名师手拉手高三数学第二轮专题复习--集合与简易逻辑

高三数学第二轮专题复习---集合与简易逻辑一、【重点知识结构】
二、【高考要求】
1.理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包
含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合. 2.理解|ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一元
二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法.
3.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握
充要条件的意义和判定.
4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维
品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.
三、【高考热点分析】
集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.
四、【高考复习建议】
概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理
解集合问题.
五、【例 题】
【例1】 设}13|{},13|{,,22++==+-==∈y y b b B x x a a A R y x ，求集合A 与B 之间的关系。

解：由4545)2
3
(1322-≥-
-=+-=x x x a ，得A=}4
5|{-≥x x 45)23(1322-+=++=y y y b 4
5
-≥
∴A=B
【例2】 已知集合A=}0103|{2≤--x x x ，集合B=}121|{-≤≤+p x p x ，若B ⊆A ，某某数p
的取值X 围。

解：若B=Φ时，2121<⇒->+p p p
若B ≠Φ时，则3251212121≤≤⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤--≤+p p p p p
综上得知：3≤p 时，B ⊆A 。

【例3】 已知集合}12
3
|),{(+=--=a x y y x A ，集合B=}30)1()1(|),{(2=-+-y a x a y x 。

如果∅=B A ，
试某某数a 的值。

解：注意集合A 、B 的几何意义，先看集合B ； 当a =1时，B=Φ，A ∩B=Φ
当a =－1时，集合B 为直线y =－15，A ∩B=Φ
当a ≠±1时，集合A ：)2)(1(3-+=-x a y ，A ∉)3,2(，只有B ∈)3,2(才满足条件。

故303)1(2)1(2=⋅-+⋅-a a ；解得：a =－5或a =2
7 ∴a =1或a =
2
7
或a=－1或a =－5。

【例4】 若集合A=}3,1,23{x -，B=},1{2x ，且}3,1,23{x B A -= ，某某数x 。

解：由题设知A B A = ，∴A B ⊆，故32=x 或x x 232-=
即3±=x 或1=x 或3-=x ，但当1=x 时，123=-x 不满足集合A 的条件。

∴实数x 的值为3-或3±。

【例5】 已知集合A=}0310|{2≥-+x x x ，B=}022|{2<+-m x x x ，若B B A = ，某某数m 的值。

解：不难求出A=}52|{≤≤-x x ，由B B A = A B ⊆⇒，又0222<+-m x x ，m 84-=∆
①若084≤-m ，即2
1
≥m ，则A B ⊂Φ= ②若084>-m ，即2
1
<
m ，}211211|{m x m x B -+<<--=， ∴⎪⎩⎪⎨
⎧≤-+-≥--5
2112
211m m 214<≤-⇒m 故由①②知：m 的取值X 围是),4[+∞-∈m
注：不要忽略空集是任何集合的子集。

【例6】 已知集合A={019|22=-+-a ax x x }，B=}1)85(log |{22=+-x x x ，C=}082|{2=-+x x x ，
若A B ⊃∅与A C =∅同时成立，某某数a 的值。

解：易求得B=}3,2{，C=}4,2{-，由A B ⊃∅知A 与B 的交集为非空集。

故2，3两数中至少有一适合方程01922=-+-a ax x
又A C =∅，∴A ∉2，即019392=-+-a a 得，a =5或a =－2 当a =5时，A=}3,2{，于是Φ≠=}2{C A ，故a =5舍去。

当a =－2时，A=}5,2{，于是Φ⊃=}3{B A ，∴a =－2。

【例7】 }023|{2=+-=x x x A ，}022|{2=+-=ax x x B ，A ∪B =A ，求a 的取值构
成的集合。

解：∵A ∪B =A ，∴A B ⊆，当φ=B 时0162<-a ，∴-4<a <4，
}2,1{}023|{2==+-=x x x A ，当1∈B 时，将x =1代入B 中方程得a =4，此时B ={1}，
当2∈B 时，将x =2代入B 中方程得a =5，此时A B ⊄=}2,2
1{，a =5舍去，∴-4<a ≤4。

【例8】 已知}023|{2=+-=x x x A ，}02|{=-=ax x B 且A ∪B =A ，某某数a 组成的集合C 。

解：由A ={1，2}，由A ∪B =A ，即A B ⊆，只需a ×1-2=0，a =2或a ×2-2=0，a =1。

另外显然有当a =0时，φ=B 也符合。

所以C={0，1，2}。

【例9】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：
（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数； （4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。

解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图
解法。

设只乘电车的人数为x 人，不乘电车的人数为y 人，乘车的人数为z 人，不乘车的人数为u 人，只乘一种车的人数为v 人
如图所示（1）x =66人，（2）y =36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。

【例10】 （2004届某某省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M 是关于x 的不等式
0)23()73(222<-++-+a a x a x 的解集，且M 中的一个元素是0，某某数a 的取值X
围，并用a 表示出该不等式的解集.
解：原不等式即0)32)(12(<-+--a x a x ，
由0=x 适合不等式故得0)32)(1(>-+a a ，所以1-<a ，或2
3>a . 若1-<a ，则5)1(2
5
2132>+-=+-
+-a a a ，∴2123+>-a a ， 此时不等式的解集是}232
1
|{a x a x -<<+；
若23>a ，由4
5
)1(252132-<+-=+-+-a a a ，∴2123+<
-a a ， 此时不等式的解集是}2
1
23|{+<<-a x a x .
【例11】 （2004届某某二中高三数学综合测试题）已知1>a ，设命题
01)2(:>+-x a P ，命题1)2()1(:2+->-x a x Q .试寻求使得Q P 、都是真命题的x 的
集合.
解：设}1)2()1(|{}01)2(|{2
+->-=>+-=x a x x B x a x A ，， 依题意，求使得Q P 、都是真命题的x 的集合即是求集合B A ，
∵2
211(2)1022(1)(2)1()(2)0
(2)20a x x x a a x a x x a x x a x a ⎧⎧-+>>-⎧>-⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨->-+⎩⎪⎪-->-++>⎩⎩ ∴若12a <<时，则有122x a
x x a
⎧
>-
⎪⎨⎪><⎩或， 而11(2)20a a a
a --=+
->，所以1
2a a
>-，即当12a <<时使Q P 、都是真命题的1
{|22}x x x x a a
∈>-<<或；
当2a =时易得使Q P 、都是真命题的3
{|,2}2
x x x x ∈>≠且；
若2a >，则有122
x a
x a x ⎧
>-⎪
⎨⎪><⎩或， 此时使得Q P 、都是真命题的1
{|22}x x x a x a
∈>-
<<或． 综合略.
【例12】 （2004届某某省黄冈中学综合测试题）已知条件a x p >-|15:|和条件
01
321
:
2
>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a ，也能先猜后证，所找到的实数a 只需满足
2151≤-a ，且≥+5
1a
1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符
合当今倡导研究性学习的教学方向.
解：已知条件p 即a x -<-15，或a x >-15，∴51a x -<，或5
1a
x +>， 已知条件q 即01322>+-x x ，∴2
1
<x ，或1>x ； 令4=a ，则p 即5
3
-
<x ，或1>x ，此时必有q p ⇒成立，反之不然. 故可以选取的一个实数是4=a ，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.
【例13】 已知)0(012:2|3
1
1:|22>≤-+-≤--
m m x x q x p ，；¬p 是¬q 的必要不充分条件，某某数m 的取值X 围.
解：由，
2|3
1
1|≤--x 得102≤≤-x ， 由)0(01222>≤-+-m m x x ，得)0(11>+≤≤-m m x m ，
∴¬p 即2-<x ，或10>x ，而¬q 即m x -<1，或m x +>1)0(>m ； 由¬p 是¬q 的必要不充分条件，知¬q ⇒¬p ，
设A=}102|{>-<x x x ，或，B=)}0(11|{>+>-<m m x m x x ，或，
则有A B ≠
⊂，故⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤+-≥-，，，010111m m m 且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，
解得30≤<m ，此即为“¬p 是¬q 的必要不充分条件”时实数m 的取值X 围. 【例14】 （2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数x x f a log )(=，其中
}1220|{2a a a a -<∈.
（1）判断函数x x f a log )(=的增减性；
（2）（文）若命题:p )2(1|)(|x f x f -<为真命题，某某数x 的取值X 围. （2）（理）若命题:p |)2(|1|)(|x f x f -<为真命题，某某数x 的取值X 围. 解：（1）∵}1220|{2
a a a a -<∈，∴020122<+-a a ， 即102<<a ，∴函数x y a log =是增函数； （2）（文）)2(1|)(|x f x f -<即12log |log |<+x x a a ，必有0>x ，
当10<<x ，0log <x a
，不等式化为12log log <+-x x a a ，
∴12log <a ，这显然成立，此时10<<x ； 当1≥x 时，0log ≥x a
，不等式化为12log log <+x x a a ，
∴12log <x a ，故2a x <
，此时2
1a x <≤； 综上所述知，使命题p 为真命题的x 的取值X 围是}2
0|{a
x x <<. （2）（理）|)2(|1|)(|x f x f -<即1|2log ||log |<+x x a a ，必有0>x ，
当4
1
0<
<x 时，02log log <<x x a a ，不等式化为12log log <--x x a a ，
∴12log <-x a ，故12log ->x a ，∴a x 21>，此时4
121
<
<x a
； 当14
1
<≤x 时，x x a a 2log 0log <<，不等式化为12log log <+-x x a a
，
∴12log <a ，这显然成立，此时14
1
<≤x ；
当1≥x 时，x x a a 2log log 0<≤，不等式化为12log log <+x x a a ，
∴12log <x a ，故2a x <
，此时2
1a x <≤； 综上所述知，使命题p 为真命题的x 的取值X 围是}2
21|{a
x a x <<.
六、【专题练习】
一、选择题
1．已知I 为全集，集合M 、N ⊂I ，若M ⋃N=M ，则有：（D ）
A ．M ⊆(N C u )
B ．M ⊇(N
C u ) C ．)()(N C M C u u ⊇
D ．)()(N C M C u u ⊆ 2．若非空集合A 、B 适合关系A ⊂B ，I 是全集，下列集合为空集的是：（D ） A ．B A B ．)()(B C A C u u C ．B A C U )( D ．)(B C A U
3．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A ∩B 子集的个数是：（C ） A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9个
4．满足｛a ｝⊂X ⊆｛a,b,c ｝的集合X 的个数有（ B ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
5．已知集合I 、P 、Q 适合I=P Q=｛1，2，3，4，5｝，P Q=｛1，2｝则（P Q ） （P C u Q C u ）
为（C ）
（A ）｛1，2，3｝（B ）｛2，3，4｝（C ）｛3，4，5｝（D ）｛1，4，5｝ 6．已知I 为全集·集合M ，N 是I 的子集M N=N ，则（B ）
（A ）)()(N C M C u u ⊆（B ）)()(N C M C u u ⊇（C ）M ⊆(N C u ) （D ）M ⊇(N C u ) 7．设P=｛x | x ≥-2｝,Q=｛x | x ≥3｝，则P Q 等于（D ）
（A ）∅（B ）R （C ）P （D ）Q
8．设集合E=｛n|n=2k , k ∈Z ｝，F=｛n|n=4k , k ∈Z ｝，则E 、F 的关系是（B ） （A ）E ⊂F （B ）E ⊃F （C ）E=F （D ）E F=∅
9．已知集合M=}22|{<<-x x ，N={ x || x -1|≤2}，则M N 等于（B ） （A ）}32|{≤<-x x （B ）}21|{<≤-x x （C ）}12|{-≤<-x x （D ）}32|{≤<x x 10．已知集合I=R ，集合M={ x | x =1
2
n
，n ∈N}，P={ x | x =
1
4
n
，n ∈N}，则M 与P 的关系
是（B ）
（A ）M P=∅（B ）)(M C U P=∅（C ）M )(P C U =∅（D ）)(M C U )(P C U =∅ 11．已知集合A={y |y =x 2, x ∈R},B={y |y =2x x ∈R},则A B 等于（C ） （A ）{2，4} （B ）{（2，4），（4，16）} （C ）{ y |y ≥0} （D ）{ x | x <0}
12．设全集I=R ，集合P=}0)2)(4(|{<-+x x x ，集合Q={ x | x +4>0}，则（D ） （A ）P Q=∅（B ）P Q=R
（C ）)(P C U Q=)(P C U （D ）)(P C U )(Q C U ={-4} 二、解答题
1、设A=}4|{2ax x x x >-，B=}10|{<<x x ；若A ⊆B ，某某数a 的取值X 围。

解：由图象法解得： 当a >0时，}14
0|{2
a
x x A +<
<=；
当a ≤0时，}40|{<<=x x A
x
y
o
∴要使得A ⊆B ，必须且只须1142
≤+a
，解得3≥a
2、已知A=})1(2
1
|)1(21| |{22-≤+-a a x x ，B=}0)13(2)1(3|{2≤+++-a x a x x 。

若A ⊆B ，某某数a 的取值X 围。

解：易得}12|{2+≤≤=a x a x A ，由0)13(2)1(32≤+++-a x a x 得0)]13()[2(≤+--a x x ⑴当3a+1>2，即3
1
>
a 时，}132|{+≤≤=a x x B 要使A ⊆B ，必须311312
22
≤≤⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧+≤+≥a a a a ， ⑵当3a+1=2，即3
1
=a 时，}2{=B ；要使A ⊆B ，a=1 当3a+1<2，即3
1
<
a 时，}213{≤≤+=x a B ⑶要使A ⊆B ，必须1211
322
-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≤++≥a a a a 综上知：1-=a 或]3,1[∈a
3、已知集合A=},42|{2R x mx x y y ∈++=，B=}0log log |{3
12
3
≤+x x x ，且φ≠B A ，某某数
m 的值。

解：}31|{≤≤=x x B ，}4|{2m x x A -≥=，由342<-m 得：),1[]1,(+∞--∞∈ m 4、已知集合A=}0)1()1(|{222>++++-a a y a a y y ，B=}30,2
5
21|{2≤≤+-=
x x x y y ；若 ∅≠B A ，某某数a 的取值X 围。

解：B=}42|{≤≤x x ，由0)1()1(222>++++-a a y a a y 得：0)1)((2>---a y a y 因为a a >+12，所以A=}1|{2a x a x x <+>或。

由∅≠B A 得：412<+a 或2>a 所以),2()3,3(+∞-∈ a
5、已知集合}0|{2=++=q px x x A ，}01|{2=++=px qx x B 同时满足
①∅≠B A ，②}2{-=B C A u ，其中p 、q 均为不等于零的实数，求p 、q 的值。

解：条件①是说集合A 、B 有相同的元素，条件②是说-2∈A 但B ∉-2，A 、B 是两个方程的解集，方程02=++q px x 和012=++px qx 的根的关系的确定是该题的突破口。

设A x ∈0，则00≠x ，否则将有q=0与题设矛盾。

于是由002
=++q px x ，两边同除以2
0x ，得011
)1(
20=++x p x q ， 知
B x ∈0
1
，故集合A 、B 中的元素互为倒数。

由①知存在A x ∈0，使得
B x ∈01，且0
01
x x =
，得10=x 或10-=x 。

由②知A ={1，-2}或A ={-1，-2}。

若A ={1，-2}，则}2
1,1{-=B ， 有⎩
⎨
⎧-=-⨯==--=.2)2(1;
1)21(q p
同理，若A ={-1，-2}，则}2
1
,1{--=B ，得p=3，q=2。

综上，p=1，q=-2或p=3，q=2。

6、已知关于x 的不等式2
)1(2)1(2
2-≤+-a a x ，0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 、B ，且φ=B A 。

某某数a 的取值X 围。

解：}12|{2+≤≤=a x a x A ，B ={x |（x -2）[x -（3a +1）]≤0} ∵φ=B A
①当3a +1≥2时，B ={x |2≤x ≤3a +1} ∴3a +1<2a 或212<+a ，∴13
1<≤a ②当3a +1<2时，B ={x |3a +1≤x ≤2} ∴2a >2或1132+>+a a ，∴3
1
0<
<a 7、已知集合},023|{2R x x x x A ∈=+-=，若},01|{2R x a ax x x B ∈=-+-=，且
A B A = ，某某数a 。

解：∵A ∪B =A ，∴A B ⊆。

∵A ={1，2}，∴φ≠B 或B ={1}或B ={2}或B ={1，2}。

若φ=B ，则由△<0知，不存在实数a 使原方程有解； 若B ={1}，则由△=0得，a =2，此时1是方程的根； 若B ={2}，则由△=0得，a =2，此时2不是方程的根， ∴不存在实数a 使原方程有解；
若B ={1，2}，则由△>0，得a ∈R ，且a ≠2，
此时将x =1代入方程得a ∈R ，将x =2代入方程得a =3。

综上所述，实数a 的值为2或3。