2019-2020学年高中数学选修2-1综合测试卷及答案

2019-2020学年高中数学选修2-1综合测试卷
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1下列结论正确的个数是()
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题;②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称命题;③∃x∈
R,x2+2x+1≤0是全称命题.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①是全称命题;②是全称命题;③是特称命题.
答案:B
2若抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),则抛物线的方程是()
A.y2=2x
B.y2=-2x
C.y2=4x
D.y2=-4x
解析:∵抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),∴抛物线的开口方向向左,且方程是标准的,其中p=2.
∴抛物线的标准方程为y2=-4x.
答案:D
3已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()
A.既不充分也不必要的条件
B.充分不必要的条件
C.必要不充分的条件
D.充要条件
解析:若f(x)为[0,1]上的增函数,则f(x)在[-1,0]上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数;若f(x)为[3,4]上的减函数,则f(x)在[-1,0]上也为减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,故选D.
答案:D
4以双曲线的焦点为顶点顶点为焦点的椭圆方程为
A
C
解析:由得
∴双曲线的焦点为(0,4),(0,-4),
顶点坐标为(0,
∴椭圆方程为
答案:D
5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,CC1的中点,P为AD上一动点,记θ为异面直线PM与D1N所成的角,则θ的集合是()
A
B
C
D
解析:取C1D1的中点E,PM必在平面ADEM内,易证D1N⊥平面ADEM.D1N总是垂直PM.
答案:A
6若向量a=(1,0,z)与向量b=(2,1,2)的夹角的余弦值为则
A.0
B.1
C.-1
D.2
解析:cos<a,b>解得z=0.
答案:A
7在四棱锥P-ABCD中则这个四棱锥的高
A.1
B.2
C.13
D.26
解析:设底面ABCD的法向量为n=(x,y,z),
则
-
-
取x=1,则n
故四棱锥的高h即点P到底面ABCD的距离
答案:B
8如果命题“(p)∨(q)”是假命题,那么在下列各结论中,正确的为()
①命题“p∧q”是真命题②命题“p∧q”是假命题
③命题“p∨q”是真命题④命题“p∨q”是假命题
A.①③
B.②④
C.②③
D.①④
解析:由“(p)∨(q)”是假命题,知p和q均为假命题⇒p为真,q为真,则p∧q为真,p∨q为真,则①③正确,故选A.
答案:A
9椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为()
A
C
解析:焦距为2c,短轴长为2b,由已知,得2c故b=3c.又∵a2=b2+c2=9c2+c2=10c2,∴e
答案:A
10如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PD=AB=1,G为△ABC 的重心,则PG与底面ABCD所成的角θ满足()
A.θ
B.cos θ
C.tan θ
D.sin θ
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),
所以-
易知平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1),
则cos n>
-
所以PG与平面ABCD所成角θ的余弦值为--即cos θ
答案:B
11设F1,F2是双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足
则的值为
A.2 B
C.1 D
解析:双曲线方程可化为
⊥PF2.
∴
由双曲线定义,知
又已知
由①②③,得20a-2×2=16a,∴a=1.
答案:C
12过点M(-2,0)的直线m与椭
圆交于两点线段的中点为设直线的斜率为≠0),直线OP的斜率为
k2,则k1k2的值为()
A.2
B.-2
C
解析:设直线m:y=k1(x+2)代入
得x2+
整理,得(1+
Δ=(
解得
设P1P2的中点P0(x0,y0),
则x0-
∴k2
-
∴k1·k2=
答案:D
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13在四面体OABC中a b c,D为BC的中点,E为AD的中点,则
用a,b,c表示)
解析:
答案:
14已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线,垂足为G,与抛物线的交点为E,则|EF|=.
解析:由焦点为F(2,0)可得p=4,则G(-2,2).
由题意可设E(x,2),
因为E在抛物线上,
所以22=8x,x
所以|EF|=|EG|
答案:
15已知
p-
若是的既不充分也不必要条件则实数的取值范围是解析:由-解得-m<x<2m,
由x(x-4)<0解得0<x<4.
若p是q的充分条件,
则有-
解得m无解;
若p是q的必要条件,
则有-
解得m≥2.
因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是0<m<2.
答案:(0,2)
16曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于
其中,正确结论的序号是.
解析:①曲线C经过原点,则当曲线C上点P为原点时,|PF1||PF2|=1,即a=1,这与a>1矛盾,所以①错误;②曲线C关于原点对称,设曲线C上点P关于原点的对称点为P',则|PF1|=|P'F2|,|PF2|=|P'F1|,满足
|P'F1||P'F2|=a2,所以②正确;③由三角形面积公式S C,得△·|PF2|sin∠
F1PF2≤·|PF2|所以③正确.
答案:②③
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17(12分)已知命题p:不等式|x-1|>m-1的解集为R,命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
解:因为不等式|x-1|>m-1的解集为R,
所以m-1<0,m<1.
又因为f(x)=-(5-2m)x是减函数,
所以5-2m>1,m<2.
即命题p:m<1,命题q:m<2.
因为p∨q为真,p∧q为假,
所以p和q一真一假.
当p真q假时应有无解.
当p假q真时应有≤m<2.
故实数m的取值范围是[1,2).
18(12分)已知双曲线与椭圆有相同焦点且经过点
(1)求双曲线方程;
(2)若双曲线的左、右焦点是F1,F2,试问在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|?
解:(1)椭圆的焦点在x轴上,且c-
即焦点为(±4,0),于是可设双曲线方程为
则有
解得a2=4,b2=12,
-
故双曲线方程为
(2)假设在双曲线上存在点P,使得|PF1|=5|PF2|,
则点P只能在右支上.
在双曲线中,由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a=4,于是得|PF1|=5,|PF2|=1.
但当点P在双曲线右支上时,P到左焦点F1的距离的最小值应为a+c=6,故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.
19(12分)已知点P(1,3),圆C:(x-m)2+y2过点-点为抛物线
的焦点直线与圆相切
(1)求m的值与抛物线的方程;
(2)设点B(2,5),点Q为抛物线上的一个动点,求的取值范围
解:(1)把点A代入圆C的方程,得(1-m)2-
∴m=1.圆C:(x-1)2+y2
当直线PF的斜率不存在时,不合题意.
当直线PF的斜率存在时,设为k,
则PF:y=k(x-1)+3,即kx-y-k+3=0.
∵直线PF与圆C相切,
解得k=1或k=-1.
当k=1时,直线PF与x轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍去.
当k=-1时,直线PF与x轴的交点横坐标为4,
抛物线方程为y2=16x.
(2
设Q(x,y)则
-2)+(-2)(y-5)
=-x-2y+12=--2y+12
=-(y+16)2+28≤28.
∴的取值范围为(-∞,28].
20(12分) 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°角.
求证:(1)CM∥平面PAD.
(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明:以点C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,
因为PC⊥平面ABCD,
所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角.
所以∠PBC=30°.
因为PC=2,所以BC=2,PB=4.
所以D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M.所以=(0,-1,2),=(2,3,0),=.
(1)令n=(x,y,z)为平面PAD的法向量,
则即
令y=2,得n=(-,2,1).
所以
-
因为n·=-+2×0+1×=0,
所以n⊥.
又CM⊄平面PAD,所以CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E,
则E(,2,1),=(-,2,1).
因为PB=AB,所以BE⊥PA.
又因为=(-,2,1)·(2,3,0)=0,
所以,所以BE⊥DA.
又因为PA∩DA=A,
所以BE⊥平面PAD.
又因为BE⊂平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PAD.
21(13分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD, AD=,DC=SD=2.点M在侧棱SC上,∠ABM=60°.
(1)求证:M是侧棱SC的中点;
(2)求二面角S-AM-B的余弦值的大小.
(1)证明以D为坐标原点,射线DA,DC,DS为x轴、y轴、z轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则A(,0,0),B(,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).
设=λ(λ>0),则M,
所以=-.
又=(0,2,0),<,>=60°,
故=||·||cos60°,
即=-,
解得λ=1,
即=.
所以M为侧棱SC的中点.
(2)解由M(0,1,1),A(,0,0),
得AM的中点G.
所以=-,=(0,-1,1),=(-,1,1),
则=0,=0,
即,.
因此,<,>等于二面角S-AM-B的平面角,
所以cos<,>==-,
故二面角S-AM-B的余弦值为-.
22(13分)已知椭圆+=1与射线y=x(x≥0)交于点A,过A作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一交点为点B和点C.
(1)求证:直线BC的斜率为定值,并求出这个定值;
11
(2)求△ABC面积的最大值.
(1)证明由得A(1,).
设直线AB的斜率为k,则直线AC的斜率为-k.
直线AB的方程为y=k(x-1)+,①
直线AC的方程为y=-k(x-1)+,②
将①代入椭圆方程并化简得
(k2+2)x2-2(k-)kx+k2-2k-2=0.
∵1和x B是它的两个根,
∴x B=--,
y B=kx B+-k=--.
同理可得x C=-,
y C=-,
∴k BC=-
-
=.
(2)解设直线BC的方程为y=x+m,代入椭圆方程并化简得4x2+2mx+m2-4=0,
|BC|=|x1-x2|=-
.
∵A到BC的距离为d=,
∴S△ABC=-
≤-=,
当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时,上式等号成立.
故△ABC面积的最大值为.
12。