3.2.1 函数的单调性教案——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
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《3.2.1 函数的单调性教案》教学设计
教材内容:
本节内容包含函数的单调性的含义及函数单调性的证明两部分内容。
在初中学习函数时,就已经学过函数的增减性,函数的单调性是对初中所学的函数的增减性这一性质进一步的深入学习。
同时函数的单调性是函数重要的性质之一,是在前一节学习了函数表示法的基础上,对函数性质进一步的研究,也为之后学习函数的值域、最大(小)值奠定了基础。
本节课所学习的函数思想将贯穿于整个高中的函数学习中,所以本节课的学习对于高中数学而言尤为重要。
教学目标:
1. 理解增函数、减函数的概念,经历概念的形成过程,会用函数增减性的概念判断函数在某一区间上的增减性,会求给定函数的单调性.
2. 会运用函数图象理解和研究函数的单调性.
教学重点与难点:
1.重点:理解函数单调性的概念;判断函数的单调性.
2.难点:判断函数的单调性.
教学过程设计:
为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学过程设计为四个阶段:创设情境,引入课题;归纳探索,形成概念;掌握证法,适当延展;归纳小结,提高认识.具体过程如下:
(一)创设情境,引入课题
概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括,只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后,才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解,因此在本阶段的教学中,我从具体材料——“北京冬奥”为
例出发,而不是从抽象语言入手来引入函数的单调性.使学生体会到研究函数单调性的必要性,明确本课我们要研究和学习的课题,同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.
在课前,我给学生布置了两个任务:
(1) 研究近三年北京、张家口2月的天气状况,得出2022年北京冬奥会选择在2月上中旬的原因.
课上通过交流,可以了解到近三年北京、张家口2月天气的状况,北京的天气在2月上中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜大型国际体育赛事.
(2) 绘制西畴县西洒镇2020年12月30日的气温变化曲线图.
课上我引导学生观察西畴县西洒镇2020年12月30日的气温变化曲线图,引导学生体会在某些时段温度升高,某些时段温度降低.
然后,我指出生活中我们关心很多数据的变化,并让学生举出一些实际例子(如燃油价格等). 随后进一步引导学生归纳:所有这些数据的变化,用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.
(二)归纳探索,形成概念
具体实例的分析
绘制:二次函数f(x)=x2的图象并研究其单调
性
图象: 在y轴左侧部分从左到右是下降的,
数值:当x ≤0时,y随x的增大而减小.
符号语言: 任意取x1 , x2∈(-∞, 0],f(x1)=x12, f(x2)=x22,函数f(x)=x2在区间(- ∞,0]上是单调递减的.
绘制: 二次函数f(x)=x2的图象并研究其单调
性
图象: 在y 轴右侧部分从左到右是上升的,
数值:当x ≥ 0时,y 随x 的增大而增大.
符号语言: 任意取x1 , x2∈[0, +∞),
f(x1)=x12, f(x2)=x22,
函数f(x)=x2在区间[0, + ∞)上是单调递增的.
函数y=x2在(-∞, 0]上单调递减,在(0, +∞)上单调递增.
但y=x2在(-∞, +∞)上不是单调函数(既非增函数也非减函数). 课堂活动:学生先独立绘图再小组讨论,然后组织全班交流. 设计意图:从刻画数量特征角度进行描述,可以促使学生深入思考单调性,以及从定性描述转向定量刻画.
单调性定义的抽象
思考:函数f(x)=|x|,f(x)=-x2各
有怎样的单调性?
课堂活动:先由学生独立完成,
然后小组交流,再组织全班交流.在
充分交流的基础上,我再给出严格的单调性定义表述。
1、一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D 上是增函数,如图(图3.2-3(1))
2、一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1,x2 ,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2) ,那么就说f(x)在区间D 上是减函数 ,如图(图3.2-3(2))
3、如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x)的单调区间.
4
、增函数:
减函数: 单调性定义的辨析
(1)定义在R 上的函数f (x)满足 f (2)> f(1),则函数 f (x)在R 上是增函数.这种说法正确吗?
(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,你能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗?你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗?
课堂活动:先由学生独立思考完成,再组织全班交流,提醒学生用多种方法表示函数(特别是利用图象直观说明问题).
设计意图:
问题(1)是引导学生辨析定义中的“任意”二字;
问题(2)既是为了区分“单调递增”与“增函数”、“单调递减”与“减函数”等概念,也是为了引导学生认识函数在不同区间上单调递增(递减)时,在它们的并集上不一定保持单调递增(递减)的性质. (三)掌握证法、适当延展
例1根据定义,研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.
课堂活动:首先让学生独立思考;然后共同讨论研究思路;最后由学生给出严格的表述(可以让几个学生板书),再由我引导学生进行点评.
强调:(1)研究一个函数的单调性,需要利用单调性的定义,考察在定义域的哪些区间上单调递增、在哪些区间上单调递减.(2)具体的操作方法是:在条件x1<x2 下,考察不等式f(x1)<f(x2)是否成立.这里往往要用不等式的性质和代数变形.
设计意图:关于一次函数的单调性,初中是通过观察图象得到的,这里是利用定义通过严格的逻辑推理证明结论.由此,不仅体现了形式化定义的作用,而且通过比较简单的推理过程,让学生理解用单调性定义,考察函数单调性的基本方法。
课堂活动:首先由学生独立思考并写出证明过程,可选几名学生板书;然后再进行全班交流.要引导学生进一步总结证明步骤,明确代数变形的方向.
设计意图:利用单调性的定义,通过严格的代数推理,获得函数在(1,+∞)上单调递增的性质,这在没有函数单调性定义的时候是做不到的,可以使学生进一步体会定义的作用;同时,也可以使学生体
会代数证明的一般方法,培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.
(四) 归纳总结、提高认识
4.1. 课堂小结
回答下列问题:
(1)什么叫函数的单调性?你能举出一些具体例子吗?
(2)你认为,在理解函数的单调性时应把握好哪些关键问题?
(3)结合本节课的学习过程,你对函数性质的研究内容和方法有什么体会?
课堂活动:学生独立思考的基础上回答,再由我进行归纳总结. 设计意图:(1)让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念,通过举例使学生进一步把握函数单调性的要点;(2)引导学生进一步理解“函数有意义”是讨论函数单调性的前提,“Vx1,x2∈I ,且设x1<x2”的含义,如何对“f(x1)-f(x2)”进行代数变形等;(3)要使学生体会“从定性到定量”的研究思路,即通过图象直观及自然语言刻画得到函数性质的定性刻画,再用符号语言进行定量刻画,从而使函数性质得到严谨的数学表达.
4.2 板书:
1.
两个定义:增函数、减函数的定义;
增函数: 减函数: 2:两种方法
①(图象法)判断函数的单调性:从左到右看
增函数图象上升;减函数图象下降
②(定义法) 函数单调性证明步骤:
取值→作差变形→判号→结论(x1<x2,同号为增、异号为减)
3.一个数学思想:数形结合思想
4.3 目标检测设计
1、请根据下图描述某装配线的生产效率
与生产线上工人数量间的关系.
设计意图:考查学生通过图象观察得到函
数的单调性,并会用其解释实际问题。
2、如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数
y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区
间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数
还是减函数?
设计意图:考查学生通过图象观察得到函数的单调区间,并注意多区间的书写。
3、根据定义证明函数f (x) =3x+2是增函数.
设计意图:考查学生利用单调性定义进行证明的步骤和方法。
4、对于函数y=x+2/x,其图象如图:
设计意图:通过对对勾函数的理解,让学生知道高考考查方向,并掌握对勾函数的单调性问题。
4.4 作业布置
基础提升:课本P85 T1、T2、T3
能力提升:函数y=x2+bx+c在[0,+∞)是增函数,满足条件的实数b的值唯一吗?
重点突破:对于函数y=x+a/x的图象,它的单调性如何?
设计意图:通过本节课的讲授需要让85%以上的学生达到基础达标的标准;让中等以上层次的学生感受含有参数的单调性题目,培养其数学运算和抽象逻辑的数学思维;让优生有题做出,学会贴近高考,以高考的眼光学习新知。