13 第十三讲 奈奎斯特稳定判据
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Im E
Im
D C -1 B Re B’
D’
E’ A’
C’
Re
A
Fig.13.12 双极点系统
Fig.13.13 双极点系统的频率响应
Im
Re -1
Fig.13.14 原点处有双极点的系统的根轨迹
◆ 奈奎斯特稳定性的一些说明 说明 #1. 设想沿着频率增大的方向且ω>0时的开 环频率曲线一直行走。如果临界点(-1,+0j) 是在右边经过的，那么系统就不稳定；但 如果临界点是在左边经过的，则系统是稳 定的。
D
C
A
B
1 1/2 Re
Re -3 Im
C
E -5/2
B
-2
-1 s平面
C
F
F
B D Re
F(s)平面
F(s)平面
图.13.5 包围 F(s)的一个极点的轨迹
图.13.6 不包围 F(s)的一个极点 的轨迹
在复平面上绘制矢量，矢量的长度为
幅值M ，矢量的相角是与正实轴所成 的夹角为Φ。 图: 当sp在S平面绕封闭曲线移动时， 在F（s）平面也有一个相应的封闭曲线。
例
Ncw-Nccw=2-2=0 Z=N+P=(2-2)+0=0. 这个系统稳定.
C’
Im
0
-1 b d c a C D’ A’ Re
0
X
B’
Fig.13.17 完整的奈奎斯特图
◆ 奈奎斯特稳定判据的另一种方法
· 考虑一个系统. 初始状态为
r = e = c = b = 0
R G B H
GH(s) 平面内包围点（-1，j0）。
Im
Im
Re Re
GH(s)
1+GH(s)
Fig.13.8 包围原点改为包围点 -1+j0
4. 如何使用 N = Z – P
如下: a.F(s)的零点个数和闭环极点个数相同。 b. F(s)的极点个数和开环极点个数相 同。
Z 在右半平面内 1+GH(s)的根的个 数。 P在右半平面内 GH(s) 的开环极 点的个数。 N 按顺时针方向包围临界点的次 数。
情形 (b) z=2, p=1
Im E
D C -2 -1 B F Re
A
图.SP13.2.6
开环频率特性
GH j 21 0.5 j j 2 1 j
从
1 2 2 1 4 M 2 1 2 180 tan 1 0.5 tan 1
c
-
1.GH(j)=0.5 1) t = 0+ , r=1, b=0, e=1 2) b=0.5, e=1.5 3) b=0.75, e=1.75 e 2, 系统稳定
2.GH(j)=2 4) t = 0+ , r=1, b=0, e=1 5) b=2, e=3 6) b=6, e=7 e , 系统是不稳定的 当系统 GH(j)1, 系统是稳定的, 否则系统不稳定.
: 在GH平面，计算和画出相应的路 径 ΓF 。 Solution: Case (A)
问题
a
Point
GH s s 2 j
s
1 GH ( s) ( s 1)( s 2)(s 3)
GH(s) Im Im 2j C B D A 1
s
A 00 j 2 j B 02 j 2 j C 1 2 j 3 j D 1 0 j 3 j
+j∞
Im
Re
-j∞ Fig.13.7 奈奎斯特曲线
d. 半圆:
GH s s lim Re
R j
bm 1 nm an s
s
0 e j n m
3. GH(s) F(s)
F(s) = 1+GH(s)
在1+GH(s) 平面包围其原点等同于在
K K GH j j 2 1 1 2 Q j 0 0 0 P j0 1 K 1
-1
2
P=0,N=0 GH s T1s 1T2 s 1 Z=0
K
最小相位系统 和非最小相位系统
P.248 例:
0 : M 180 : M 0 180
tan 1 tan 1 0.5 180
保证 Φ 总是在第二个象限.
其频率响应如下:
Im
D’ B’
E’ F’ A’
Re
图.SP13.2.7
其在原点有2个开环极点. 画出其完整的奈奎 斯特曲线. 可见包围(-1,0j) 2次, 该系统是不 Im 稳定的.
奈奎斯特稳定判据有如下规定 :
1 假设 r 是单位幅值的正弦信号， r(t)
B相对于r的相位恰好为 -180°。
1 t
|b| b(t)
2 如果一个系统稳定，那么 当沿着频率增加的方向观 察，临界点必须从频率响 应的左边经过。
t
e(t) |e| t
图.13.19 谐波输入作用下的时域信号
例题 13.1
1/2 B
S 平面
Re
E’(-0.667,j0) G’(0.48 , j0)
Im B F A
D
F
Re
F(s) 平面
S
C
图.13.4 等高线的映射
F
例 Гs2
Гs D -3 -2 A -1 -3/2 F
例 Гs3
Im Гs 1/2 -1/2 s 平面 Im C B A E A D Re
F
Im
* 位于奈奎斯特曲线上的奇异点的影响
例:
1 1 j GH s , GH j lim e 0 s K s 1 if GH j n s T j s 1
0 lim GH j
0
K
e
n
例子11p1n1最小相位系统和非最小相位系统p248ghtstantantantan在s平面的右半平面内至少有一个开环极点或零点的系统称为非最小相位系统而那些在右半平面内没有极点或零点的系统称为最小相位系统
线性控制系统工程
第13 单元
奈奎斯特稳定判据
保角映射：柯西定理 考虑一个 F(s): 例如
稳定性判据的应用
假设 F(s) = 1+GH(s)
1. 在s平面选择一个 s s 一个包围s平面的整个右半平面的顺时 针方向的曲线。(奈奎斯特路径)
2 . s GH(s)
a. 0 S+j (正虚轴): GH(j) b. -j S0 (虚轴): -GH(j) c. 原点: GH(j0) = K 或
保角变换:
虽然F(s)平面内封闭曲线的形 状可能与s平面内封闭曲线的形状有所 不同，但是相邻线之间的夹角保持不变。
柯西定理:
如果在s平面内给定的一条封闭曲线按照顺时 针方向包围函数F(s)的 P 个极点和 Z 个零
点，
那么在 F(s) 平面内得到的封闭曲线将按 照顺时针方向共包围原点 N 次, 其中 N=Z-P 注意: s平面的封闭曲线上禁止穿过一个 零点或者一个极点，因为这将使得相 角值无法确定。
e
jn 90
jn 90
+j∞
Im
E
B’ Im
0
D ∈ C Re A’、E’ C’ Re
-1
B
0
-j∞
A D’
Fig.13.10 修改后的奈奎 斯特曲线
Fig.13.11 包含原点处的一个极点的频 率响应
· 现在考虑原点处有双重极点的情况.
1 GH s 2 s s 1
s z F s s p
i j
Im
s 1 F s s 2 s 3
Re -3 -2 -1 图.13.1
S-平面 ↓ 例如 Г s1
E(-1.5,j0) G(0.5 , j0) → →
F(s)-平面
↓
-3 -2 F C D -1
Im A
1 -1 Re
B’ 2 A’
C’ 3 D’
Re
Fig.SP13.1.2
Fig.SP13.1.1
例 13.2
GH ( s ) s z s 2 s p
情形 (a)
z=1, p=2
sz 0.5s 1 GH ( s ) 2 2 s s p s 0.5s 1 M 1 2
奈奎斯特稳定性判据 :
奈奎斯特稳定性判据 : 对于一个在s平面的右半平面内有 P个开环极 点的稳定系统，在GH(s) 平面的开环频率响 应就必须按逆时针方向围点(-1, j0) P次。
或者判据可写为:
如果 Z<=0，则系统稳定。
例子
1
-1
设
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 GH s s 1
P=1,N=-1 Z=0
* 注意: 这个规则不能用于非最小相位系
统。
例:
( P253 )
1 0.34 s 1 0.2 s s 3 s 0.01s 1 0.005 s
0
Im
GH s
A
-1
Re
Fig.13.15 开环频率响应
说明 #2: (1) 为了计算包围临界点的圈数，从临界点 (-1,0j)径向画出切割奈奎斯特图的所有曲线 的一条射线。 (2) 顺时针包围的圈数可通过 Ncw-Nccw得到， Ncw 为曲线按顺时针方向穿过该射线的次 数， Nccw 为曲线按逆顺时针方向穿过该射 线的次数。
1 s GH 2 s 1 Ts 1 2 2 1 T 2 2
1
1 s GH1 s , 1 Ts M
1 tan 1 tan 1 T 2 tan 1 tan 1 T
2
在s平面的右半平面内至少有一个开环 极点或零点的系统称为非最小相位系统， 而那些在右半平面内没有极点或零点的 系统称为 最小相位系统。
GH(s)
D’ E’F’A’ B’ -1 Re
图.SP13.2.8
用根轨迹来验证其结果. 3 个极点, 1个零点, 2 条渐近线, 渐近线夹 角=180°.
Im
渐近线与实轴的交点:
a
1 2 1
3 1
1/2 Re -2 -1
2
Fig.SP13.2.9
作业
P267, 13.1 b.
GH(s)
B’ D’ -1
E’F’A’
Re
Fig.SP13.2.4
画出其根轨迹证明该结论. 3 个极点, 1 个零点, 2 条渐近线, 渐近线之 间的角度为180°.
Im
渐近线与实轴的交点:
a
2 1 1
3 1
2
Re -2 -1 -1/2
图.SP.13.2.5
P268, 13.3
2 1 0.5 2
1
0.5
1
180 tan tan 0.5 180 ,
0
Im
E Im
D C Re F B
E’ F’ A’ Re D’
-2
-1
0
A
图.SP13.2.2
图.SP13.2.1
在原点有2个开环. 画出其完整的奈奎斯特曲 线 . 可见并没有包围(-1,0j) 点，系统是稳定 的. Im
Im
D C -1 B Re B’
D’
E’ A’
C’
Re
A
Fig.13.12 双极点系统
Fig.13.13 双极点系统的频率响应
Im
Re -1
Fig.13.14 原点处有双极点的系统的根轨迹
◆ 奈奎斯特稳定性的一些说明 说明 #1. 设想沿着频率增大的方向且ω>0时的开 环频率曲线一直行走。如果临界点(-1,+0j) 是在右边经过的，那么系统就不稳定；但 如果临界点是在左边经过的，则系统是稳 定的。
D
C
A
B
1 1/2 Re
Re -3 Im
C
E -5/2
B
-2
-1 s平面
C
F
F
B D Re
F(s)平面
F(s)平面
图.13.5 包围 F(s)的一个极点的轨迹
图.13.6 不包围 F(s)的一个极点 的轨迹
在复平面上绘制矢量，矢量的长度为
幅值M ，矢量的相角是与正实轴所成 的夹角为Φ。 图: 当sp在S平面绕封闭曲线移动时， 在F（s）平面也有一个相应的封闭曲线。
例
Ncw-Nccw=2-2=0 Z=N+P=(2-2)+0=0. 这个系统稳定.
C’
Im
0
-1 b d c a C D’ A’ Re
0
X
B’
Fig.13.17 完整的奈奎斯特图
◆ 奈奎斯特稳定判据的另一种方法
· 考虑一个系统. 初始状态为
r = e = c = b = 0
R G B H
GH(s) 平面内包围点（-1，j0）。
Im
Im
Re Re
GH(s)
1+GH(s)
Fig.13.8 包围原点改为包围点 -1+j0
4. 如何使用 N = Z – P
如下: a.F(s)的零点个数和闭环极点个数相同。 b. F(s)的极点个数和开环极点个数相 同。
Z 在右半平面内 1+GH(s)的根的个 数。 P在右半平面内 GH(s) 的开环极 点的个数。 N 按顺时针方向包围临界点的次 数。
情形 (b) z=2, p=1
Im E
D C -2 -1 B F Re
A
图.SP13.2.6
开环频率特性
GH j 21 0.5 j j 2 1 j
从
1 2 2 1 4 M 2 1 2 180 tan 1 0.5 tan 1
c
-
1.GH(j)=0.5 1) t = 0+ , r=1, b=0, e=1 2) b=0.5, e=1.5 3) b=0.75, e=1.75 e 2, 系统稳定
2.GH(j)=2 4) t = 0+ , r=1, b=0, e=1 5) b=2, e=3 6) b=6, e=7 e , 系统是不稳定的 当系统 GH(j)1, 系统是稳定的, 否则系统不稳定.
: 在GH平面，计算和画出相应的路 径 ΓF 。 Solution: Case (A)
问题
a
Point
GH s s 2 j
s
1 GH ( s) ( s 1)( s 2)(s 3)
GH(s) Im Im 2j C B D A 1
s
A 00 j 2 j B 02 j 2 j C 1 2 j 3 j D 1 0 j 3 j
+j∞
Im
Re
-j∞ Fig.13.7 奈奎斯特曲线
d. 半圆:
GH s s lim Re
R j
bm 1 nm an s
s
0 e j n m
3. GH(s) F(s)
F(s) = 1+GH(s)
在1+GH(s) 平面包围其原点等同于在
K K GH j j 2 1 1 2 Q j 0 0 0 P j0 1 K 1
-1
2
P=0,N=0 GH s T1s 1T2 s 1 Z=0
K
最小相位系统 和非最小相位系统
P.248 例:
0 : M 180 : M 0 180
tan 1 tan 1 0.5 180
保证 Φ 总是在第二个象限.
其频率响应如下:
Im
D’ B’
E’ F’ A’
Re
图.SP13.2.7
其在原点有2个开环极点. 画出其完整的奈奎 斯特曲线. 可见包围(-1,0j) 2次, 该系统是不 Im 稳定的.
奈奎斯特稳定判据有如下规定 :
1 假设 r 是单位幅值的正弦信号， r(t)
B相对于r的相位恰好为 -180°。
1 t
|b| b(t)
2 如果一个系统稳定，那么 当沿着频率增加的方向观 察，临界点必须从频率响 应的左边经过。
t
e(t) |e| t
图.13.19 谐波输入作用下的时域信号
例题 13.1
1/2 B
S 平面
Re
E’(-0.667,j0) G’(0.48 , j0)
Im B F A
D
F
Re
F(s) 平面
S
C
图.13.4 等高线的映射
F
例 Гs2
Гs D -3 -2 A -1 -3/2 F
例 Гs3
Im Гs 1/2 -1/2 s 平面 Im C B A E A D Re
F
Im
* 位于奈奎斯特曲线上的奇异点的影响
例:
1 1 j GH s , GH j lim e 0 s K s 1 if GH j n s T j s 1
0 lim GH j
0
K
e
n
例子11p1n1最小相位系统和非最小相位系统p248ghtstantantantan在s平面的右半平面内至少有一个开环极点或零点的系统称为非最小相位系统而那些在右半平面内没有极点或零点的系统称为最小相位系统
线性控制系统工程
第13 单元
奈奎斯特稳定判据
保角映射：柯西定理 考虑一个 F(s): 例如
稳定性判据的应用
假设 F(s) = 1+GH(s)
1. 在s平面选择一个 s s 一个包围s平面的整个右半平面的顺时 针方向的曲线。(奈奎斯特路径)
2 . s GH(s)
a. 0 S+j (正虚轴): GH(j) b. -j S0 (虚轴): -GH(j) c. 原点: GH(j0) = K 或
保角变换:
虽然F(s)平面内封闭曲线的形 状可能与s平面内封闭曲线的形状有所 不同，但是相邻线之间的夹角保持不变。
柯西定理:
如果在s平面内给定的一条封闭曲线按照顺时 针方向包围函数F(s)的 P 个极点和 Z 个零
点，
那么在 F(s) 平面内得到的封闭曲线将按 照顺时针方向共包围原点 N 次, 其中 N=Z-P 注意: s平面的封闭曲线上禁止穿过一个 零点或者一个极点，因为这将使得相 角值无法确定。
e
jn 90
jn 90
+j∞
Im
E
B’ Im
0
D ∈ C Re A’、E’ C’ Re
-1
B
0
-j∞
A D’
Fig.13.10 修改后的奈奎 斯特曲线
Fig.13.11 包含原点处的一个极点的频 率响应
· 现在考虑原点处有双重极点的情况.
1 GH s 2 s s 1
s z F s s p
i j
Im
s 1 F s s 2 s 3
Re -3 -2 -1 图.13.1
S-平面 ↓ 例如 Г s1
E(-1.5,j0) G(0.5 , j0) → →
F(s)-平面
↓
-3 -2 F C D -1
Im A
1 -1 Re
B’ 2 A’
C’ 3 D’
Re
Fig.SP13.1.2
Fig.SP13.1.1
例 13.2
GH ( s ) s z s 2 s p
情形 (a)
z=1, p=2
sz 0.5s 1 GH ( s ) 2 2 s s p s 0.5s 1 M 1 2
奈奎斯特稳定性判据 :
奈奎斯特稳定性判据 : 对于一个在s平面的右半平面内有 P个开环极 点的稳定系统，在GH(s) 平面的开环频率响 应就必须按逆时针方向围点(-1, j0) P次。
或者判据可写为:
如果 Z<=0，则系统稳定。
例子
1
-1
设
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 GH s s 1
P=1,N=-1 Z=0
* 注意: 这个规则不能用于非最小相位系
统。
例:
( P253 )
1 0.34 s 1 0.2 s s 3 s 0.01s 1 0.005 s
0
Im
GH s
A
-1
Re
Fig.13.15 开环频率响应
说明 #2: (1) 为了计算包围临界点的圈数，从临界点 (-1,0j)径向画出切割奈奎斯特图的所有曲线 的一条射线。 (2) 顺时针包围的圈数可通过 Ncw-Nccw得到， Ncw 为曲线按顺时针方向穿过该射线的次 数， Nccw 为曲线按逆顺时针方向穿过该射 线的次数。
1 s GH 2 s 1 Ts 1 2 2 1 T 2 2
1
1 s GH1 s , 1 Ts M
1 tan 1 tan 1 T 2 tan 1 tan 1 T
2
在s平面的右半平面内至少有一个开环 极点或零点的系统称为非最小相位系统， 而那些在右半平面内没有极点或零点的 系统称为 最小相位系统。
GH(s)
D’ E’F’A’ B’ -1 Re
图.SP13.2.8
用根轨迹来验证其结果. 3 个极点, 1个零点, 2 条渐近线, 渐近线夹 角=180°.
Im
渐近线与实轴的交点:
a
1 2 1
3 1
1/2 Re -2 -1
2
Fig.SP13.2.9
作业
P267, 13.1 b.
GH(s)
B’ D’ -1
E’F’A’
Re
Fig.SP13.2.4
画出其根轨迹证明该结论. 3 个极点, 1 个零点, 2 条渐近线, 渐近线之 间的角度为180°.
Im
渐近线与实轴的交点:
a
2 1 1
3 1
2
Re -2 -1 -1/2
图.SP.13.2.5
P268, 13.3
2 1 0.5 2
1
0.5
1
180 tan tan 0.5 180 ,
0
Im
E Im
D C Re F B
E’ F’ A’ Re D’
-2
-1
0
A
图.SP13.2.2
图.SP13.2.1
在原点有2个开环. 画出其完整的奈奎斯特曲 线 . 可见并没有包围(-1,0j) 点，系统是稳定 的. Im