0，且1－2a ≠0，∴a ＝－2. 16．①②③
解析：①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有表明x ，y 是否是实数；④若z ＝b i(b ≠0)为纯虚数，则z 2＝－b 2<0，故①②③均是错误命题，④是正确的．
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三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)计算：
－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 3 204＋
(4－8i )2－(－4＋8i )2
11－7i .
18．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a ∈R ，当a 取何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 是零．
答案
17．解：原式＝(－23＋i )(1－23i )12＋(23)2＋⎣⎡⎦⎤2(1＋i )2
1 602
＋ (4－8i )2－(4－8i )211－7i ＝13i 13＋⎝⎛⎭⎫1i 1 602
＋0 ＝i ＋(－i)1 602＝i ＋i 2＝－1＋i.
18．解：(1)z ∈R ，只需a 2－7a ＋6＝0， 所以a ＝1或a ＝6.
(2)z 是纯虚数，只需⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋a －2＝0，
a 2－7a ＋6≠0，所以a ＝－2.
(3)因为z ＝0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＋a －2＝0，
a 2－7a ＋6＝0.所以a ＝1.
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19.(12分)复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是3＋i ，向量AC →
对应的复数是－2－4i ，向量BC →
对应的复数是－4－i ，求B 点对应的复数．
20．(12分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求 (1＋i )2(3＋4i )2
2z 的值．
答案
19．解：因为向量AC →对应的复数是－2－4i ，向量BC →对应的复数是－4－i ，所以AB →
表示的复数是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i ，故OB →＝OA →＋AB →
对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i ，所以B 点对应的复数为5－2i.
20．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵|z |＝1＋3i －z ， ∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，
即⎩⎨⎧
a 2＋
b 2＋a －1＝0，b －3＝0.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－4，
b ＝3.
∴z ＝－4＋3i ，
∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i
4－3i
＝3＋4i.
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21.(12分)已知z ＝m ＋3＋33i ，其中m ∈C ，且m ＋3
m －3为纯虚数；
(1)求m 对应点的轨迹； (2)求|z |的最大值、最小值．
22．(12分)设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1
z 1是实数，且－1≤z 2≤1.
(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 1
1＋z 1，求证：ω为纯虚数．
答案
21.解：(1)设m ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则 m ＋3m －3＝(x ＋3)＋y i (x －3)＋y i ＝(x 2＋y 2－9)－6y i
(x －3)2＋y 2
， ∵m ＋3m －3为纯虚数，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－9＝0，y ≠0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝32，y ≠0.
∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点． (2)由(1)知|m |＝3，由已知m ＝z －(3＋33i)， ∴|z －(3＋33i)|＝3.
∴z 所对应的点Z 在以(3,33)为圆心，以3为半径的圆上． 由图形可知|z |的最大值为|3＋33i|＋3＝9； 最小值为|3＋33i|－3＝3.
22．(1)解：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1
a ＋
b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭
⎫b －b
a 2＋
b 2i.
因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a .
由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤1
2，即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (2)证明：ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i
1＋a ＋b i
＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1
i.
因为a ∈⎣⎡⎦⎤－12，1
2，b ≠0，所以ω为纯虚数．。