6学年高二下学期第一次段考理数试题(附解析)

四川省阆中中学2015-2016学年高二下学期第一次段考理数试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设函数f(x)可导，则
x
f x f x ∆-∆+→∆3)1()1(lim
等于（ ）
A ．1
3 f ′(1) B ．3 f ′(1) C. f ′(1)
D ．f ′(3)
【答案】A
考点：导数的概念．
2．一个物体的运动方程为2
(21)s t =+其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ）
A. 10米/秒 B ．8米/秒 C ．12米/秒
D ．6米/秒
【答案】C 【解析】 试
题
分
析
：
由
题
意
得
，
2(21)(21)4(21)
s t t t ''=+-=+，则
(1)4(21)4(211)12s t '=+=⨯+=，所以物体在1秒末的瞬时速度是12米/秒，故选C ． 3.函数x
x
x f +=
1cos )(在(0,1)处的切线方程是（ ） A ．01=-+y x B ．012=-+y x C ．012=+-y x
D ．01=+-y x
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，22
(cos )(1)cos (1)sin (1)cos ()(1)(1)
x x x x x x x
f x x x ''+-⋅++-'=
=++，则 2
sin 0(10)cos 0
(0)1(10)f +-'=
=-+，即切线的斜率1k =-，所以切线方程为01y x -=-，
即01=-+y x ，故选A ． 考点：导数的几何意义的应用．
4.若f(n)＝1＋12＋13＋…＋1
2n ＋1(n ∈N *)，则当n ＝2时，f(n)是（ ）
A ．1＋12 B.15 C ．1＋12＋13＋14＋1
5
D ．3
1211++
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当2n =时，则11
111
1
(2)1123
221235
f =++++
=+++
+⨯+，故选C ．
考点：数学归纳法的计算．
5.下面使用类比推理正确的是（ ）
A. 若直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．类比推出：若向量∥，∥，则∥
B. a （b+c ）=ab+ac ．类比推出：log a （x+y ）=log a x+log a y
C ．已知a ，b ∈R ，若方程x 2+ax+b=0有实数根，则a 2﹣4b≥0．类比推出：已知a ，b ∈C(复数集)，若方
程x 2+ax+b=0有实数根，则a 2﹣4b≥0．
D.长方形对角线的平方等于长与宽的平方和．类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和 【答案】D
考点：类比推理．
【方法点晴】本题主要考查了类比推理的应用，类比推理中的类比推理是指以及两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比歉意到另一类数学对象上去，其思维过程大致是：观察、比较、联想、类推、猜想新结论，结论的正确与否，必须经过证明，着重考查
学生的想象能力和推理能力，属于基础题．
6.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE.则M 点的坐标为（ ） A ．(1，1，1) B.⎝⎛
⎭⎫23，23，1 C.⎝⎛
⎭
⎫
22，22，1 D.⎝⎛
⎭
⎫24，24，1
【答案】C
考点：空间直角坐标系中点的坐标．
7.已知(,5,21)A x x x --(1,2,2)B x x +-，当||AB 取最小值时，x 的值等于（ ） A ．
8
7
B ．－
8
7
C ．19
D ．
1914
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，||(AB x =
=，当
8
7
x =
时，||AB 取得最小值，故选A ． 考点：空间中两点的距离公式．
8．函数f(x)＝x 3－3x+1在闭区间[3,0]-上的最大值、最小值分别是（ ） A. 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－19
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，()2
33f x x '=-，令2330x -=，解得1x =-或1x =（舍去），因
为
3(3)(3)3(3)117f -=--⨯-+=-，(1)3,(0)1f f -==，所以函数的最大值为(1)3f -=，最小值为
(3)17f -=-，故选B ．
考点：利用导数研究函数的最值．
9．已知函数f(x)＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x)＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞
B.⎝⎛⎭⎫32，＋∞
C.⎝
⎛⎦⎤－∞，3
2 D.⎝
⎛⎭⎫－∞，3
2 【答案】A
考点：利用导数求解函数的最值；函数的恒成立．
10.已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb)，则实数λ的值为（ ） A ．－2 B ．－143 C.14
5 D ．2
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，因为(2,1,3),(1,2,1)a b =-=-，所以(2,12,3)a b λλλλ-=---，又()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，得2(2)129302λλλλ--+-+-=⇒=，故选D ．
考点：空间的向量的运算．
11.如图为函数3
2
()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则不等式
'()0x f x ⋅<的解集为（ ）
A
．(,-∞
B
． C
．)+∞
D
．(,-∞(0,3)
【答案】D
考点：函数的图象及一元二次函数的图象与性质．
【方法点晴】本题主要考查了函数的图象、一元二次函数的图象与性质、一元二次不等式的解法等知识的应用，着重考查了数形结合思想和运算求解能力、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中先从原函数的极值点处得到导函数的零点，再利用导函数是二次函数的特点，结合二次函数的图形与性质，即可求解出不等式()0xf x '<的解集． 12.已知定义域为R 的奇函数y ＝f(x)的导函数为y ＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋
f （x ）
x
＞0，若a ＝12f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f(－2)，c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12f ⎝⎛⎭⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a ＜c ＜b
B ．b ＜c ＜a
C ．a ＜b ＜c
D ．c ＜a ＜b
【答案】A
考点：导数在函数的单调性中的应用．
【方法点晴】本题主要考查了导数的概念及导数在函数的单调性中的运用，根据给出的函数关系式，构造出需要的函数，运用导数判断函数的单调性，即可比较各数的大小，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法，本题的解答中根据各式的特点，得出
()()F x xf x =为R 上的偶函数，利用 ()()
0f x f x x
'+
>得到函数()F x 的单调性，即可比较,,a b c 的大小关系． 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．）
13.函数x x y cos 2
1
+=
的单调减区间为 ． 【答案】Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
+652,6
2πππ
π 【解析】
试题分析：因为函数x x y cos 21+=
，所以1sin 2y x '=-，令0y '<，解得1
sin 2
x >，即 522,6
6k x k k Z π
πππ+<<
+∈，即函数的单调递减区间为52,266k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦． 考点：利用导数求解函数的单调区间． 14.观察下列式子：232112<+
，353121122<++，47
4
131211222<+++，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为 ． 【答案】1n 1
2n )1(1312112
22++<
+++++
n
考点：归纳推理．
15.正四棱锥S ­ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是______． 【答案】 30 【解析】
试题分析：如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，设
OD SO OA OB OC a =====，则(,0,0),(0,,0),(,0,0),(0,,)22
a a
A a
B a
C a P --，所以
(2,0,0),(,,)22a a
CA a PA a ==--，设平面PAC 的法向量为n ，可求得(0,1,1)n =，则
1
cos ,2
CA n =
=
，即,60CA n =，所以直线BC 与平面PAC 所成的角为
906030-=．
考点：直线与平面所成的角的求解．
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面所成角的概念与利用空间的方法求解空间中的直线与平面所成的角的计算，属于中档试题，体现了转化与化归的思想方法的应用，本题的解答中根据题意利用已有的两两垂直，建立适当的空间直角坐标系，先准确写出点的坐标，利用线面角和线与平面的法向量所成构成的两向量的夹角之间的关系，即可求解． 16.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ， 则数列1n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是 . 【答案】1
22n +-
考点：利用导数研究曲线上某点的切线方程；数列的求和．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程、数列的通项公式以及等比数列的前n 项和的公式的应用，解答此类问题时，在应用导数求解曲线的切线的斜率时，应首先判定所经过的点为切点，否则容易出错，同时着重考查了转化的思想方法，本题的解答中先利用导数求出在2x =处的导数值，再集合导数的几何意义即可求出切线的斜率，即可得直线的方程进而得到切线与y 轴的交点的纵坐标，最后利用等比数列的求和公式，即可求解．
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在
该点处的切线与直线2x+y=0平行． （1）求f(x)的解析式；
（2）求函数g(x)=f(x 2)的单调递增区间.
【答案】（1）()2
23f x x x =--；（2）(1,0)-，(1,)+∞．
【解析】
考点：导数在函数中的应用；函数的解析式的求解． 18.在数列}{n a 中，n
n
n a a a a +=
=+22,111)(*∈N n ．
（1）求432.,a a a 的值，并猜想}{n a 的通项公式n a ； （2）用数学归纳法加以证明上述猜想． 【答案】（1）52
,42,32432===
a a a ，21
n a n =+；
（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）由n
n
n a a a a +=
=+22,111，即可求解432.,a a a 的值，进而可猜想，归纳；（2）
利用数学归纳法的步骤，作出相应的证明． 试题解析：由（1）52,42,32432===a a a
猜想2
1
n a n =+……6分
（2）证明：①当n=1, 11a =，符合已知；……8分 ②当n=k 时，假设猜想成立，则2
1
k a k =+…9分 那么，n=k+1时，
12
4
2
2221
12
2(1)222(1)121
1
k
k k a k k a k a k k k k +++=====
+++++++++ ∴n=k+1时，命题成立
综上所述，命题对于*n N ∀∈都成立…12分 考点：数列的递推关系；数学归纳法．
19.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，(1)f -）处的切线方程是
670x y -+=.
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）求函数292
3)(2
++-=
a x x x g 与()y f x =的图像有三个交点,求a 的取值范围. 【答案】（1）()32
332f x x x x =--+；（2）522
a <<．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．
20.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55° （1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 【答案】（1）34；（2）223
sin cos (30)sin cos(30)4
αααα+---=，证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据式子的结构规律，得
223
sin cos (30)sin cos(30)4
αααα+---=
，由三角函数中的恒等变换的公式展开即可证明．
试题解析：（1）选择（2），计算如下：sin 2
15°+cos 2
15°-sin15°cos15°=1-12sin30°=3
4
，
故这个常数为
3
4
． ---------------------------------------------------5分 （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式 sin 2α+cos 2（30°-α）-sin αcos （30°-α）=
34
证明：sin 2α+cos 2（30°-α）-sin αcos （30°-α）=sin 2α+
21
sin )2
αα+-sin α
（cos30°cos α+sin30°sin α）=sin 2
α
+34cos 2α+14
sin 2
ααcos ααcos α
-
12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=3
4
．------------------------------------12分 考点：三角恒等变换；归纳推理．
21.如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，
∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝BC ＝1
2
AD ＝1.
（1）求证：面PAC ⊥面PCD ；
（2）在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥面PAB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）此时E 为PD 的中点，使//CE 面PAB ．
试题解析：（1）
PA ⊥面CD AB ，∴PB 与面CD AB 所成的角为45
∠PBA =．
考点：平面与平面垂直的判定与证明；空间向量的应用．
【方法点晴】本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明，直线与平面平行的判定及空间向量的在线面位置关系中的应用，属于基础图，体现了转化的数学思想方法，本题的解答中，其中（1）中，关键是由线面垂直的判定定理可得CD ⊥面PAC ，再由面面垂直的判定定理证明平面与平面垂直；（2）中，建立适当的空间直角坐标系，转为向量CE 与平面PAB 的法向量垂直，列方程求解点E 的位置．
22．已知函数()2
ln f x x x ax a =-+（R a ∈），其导函数为()f x '．
（1）求函数()()()21g x f x a x '=+-的极值；
（2）当1x >时，关于x 的不等式()0f x <恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）()g x 有极大值()10g =，()g x 无极小值；（2）1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
． 【解析】
试题分析：（1）由()f x 的解析式，得()g x 的解析式，求解()g x '，判定出函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的极值点，求解函数()g x 的极值；（2）关于x 的不等式()0f x <恒成立，转化为()f x 的最大值大于0，只需求解函数()f x 的最大值即可，求函数函数
()ln 21f x x ax '=-+，分0,0a a ≤>两类情形，讨论函数()f x 的单调性，求解函数()
f x 的最大值，特别在0a >时，再分为11
0,22
a a <<≥两种情形讨论函数的最大值，需细致运算．
②当021a <<，即102a <<时，112a
>，()12122a x a x a x x ϕ⎛
⎫-- ⎪
⎝⎭'=-=， 若11,
2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0x ϕ'>，()x ϕ在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增；
若1,2x a ⎛⎫∈+∞
⎪⎝⎭，则()0x ϕ'<，()x ϕ在1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减．
考点：导数在函数中的综合应用．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间、利用导数求解函数的极值（最值）的应用，试题思维量大、运算繁琐，属于难题，着重考查了分类讨论的思想和转化与化归的思想方法的应用，本题的解答中，把关于x 的不等式()0f x <恒成立，转化为()f x 的最大值大于0，只需求解函数()f x 的最大值即可，求函数函数()ln 21f x x ax '=-+，分情况讨论函数的单调性，确定函数的最大值，运算量较大，需认真、细致运算．。