《大学物理》第2章 质点运动学

O
r
x
x
r r (t)
z z
xi yj zk
x(t)i y(t) j z(t)k
2、位移 质点在一段时间内位置的变化叫做它在这段时间
内的位移。
➢A 点位置矢量
r (t )
B
r
➢B 点位置矢量
r (t t)
A
r (t t)
O r(t)
➢位移
r r(t t) r(t)
S dS
lim v
t0 t dt
一般地说:
v dS
Δdt →r 0时v
dS dr
dt dt
➢即瞬时速率就是瞬时速度的大小
Байду номын сангаас
B
注意
r
r (t t)
一般地
r r
dr
v v
dt
A
r (t )
r(t t)
dr dt
r(t) r
（5）分速度
由于
r xi yj zk
有
v
a dv dt d2x
dt2
v
t 0
t
O
x
x
a
初始条件 t 0 x0 0 v v0
a dv dt
v0
t 0
v
t
dv adt O
v
t
dv adt
v0
0
x
x
a
➢ a = 常数时质点作匀加速直线运动
v
t
dv adt
v0
0
v dx dt
v v0
a
t
dt
0
at
v v0 at
同一物体的同一运动，对于不同的参考系，有不 同的运动表现形式。
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
车作匀速运动
v
车上的人观察到石子作直线运动
v
v
地面上的人观察到石子作抛物线运动
v
v
运动的相对-绝对性
对同一物体运动状态的描述，因所选参考系的不同而 不同，所以物质的运动是相对的。
但在自然界中，无论是从机械运动看，还是从其他更 高级的运动形式看，一切物质都处于永恒不息的运动 之中，运动和物质是不可分割的，运动是物质的存在 形式，所以物质的运动又是绝对的，而物质的静止则 是相对的。
第 1 章 质点运动学
力学研究对象
力学一般指牛顿力学或经典力学。它是以牛顿运动 定律为基础，研究物体机械运动的规律及其应用的 一门学科。
力学讨论的许多基本原理，是物质运动普遍遵从的 规律。因而，力学是许多学科的基础。
机械运动
机械运动是物体之间的相对位置随时间的变 化过程。
在所有的物质运动中，机械运动是最简单、 但又是最基本的一种运动。几乎在物质的所 有运动中都包含了这种运动形式。
a
(
d2 dt
x
2
)2
(
d2 dt
y
2
)2
你认为两种方法哪一种正确？两者差别在哪里？
1.5 圆周运动
圆周运动： r Rer , r R
圆周运动的速度：
O
s
A
x
v
dr
R
der
dt dt
der lim er (t t) er (t)
dt t0
t
lim er
t0 t
er
er (t t)
地面参考系 实验室参考系 被选作参考系的物体，可认为是“静止”的。
对地球参考系来说，火车在奔驰。 从太阳系来看，地球正以 30km/s 的平均速率绕太
阳旋转。 从银河系中心来看，太阳则以 250km/s 的速率绕银
河系中心运动着。 由此可见，选作参考系的物体相对另一个参考系来
说，又都处于不停的运动之中。
坐标系
为了定量描述物体相对于参考系的运动，需要在参考 系上建立适当的坐标系。坐标系的原点可取在参考系 的一个固定点。
常用的坐标系有：
直角坐标系 平面极坐标系 自然坐标系 球面坐标系 圆柱面坐标系
质点
当物体的形状，大小与所研究的问题无关，或者对运 动的影响很小，可忽略不计时，可以把它看成一个点， 并认为整个物体的质量和某些物理属性都集中在这个 点上。这样抽象化了的模型就称为质点。
一个物体是否能当作质点看待，是由所研究问题的具 体性质来决定的。
举例：地球绕太阳运动时，地球半径 Re≈6.37×106m
比地球公转半径 R≈1.50×1011m
小得多，所以可不考虑地球的大小和自转，而把它当 作一个点。
质点运动是研究物体运动的基础。 当一物体的线度与它的运动范围相比不算很小而
一般地说:
S r
3、速度
（1）平均速度
质点在 Δt 时间内的位移为 ，r 则在Δt 时间内
的平均速度为
v
r
t
➢平均速度大小
v
r
r
t t
➢平均速度方向为
r
的方向
（2）瞬时速度
Δt 0 时，B点无限接近 A
v
点，平均速度趋于质点在 t
时刻的真实速度。
A
r (t )
v
lim
t 0
r t
dr dt
dx vdt
x
t
0 dx 0 vdt
t
x 0 (v0 at)dt
t
t
0 v0dt
atdt
0
v0t
1 2
at
2
x
v0t
1 2
at 2
v v0 at
x
v0t
1 2
at 2
➢ 在两式中消去 t，得
v2 v02 2ax
练习：一质点作直线运动，其坐标x与时间t的关 系曲线如图所示．则该质点在第 秒瞬时速度为零； 在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向．
不能看成一个质点时，常把整个物体看作是无数 个质点组成的质点系。分析这些质点的运动，就 可能研究整个物体的运动。
1.2 质点的位矢、位移和速度
1、质点的位置矢量 质点 P 在坐标系中的位置可以用从坐标原点 O
指向质点的有向线段来表示。
该有向线段称为质点的位置矢量，简称为位 矢或矢径。
r OP
d
2
r
dt 2
v vxi vy j vzk
a
dv
dvx
i
dv y
j
dvz
k
dt dt dt dt
axi ay j azk
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dv y dt
d2y dt 2
az
dvz dt
d 2z dt 2
由于
a axi ay j azk
有
a ax2 ay2 az2
➢讨论:
(1) v 与 t 无关，人影作匀速直线运动。
(2) H-h>0, v 与 v0 方向相反。
1.4 匀加速直线运动
质点沿直线作加速运动，则运动方程
r xi yj zk
x(t)i y(t) j z(t)k
退化为
x x(t)
t 0
t
O
x
x
质点沿直线运动的速度和加速度分别为
v dx dt
常用位移，速度，加速度等物理量描述机械 运动。
运动学研究对象
运动学是用位移，速度，加速度等物理量描述物体的 机械运动，研究物体位置随时间的变化或运动的轨迹 问题，而不涉及物体发生机械运动原因的学科。
1.1 参考系
参考系
讨论物体的机械运动必须选定另一个物体作标准， 被选为标准的物体称为参考系或参照系。
吊以速度 vo 水平方向开走，灯从人头顶掠过，人 头顶在地面的影子移动速度为多大？
y v0 H
t
h
xO
x1 x
➢解 由相似三角形中的比例关系
H x1 x ( x 0 , x x)
h x
x hx1
y v0
t
H
H h
hv0t
h
Hh x O
x1 x
v dx hv0 dt H h
r r(t t) r(t)
是位矢的大小在时间
r(t t)
t 内的增量
r(t) r
一般地说: r r
路程 从 A 到 B 质点经过的轨迹的实际长度称为质点在
Δt 时间内所走过的路程ΔS 。
B
ΔS
ΔS = AB
A O
位移
r
矢量，
路径ΔS 标量。
位移的大小
r AB
B
ΔS
r
r
A
AB
an ann
注意
总加速度的大小
dv
dv
a a
dt
dt
at
3.角量与线量的关系
线量
r
Δr
角量 θ
Δθ
v
dr
dt
d
dt
a
dv
dt
d
dt
v
a
ω
v
v0t
1 2
at
2
0t
1 t 2
2
练习： 半径为1m的轮子以匀角加速度从静止开 始转动，20s末角速度为100rad/s。求：
rA
rB
其速度的变化由矢
vA
量平移不变性可得：
B
vA
vB
vB v
O
v vB vA
（1）平均加速度
A
rA
rB
O
vA
a vB vA v t t
B
vA
vB
vB v
（2）瞬时加速度
简称为加速度
lim
v dv
a
t0 t dt
由于
v
dr
dt
故
a
d dt
( dr )
dt
er (t)
der
lim
er
lim
er
dt t0 t
t0 t
lim
v
R
der
t0 t
lim
R
lim
s
dt
t0 t
t0 t
v
R der
lim
R
lim
s
ds
dt
t0 t
t0 t
dt
v v ,
v ds
dt
1.线速度、角速度、周期
质点沿圆周运动时，其速率通常叫做线速度。
dv dt
v2 an R
v v
B On
➢ 切向加速度
at
dv dt
d (R )
dt
d
R dt
R
➢ 角加速度
d
dt
d
d
(
)
dt dt
d 2
dt 2
➢ 法向加速度
an
v2 R
(R )2
R
R 2
➢ 总加速度
a at ann
大小 a at 2 an2
a
方向 arctg an
at
at at
例：一质点运动轨迹为抛物线
x t2
===>
y t 4 2t 2
y x2 2x
(z=0)
y
求：x= -4时（t>0)
粒子的速度、速率、
x 加速度。
分析： x= -4，t=2
dx 解： v x dt |t2 4
vy
dy dt
|t 2
24
v
v
2 x
v
2 y
4
37
ax
dv x dt
d2x dt 2
r r(t t) r(t)
故位移又可定义为从质点运动起点到终点的有向
线段，即
r AB
B
r
A O
注意
➢位移是矢量，既有大 小又有方向。
B
r
r
A
➢位移的大小记作 r ，即从 A 点到 B 点的
距离。
r AB AB
注意
B
r
➢位移的大小不能简 r (t t)
A
单地记作 r
r (t )
O
➢速度大小为
dr
➢速度方向为 A 点的切线方向
v dt
（3）平均速率 质点在 Δt 时间内路程为ΔS，则在Δt 时间内的
平均速率为
v S t
➢平均速率是标量
v
r
t
v S t
一般地说:
S r
vv
注意 即平均速率不等于平均速度的大小。
（4）瞬时速率
当Δt →0 时，瞬时速率(简称为速率)
v ds dt
s = AB R
R d R
dt
角速度 d
dt
角速度单位 rad / s , 1 / s
v
B
R s
A
O
x
周期 T 2
2.加速度
v(t) (t)
a
dv
dv
v
d
v(t
t
)
(t
t
)
B
s
R
A
dt dt dt
O
x
d lim (t t) (t)
dt t0
t
lim
t0 t
加速度单位： m / s2
例 一质点以 x = 2t3 规律运动，x单位为m、 t单位为s。求：第二秒末的瞬时速及加速度。
➢解: 第二秒末的瞬时速及加速度
v dx 6t 2 dt
t 2s
v 6 22 24(m / s)
a dv dt
12t
t 2s
a 12 2 24(m / s2 )
O
P
r
➢位矢的大小表明质点离开坐标原点的距离
r r OP
➢位矢的方向表明质点相
对坐标原点的方位
O
P
r
位矢一般是时间的函数
r r(t)
上式称为质点的运动函数，即质点的运动学方程。 它不仅给出了质点运动的轨迹 也给出了质点在任意时刻所处的位置。
在直角坐标系中
y
x x(t)
y
P
y y(t) z z(t)
dr
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt dt
vxi vy j vzk
dx
dy
dz
vx dt vy dt vz dt
由于
v vxi vy j vzk
有
v vx2 vy2 vz2
速度单位：m / s
1.3 加速度
质点经过Δt 时间，从 A 点移动到 B 点，
A
t2
2
a y 44
例
v0
l
h
求：船速靠岸的速率
s
解： l 2 s2 h2
两边对时间求导
2l dl 2s ds 2h dh dt dt dt
因为
dl dt
v0
ds v dt
所以 lv0 sv
v
l s
v0
s2h2 s v0
是变速运动，加速度怎求？
例 某人身高 h ，站在离地面H的塔吊桥下。当塔
x (m)
5
t (s) O 1 23 4 5 6
思考：
设质点的运动方程为x x(t), y y(t) ,在计算质
点的速度和加速度，有人先求出 r x2 y2 ，然后由
下式求出结果：
v dr , a d 2r
dt